專題33與圓有關(guān)的計(jì)算【二十個(gè)題型】

?題型梳理

【題型1求正多邊形中心角或邊數(shù)】...............................................................1

【題型2正多邊形與圓中求角度、面積、周長】....................................................6

【題型3正多邊形與圓中求邊心距、邊長、線段長】...............................................10

【題型4正多邊形與圓中求最值】................................................................14

【題型5尺規(guī)作圖-正多邊形】...................................................................18

【題型6正多邊形與圓的規(guī)律問題】.............................................................25

【題型7由弧長公式求弧長】...................................................................29

【題型8利用弧長及扇形面積公式;求半徑、圓心角】...............................................32

【題型9求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】...........................................................34

【題型10由扇形面積公式求扇形面積】...........................................................43

【題型11求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】.............................................................46

【題型12求弓形面積］..........................................................................52

【題型13求圓錐側(cè)面積、底面半徑、高】.........................................................57

【題型14求圓錐側(cè)面積展開圖的圓心角】.........................................................60

【題型15圓錐的實(shí)際問題】......................................................................62

【題型16圓錐側(cè)面上的最短路徑問題】...........................................................64

【題型17不規(guī)則圖形的面積的有關(guān)計(jì)算之和差法】.................................................69

【題型18不規(guī)則圖形的面積的有關(guān)計(jì)算之等面積法】...............................................74

【題型19不規(guī)則圖形的面積的有關(guān)計(jì)算之旋轉(zhuǎn)法】.................................................81

【題型20不規(guī)則圖形的面枳的有關(guān)計(jì)算之全等或?qū)ΨQ法】..........................................85

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)與圓有關(guān)的計(jì)算】

L正多邊形與圓

定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多

邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

2.弧長、扇形面積、圓錐的有關(guān)計(jì)算

〃。的圓心角所對(duì)的弧氏/為：1=也。

180

圓心角為〃。的扇形面枳S為：S扇形=嚶；s瓜形

JoO2

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為I,高為h的圓錐的側(cè)面積為成/,全面積為

成1+成；母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有/?2+〃2=巴

77J77nmr

圓錐與側(cè)面展開圖的等量關(guān)系：成/=而,2成=嬴，〃=:.360

【題型1求正多邊形中心角或邊數(shù)】

【例1】(2023?四川南充?統(tǒng)考一模)如圖，點(diǎn)4B,C在0。上，若8C,分別是。。內(nèi)接正三角形.正

方彩,正n邊形的一邊，則"=()

B.10C.12D.15

【答案】C

【分析】分別連接08、OA、OC,根據(jù)正多邊形的中心角二手，可分別求得N8OC、佗度數(shù)，從而

可得NAOC的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的中心角=隨，可求得邊數(shù)〃.

n

【詳解】分別連接。從OA.OC,如圖所示

TBC是。。內(nèi)接正三角形的一邊

/./80。=平=120°

同理，可得：ZAOB=90°

??.ZAOC=ZBOC-ZAOB=30°

??YC是O。正n邊形的一邊

,?胃=30。

，”二12

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角二”，掌握這一知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵.

n

【變式1-1］（2023?江蘇南通?南通田家炳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AABC內(nèi)接于0。，4c=36。，弦AB是

圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是.

【分析】如圖所示，連接。4OB,由圓周角定理得到/AO8=72。，則該多邊形的中心角為72。，由此即可

得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接。4OB,

A

：.LAOB=2Z-ACB=72°,

.360°_

??亞=5,

???該正多邊形是止五邊形，

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考杳了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角，難度不大.

【變式1-2］（2023?吉林延邊?模擬預(yù)測(cè)）48是。。的內(nèi)接正六邊形?邊，點(diǎn)P是優(yōu)弧48上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與

點(diǎn)4B重合）且8PIIO4AP與OB交于點(diǎn)C,則乙OCP的度數(shù)為.

P

c

AB

【答案】91T79U度

【分析】根據(jù)題意可求得41。8=60。，結(jié)合圓周角定理，可求得NP=：4/10B=30。，結(jié)合平行線的性質(zhì)和

三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】??F5是。。的內(nèi)接正六邊形一邊，

：.LAOB=60°.

?LP=208=30°.

IBP||。4

：,LOAC=ZP=30°.

：,LOCP=Z.AOB+乙OAC=60°+30°=90°.

故答案為：90°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、正多邊形與圓、平行線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，牢記圓周角定理

（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）是解題的關(guān)健.

【變式1-3]（2023?河北邯鄲??？级＃┠μ燧啠ㄈ鐖D1）是游樂場(chǎng)中受歡迎的游樂設(shè)施之」它可以看作

一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2）,大圓繞著圓心。勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P,N）

均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如PQ）始終垂直于水平線/.

圖1

⑴ZNOP=,

（2）若04=16,。。的半徑為10,小圓的半徑都為1：

①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心仞與/的最大距離為;

②當(dāng)圓心”到/的距離等于04時(shí)，求0H的長；

③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，MQ的長為定值，并求出這個(gè)定值.

【答案】⑴60

(2)025；②。，二3，五；③MQ的長為定值，定值為10.

【分析】(1)將360。平均分6份即可；

(2)①當(dāng)圓心W在40的延長線上時(shí)，圓心W與/有最大距離，據(jù)此即可求解；

②設(shè)。，的掛點(diǎn)為K,過點(diǎn)H作HT1L于點(diǎn)7,先證四邊形H7;4。是矩形，再用勾股定理解RtA即可;

③先證△NOP是等邊三角形，再證MNPQ是平行四邊形，可得MQ=NP=10.

【詳解】(1)解：4/V0P=亭=60。，

故答案為：60：

(2)解：①當(dāng)圓心M在力。的延長線上時(shí)，圓心M與/有最大距離，

最大距離為4M=0M+。4=10-1+16=25,

故答案為:25；

②如圖，設(shè)。，的掛點(diǎn)為K,過點(diǎn)，作于點(diǎn)7,

???掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線7,

:,K,H,7在同一直線上，

???圓心，到/的距離等i'OA,

：.HT=OA,

VHT1Z,OA1I,

：.HT\\OA,

.??四邊形H九4。是平行四邊形，

又?.?乙。47=90°,

，四邊形”兀40是矩形，

:?乙0HT=90°,

:?乙0HK=90°,

:.OH=y/OK2-HK2=V102-I2=3VT1：

③證明：如圖所示，連接NP,MQ,

由（1）如乙NOP=60°,

又7ON=OP=10,

???ANOP是等邊三角形，

；?NP=ON=0P=10,

???小圓的半徑都為I,掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線/,

:.MN=PQ=1,MN||PQ,

，四邊形MNPQ是平行四邊形，

：.MQ=NP=10,

???MQ的長為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識(shí)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型.

【題型2正多邊形與圓中求角度、面積、周長】

【例2】（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形/內(nèi)接于。。，若O0的周長等于6m則正六邊

形的面積為（）

￡/------

.23瓜八7\歷！21V3門27瓜

A.-----B.-----C.-----D.-----

4332

【答案】D

【分析】連接。8、0C,根據(jù)圓的周長得到圓的半徑，再利用正六邊形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：連接08、0C,作O”1BC于點(diǎn)H,

???0。的周長等于6m

???0。的半徑為：9=3,

27r

???六邊形48CDE尸是正六邊形，

=—=60°,

6

???480。是等邊三角形，

:.BC=0B=OC=3,

???OH=OB-Sinz-OBC=3x—=—,

22

1萬

??4c△BOC=-'BDCrnOuH=1-sxz3oxsz—3=—,

/±q

?_9\G54代—27>/3

?正六邊形48CDEF-V~T~~~~2~9

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形中心角等于60。，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正六邊形

的面積，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?陜西西安??？家荒＃┤鐖D，已知。。的內(nèi)接正四邊形4BCD,點(diǎn)E是o。上任意一點(diǎn)（除

A、8兩點(diǎn)外）則/AE8的度數(shù)是1）

A.45°B.60°C.60°或120°D.45?；?35。

【答案】D

【分析】連接。4、0B,首先根據(jù)正方形的性質(zhì)，得乙/1。8=90。，再根據(jù)圓周角定理和￡點(diǎn)的位置確定

的度數(shù).

【詳解】解?：如圖，連接OA、0B,

???四邊形4BCD是正方形，

：.LAOB=90°,

當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧AB上時(shí)，

Z.AEB=-Z-AOB=45°；

2

當(dāng)點(diǎn)石在劣弧4B上時(shí)，

/-AEB=：x(360°-Z.AOB)=135°；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，熟練掌握?qǐng)A周角定理和分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2023?福建泉州??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，。。是正五邊形力BCDE的內(nèi)切圓，分別切.48,CD于點(diǎn)、

M,N,P是優(yōu)弧MNI二的一點(diǎn)，用乙MPN的度數(shù)為（）

CND

A.55°B.60°C.72°D,80°

【答案】C

【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出/B=zc=108。，根據(jù)切線的定義得出乙OM8=ZONC=90。，進(jìn)

而可得/MON,再根據(jù)圓周角定理可得乙MPN=：匕MON.

【詳解】解：???五邊形48CDE是正五邊形，

..”="=^^=108。，

???0。切/IB,CD于點(diǎn)、M,N,

:.LOMB=Z.ONC=90°,

又??五邊形8M0NC的內(nèi)角和為（5-2）x180°=540°,

:.LMON=540°-COMB-Z.ONC一乙B—乙C=144°,

/.乙MPN=3乙MON=72°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和問題，圓周角定理，解題的關(guān)健是掌握多邊形內(nèi)角和公式.

【變式2-3］（2023?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線力8的長為10,則正六邊形的周長（）

A.5B.6C.30D.36

【答案】C

【分析】連接CD、EF,交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。是正六邊形力CE80F的中心，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得N/10C=60°,

OC=OA=^AB=5,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AC=04=5,由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接C。、EF,交于點(diǎn)0,

則點(diǎn)。是正六邊形ACEBDF的中心,

???六邊形ACEBDF是正六邊形，AB=10,

：60°,OC=OA=-AB=5,

.AAOC=—6=2

???AAOC是等邊三角形，

???AC=OA=5,

工正六邊形ACE8D所勺周長為5x6=30,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)：熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【題型3正多邊形與圓中求邊心距、邊長、線段長】

【例3】（2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）門環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實(shí)用、裝飾和門第等級(jí)為一

體的一種占建筑構(gòu)件，也成為中國占建“門文化''中的一部分.現(xiàn)有一個(gè)門環(huán)圖片和抽象示意圖如圖所示，圖

中以正六邊形48CDE尸的對(duì)角線AC的中點(diǎn)。為圓心，OB為半徑作O。，AQ切。。于點(diǎn)P,并交DE于點(diǎn)Q,

若AQ=12V3cm,則該圓的半徑為（）cm.

A.2V6B.3+2V3C.3+nD.3A/3

【答案】C

【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得01的，設(shè)該圓的半徑為r,可求siM/M。=霧=卷=,過Q作QG1AC

AOV3r3

于G,過。作OH_LQG于H,則四邊形OHGC是矩形，可求siMPH。=*=黑=2計(jì)算求解QG的長，進(jìn)

而可得0H=12-2r,DW=2V3r-12V2,通過解直角三角形即可求解.

【詳解】解：是。。的切線，

:.OP1AQ,

設(shè)該園的半徑為r,

二OB=OP=r,

vZ.ACB=乙CAB=30°,

???AD—DC=CD=2?*,AO—)/3r?

AC=2\/3r,

???sm^PAO啜=息=q,

過Q作QG于G,過。作?！癑.QG于H,如圖所示：

.?.四邊形DHGC是矩形，

.*.HG=CD,DH=CG,Z.HDC=90°,

?*-24。=寨=禺=M乙QDH=120°-90°=3。。,

???QG=12,

AG=yjAQ2-QG2=12V2,

QH=12-2r,DH=275r-12五,

tanzQDW=tan30°=^7=9=4，解得r=3+V6,

DH2V3r-12V23

該圓的半徑為3+遍cm,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，圓周角定理，切線的性質(zhì)，正多邊形和圓等知識(shí)的綜合運(yùn)用，

根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形運(yùn)用三角函數(shù)求解是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?山東泰安?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm,這個(gè)扳手的開口。的值應(yīng)是（）

A.2百cmB.V3cmD.1cm

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角度數(shù)可得出Nl=30。，再通過解直角三角形即可得出=Q的值，進(jìn)而可求出Q的

值，此題得解.

【詳解】?.?正六邊形的任一內(nèi)角為120。,

???zl=30°（如圖），

???-a=2cosz.l=V3,

2

???a=2>/3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形以及解直角三角形，牢記正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形力BCDEF內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=1cm,則點(diǎn)P到

【答案】3V3

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出正六邊形的“邊心距07”，再將問題轉(zhuǎn)化為“邊心距''的6倍即可..

【詳解】解：設(shè)正六邊形48C0E尸的中心為O,連接OE、OF,過點(diǎn)O作0T1.E"，垂足為了，

TIT

???正六邊形/WC0EF,

AzEOF=—=60%

6

,：0E=OF,

，AEOF是正三角形,

：?0E=OF=EF=AB=1,

???COTT_—遮0E—-O,

22

過點(diǎn)P分別作正六邊形力BCD"?的各條邊的垂線，垂足分別為M、N、5、Q、G、H,則點(diǎn)。到這個(gè)正六邊

形六條邊的距離之和=MN+GH+QS=60T=3百，

故答案為：3Vs.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，掌握正六邊形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023?福建厘門?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形的半徑為1,點(diǎn)M在邊ED上運(yùn)動(dòng)，連接力M,則

4M的長度可以是（只寫出一個(gè)滿足條件的值即可）.

【答案】1.8（答案不唯一，只要符合遮W4M工2即可）.

【分析】設(shè)正六邊形的中心為。，連接04OF,OE,AE,AD,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得△力。/卻△OZFF為等

邊三角形，然后可由勾股定理求出AT,進(jìn)而得4E=瓜再求出4D=2,根據(jù)4M在邊ED上運(yùn)動(dòng)得V5<AM<

2,最后在這個(gè)的范圍內(nèi)取一個(gè)值即可.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為0,連接。入OE,AE,AD,

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得：/D經(jīng)過點(diǎn)0,乙力。尸=360。+6=60。，OA=OF=0E=0D=1,

.?.△/10F為等邊三角形,

:.AF=OA=OF=1,Z,OFA=60°

同理：AOEF為等邊三角形,

乙OFE=60°

???Z.OFA=LOFE=60°,

又4r=EF,

???AE1OF,

FT=OT=-OF=0.5,AT=EF,

2

在AFT中，AF=1,FT=0.5,

由勾股定理得：AT=y/AF2-FT2=y,

AE=2AT=V3,

又???OA=OD=1,

???AD=2,

???/4M在邊ED上運(yùn)動(dòng)，

:.AE<AM<AD,

即：V3<AM<2,

:.AH=1.8.

故答案為：1.8（答案不唯一，只要符合AMW2即可）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題

的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，中心角、半徑等概念.

【題型4正多邊形與圓中求最值】

【例4】（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。的圓心O與正方形的中心重合，已知。。的半徑和正方

形的邊長都為4,則同上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意?點(diǎn)距離的最小值為（）.

A.V2B.2C.4+2近D.4-2加

【答案】D

【分析】設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為4、B、C.D,連接。4并延長，交。。于點(diǎn)￡,由題意可得，￡4的長度為

圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值，求解即可.

【詳解】解：設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為4、B、C、D,連接。4并延長，交。。于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作0F_LA8,如

下圖：

則EA的長度為圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值,

由題意可得：0E=AB=4,AF=OF==2

由勾股定理可得：。力=y/OF2+AF2=2V2,

：,AE=4-2^2,

故選:D

【點(diǎn)睛】此題考查了圓與正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)健是熟練掌握?qǐng)A與正多邊形的性質(zhì)，確定出

圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值的位置.

【變式4-1］（2023?河北張家口?統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形力BCD"的邊長為6,且點(diǎn)。為正六邊形的中心，

將半徑為V5的。M沿六邊形作逆時(shí)針滾動(dòng)，連接OM,過點(diǎn)M作MP1OM,并月.OM=MP,連接OP,則在

滾動(dòng)的過程中，RM0MP面積的最大值是（）

【答案】D

【分析1如圖，當(dāng)。M與正六邊形的兩邊AB、BC相切時(shí)，OM的值最大，設(shè)。M與AB相切于點(diǎn)N,連接

MN,OA.解直角三角形求出OM即可解決問題.

【詳解】解：???SRSOMP=3OM?A7P,0M=MP,

當(dāng)0M最大時(shí)，AOMP的面積最大.在OM滾動(dòng)過程中，當(dāng)OM的延長線經(jīng)過正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，OM取得

最大值，且此時(shí)OM與4"、力B兩邊相切，設(shè)切點(diǎn)分別為N、Q,連接MN,MQ,則MN1AN,MQLAQ,

如圖，

?:乙FAB=120°,

???乙NMQ=60°,

易得△ANM=^AQM,

:.ZAMN=30°,

...MN二、，2V5?

二AM=-------=V3X—=2，

cos30°3

v0A=AB=6,

???OM=OA-AM=4,

1.

SRSOMP=2x4=8

故選D.

【點(diǎn)晴】本題考查正多邊形與圓、等腰直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

【變式4-2]（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)尸是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB=4,當(dāng)乙4P8=90。時(shí),

連接P〃，則線段PO的最小值是（）

A.2VH-2B.2V13-2C.6D.4V3

【答案】B

【分析】取A8中點(diǎn)G,連接BD,過點(diǎn)C作CH_LBD于H,則BG=2,先求出BD=473,然后根據(jù)N4P8=90。,

得到點(diǎn)戶在以G為圓心，A8為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則行。、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，QP有最小值，由此求解即可.

【詳解】解?：取A8中點(diǎn)G,連接BD,過點(diǎn)。作CH_L8O于”，則8G=2,

,：六邊形A8COE尸是正六邊形，

，乙BCD=（6-2）X180,=120。，CD=BC=AB=4,

6

:?BH=DH,Z-DCH=^BCH=-Z5CD=60°,

2

：.DH=CD-sinzDCH=2V3,

：?BD=4?

VZAPB=90°,

???點(diǎn)〃在以G為圓心，A8為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)。、P、G三點(diǎn)共線時(shí),OP有最小值,

在Rt&BOG中，DG=>/BG2+BD2=2713,

：.PD=DG-PG=2m-2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問

題，確定當(dāng)。、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，OP有最小值是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。。是正方形48CD的外接圓，AB=4,點(diǎn)E是和上任意一點(diǎn)，

CF工BEfF.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)力出發(fā)按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，則AF的最小值為.

【答案】2^-2

【分析】首先證明點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是8C為直徑的o。'，連接4。'交O。'于點(diǎn)M,求出4戶的最小位即可;

【詳解】如圖，

，：CF1BE,

：.LCFB=90°,

??.點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是8c為直徑的O。'，連接力。'交O。'于點(diǎn)M,

在R￡MB0沖，AO'=V42+22=275,

：.AM=2V5-2,

；.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí),，4F的最小值為2而-2.

故答案是2遙-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)

軌跡，屬于中考?？碱}型.

【題型5尺規(guī)作圖?正多邊形】

【例5】（2023.河北承德.模擬預(yù)測(cè)）作圖與計(jì)算:

（1）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，aABO的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.畫

出AA8。繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的△。為當(dāng)，并寫出線段。8掃過的扇形的面積（結(jié)果含江）

（2）利用尺規(guī)在圖中作圓內(nèi)接正六邊形（不寫作法，保留痕跡），并寫出正六邊形半徑、邊心距、邊長的

比

（2）圖見解析，2：V3:2

【分析】（1）先分別確定△48。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的點(diǎn)，順次連接即可；然后網(wǎng)格及勾股定理確定。=

V10,再由扇形面積計(jì)算公式求解即可；

（2）作過圓心A的線段CD,以點(diǎn)。為圓心，力C長為半徑在圓上畫弧，交于點(diǎn)8,再以點(diǎn)8為圓心，ACK

為半徑畫弧，交于點(diǎn)E,同理得出點(diǎn)扛G,然后順次連接各點(diǎn)即可；根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及等邊三角形的

判定得出BC=48=4C=r,再由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理得出力”=與，即可確定比值.

【詳解】（1）解：如圖所示，先分別確定△ABO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的點(diǎn)，順次連接，

故答案為:~

（2）如圖所示：正六邊形C8EDFG即為所求;

c

設(shè)圓的半徑即4C=r,

???正六邊形CBEDFG,

：.LCAB=360。+6=60°,

*：AC=AB=r,

???AABC為等邊三角形，

=AB=AC=

過點(diǎn)A作力”1BC,

；?“AH=乙BAH=30°,

?"H=；RC

22

：.AH=>/AC2-CH2=?，

半徑、邊心距、邊長的比即為=r:與：r=2:遍:2,

故答案為:2:75:2.

【點(diǎn)睛】題目主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)及扇形的面積公式，圓內(nèi)接正六邊形的作法及等邊三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023?安徽合肥模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，E尸是。O的直徑，請(qǐng)僅用尺規(guī)作出該圓的內(nèi)接正方形ABCD,

要求所作正方形的一組對(duì)邊A。、BC垂直于E/見示意圖；不寫作法，但須保留作圖痕跡）；

⑵連接幺、EB,求出乙區(qū)40、4EBC的度數(shù).

1

示意圖

【答案】(1)見解析;(2)67.5，

【詳解】試題分析：(I)作出八等分點(diǎn)，即可得到圓內(nèi)接正方形：

(2)求出相應(yīng)圓心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角等于圓心角的?半，即可解答.

試題解析?：(1)作①EF的中垂線，

②直角的平分線0D,

③8等分弧，完成正方形.

(2)連接OD,0C,

因?yàn)榧?之圓周，所以NEOD=36()ox：=45。,

88

^rUZEAD=45°x1=22.5°.

因?yàn)橥嬖?3團(tuán)九

月7以NEBC=3ZEAD=3x22.5°=67.5°.

【變式5-2】(2023?江蘇蘇州模擬預(yù)測(cè))用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：如圖，①在0。上任取一

點(diǎn)A,連接A。并延長交。。于點(diǎn)6；②以點(diǎn)8為圓心，8。為半徑作圓弧分別交。。于C,D兩點(diǎn);③連接C0,

DO并延長分別交。。于點(diǎn)E,F；④順次連接8C,CF,凡4,AE,ED,DB,得到六邊形AFCBDE.連接力D,

EF,交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.△AOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)GB.Z-FGA=LFOA

C.點(diǎn)G是線段EF的三等分點(diǎn)D.EF=V2AF

【答案】D

【分析】證明△40E是等邊三角形，EF10/1,ADJ.0E,可判斷A；證明41GF=匕/。尸=60。，可判斷B；

證明FG=2GE,可判斷C；證明E尸=通力尸，可得結(jié)論.

【詳解】解：在正六邊形AFC80E中，LA0F=Z.A0E=Z.E0D=60°,

,：0F=OA=OE=OD,

：.^AOF,△40E,AEOD都是等邊三角形，

：.AF=AE=OE=OF,OA=AE=ED=OD,

，四邊形力E。/7，四邊形NODE都是菱形，

：.AD1OE,EF1OA,

???A/lOE的內(nèi)心與外心都是點(diǎn)G,故A正確，

*：LEAF=120°,LEAD=30°,

工乙FAD=90°,

?：^AFE=30%

：,^AGF=AAOF=60°,故B正確，

'：LGAE=KGEA=30°,

：,CA=GE,

'：FG=2AG,

：,FG=2GE,

???點(diǎn)G是線段F的三等分點(diǎn)，故C正確，

*：AF=AE,Z.FAE=120°,

：.EF=y/3AF,故D錯(cuò)誤，

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心，外心等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明四邊形/E0G四邊形力。QE都是菱形.

【變式5-3］（2023?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,正五邊形4BCDE內(nèi)接于?0,閱讀以下作圖過程,并回答

下列問題：

作法如圖2.

A

圖I圖2

1.作直徑A".

2.以尸為圓心，尸。為半徑作圓弧，與。。交于點(diǎn)M,N.

3.連接力M,MN,NA.

(1)求448。的度數(shù).

(2)A4MN是等邊三角形嗎？請(qǐng)說明理由.

(3)從點(diǎn)A開始，以O(shè)N長為邊長，在。。上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正〃邊形，求〃的值.

【答案】(1)108。

(2)是，理由見解析

⑶15

【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理；

(1)運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式求出正五邊形A8CDE的內(nèi)角和，根據(jù)每個(gè)內(nèi)角都相等即可解答；

(2)連接ON,OM,MF,NF,由題意可得：OM=ON=OF,FM=FO=FN,從而△FOM,△尸ON都是

等邊三角形，得到乙MR4=60°,Z.NFA=60°,由圓周角定理可得〃NM=Z.AFM=60°,Z.AMN=乙AFN=

60°,進(jìn)而4M4N=60。，即可得證A/MN是等邊三角形；

(3)連接。＞OE,由圓周角定理得到/AON=2"MN=120。，又由正五邊形力8CDE的中心角為72?？傻?/p>

4400=144。，從而NN。。=440。一乙40N=24°,因此九=第=15.

【詳解】(1)L正五邊形48CDE的內(nèi)角和為:(5-2)X180°=540°,

且每個(gè)內(nèi)角都相等，

：.LABC=540。+5=108°.

(2)A/IMN是等邊三角形，理由：

連接ON,OM,MF,NF,

由題意可得：OM=0N=0F,FM=FO=FN,

：?0F=0N=FN,OF=0M=MF

:MFOM,△/ON都是等邊三角形，

：.LMFA=60°,乙NFA=60°

*：AM=AM.AN=AN,

???，力NM=LAFM=60°,Z.AMN=乙AFN=60°,

?"MAN=180°-乙AMN-^ANM=180°-60°-60°=60°,

J.LAMN=^ANM=/.MAN=60°,

???A71MN是等邊三角形；

(3)連接。D,OE,

*：/.AMN=60°,AN=AN,

:.LAON=2Z,AMN=2x60°=120°,

???在正五邊形ABCDI?中，中心角為4=72°,

即"OE=乙DOE=72。，

：.LAOD=Z.AOE+Z.EOD=72°4-72°=144°,

:.乙NOD=Z.AOD-Z.AON=144°-120°=24°,

???該正〃邊形的中心角為24。,則邊數(shù)n=槳=15,

???”的值是15.

【題型6正多邊形與圓的規(guī)律問題】

【例6】（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形AiBiGUFi的邊長為2,正六邊形2c2。2%?2的

外接圓與正六邊形的各邊相切，正六邊形A3/C3D3E3F3的外接圓與正六邊形力282c2D2E2F2的

各邊相切……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，4o8ioGoDioE】oF】o的邊長為

【答案】嘿

Z56

【分析】連接OE1，。，，。。2,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得/E1。，=60。，則△&OD］為等邊三角形，再根據(jù)

切線的性質(zhì)得也，于是可得。。2=棄也=梟2,利用正六邊形的邊長等于它的半徑可得正六

邊氏4282GD2E2F2的邊長=yX2,同理可得正六邊形4383c34E3F3的邊長=停了x2,依此規(guī)律求解即

可.

【詳解】解：連接。邑，。。1，。4，如圖所示，

442叢

???六邊形為正六邊形，

N/T］。。］=60°,

為等邊三角形，

???正六邊形力282c2。2%尸2的外接圓與正六邊形的各邊相切，

。。2工￡也，

.?.OD2=yX2,

.?.TF六邊形42%。2〃2月2尸2的邊長=^X2.

2

同理可得正六邊形A3B3c3D3E3F3的邊長=（?）x2,

9

???正六邊形AOBIOGODIOEIOFIO的邊長=惇）X2=禁

故答案為：磐.

256

【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于利用正六形邊的一邊與圓的兩條半徑可構(gòu)成特

殊的三角形——等邊三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一個(gè)正六邊形的邊長.

【變式6-1]（2023?湖南湘西?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,圖2,圖3…，M、N分別是。0的內(nèi)接正三角形48C,正

方彩ABCD,正五邊形4BC0E,…的邊48、BC上的點(diǎn)，且BM=CN,連接OM、ON,圖1中NMON=120。,

圖2中乙MON=90。，圖3中乙M0N=72。…，根據(jù)這樣的規(guī)律，圖n中心MON的度數(shù)是.

【答案】—

n

【分析】作多邊形的半徑，根據(jù)多邊形的性質(zhì)可證^OAB=△OCB,得4。8力=4O8C,再根據(jù)“等邊對(duì)等角“

得乙OBC=T=Z.OCN,從而可證△08M三△OCN則4BOM=4CON,因此乙MON=

乙BOC=n

本題考查了正多邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊對(duì)等角、正多邊形中心角等知識(shí)點(diǎn)，解題的

關(guān)鍵綜合運(yùn)用這些性質(zhì)解題.

【詳解】不失一般性，設(shè)幾=5時(shí)的情形，可以推廣到一般情況.連接。力、OB.OC,如下圖

(AB=CB

由正多邊形的性質(zhì)知：lOB=OB

WA=OC

：,LOAB三△OCB(SSS)

：.^OBA=乙OBC

由OB=OC得：Z,OBC=Z.OCB

?"OBA=LOCB

BP：z.OBM=Z.OCN

又,：BM=CN,OB=OC

“OBM三△OCN(SAS)

?"BOM=乙CON

+乙BON=(CON+乙BON

即：乙MON=LBOC

?:乙BOC

?360°

?./MON=

故答案為：—.

n

【變式6-2]（2023?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）如圖,LM0N=60°,作邊長為1的正六邊形力津也“遂陽，邊如當(dāng)、

Fi片分別在射線OM、ON上，邊65所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)、A?、F2,以&尸2為邊作正六邊形

%B2C2D2E2F2,邊C24所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)、A3、F3,再以aF3為邊作正六邊形4383c3D3E3F3,…，

依此規(guī)律，經(jīng)第〃次作圖后，點(diǎn)當(dāng)?shù)絆N的距離是.

【分析】尋找規(guī)律求出。斯的長，根據(jù)加到ON的距離為。斯?sin6（）。計(jì)算即可.

【詳解】解：觀察圖象可知（陽尸2=2x3°,

032=2x31

08尸2x32=18,

0^=2x33=54,

O8『2x3，，，

：.Bn至ljON的距離為2x3/?sin60o=3nT?瓜

故答案為：3吁1.g.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、正六邊形II勺性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到

一般的探究方法，屬于中考?？碱}型.

【變式6-3］（2023?河北?校聯(lián)考二模）如圖1,將一個(gè)正三角形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)60。，所得圖形與原圖的重

疊部分是正六邊形；如圖2,將一個(gè)正方形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)45°,所得圖形與原圖形的重疊部分是正八邊

形；依此規(guī)律，將一個(gè)正七邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)。，所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形.在圖2

中，若正方形的邊長為4,則所得正八邊形的面積為.

【答案】-32V2-32

【分析】根據(jù)題意，可以發(fā)現(xiàn)正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)幽，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；旋

n

轉(zhuǎn)后的正八變形相當(dāng)于將正方形剪掉了的4個(gè)全等的等腰直角三角形，設(shè)等腰直角三角形的邊長為x,則正

八邊形的邊長為&x：然后根據(jù)x+x+&x=4求得x；最后用正方形的面積減去這八個(gè)等腰直角三角形的面積

即可.

【詳解】解：由題意得：正n邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)世，所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；則將一

n

個(gè)正七邊形繞其中心最少旋轉(zhuǎn)一所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形；

由題意得：旋轉(zhuǎn)后的正八變形相當(dāng)于將正方形剪掉了的4個(gè)全等的等腰直角三角形，

設(shè)等腰直角三角形的邊長為x,則正八邊形的邊長為&X

/.x+x+V2x=4,解得x=4-2或

???減去的每個(gè)等腰直角三角形的面積為：^（4-272）（4-2V2）=12-8x/2

???正八邊形的面積為：正方形的面積-4x等腰直角三角形的面積

=4x4-4（12-8^）

=32A/2-32.

故答案為詈，32V2-32.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、圖形規(guī)律以及勾股定理等知識(shí)，艱據(jù)題意找到旋轉(zhuǎn)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

【題型7由弧長公式求弧長】

【例7】（2。23?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖是0。的切線，A為切點(diǎn)，直線08交0。于點(diǎn)=".若UD=2,

【分析】本題考查圓的切線的性質(zhì)及弧長公式，求劣弧40所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.由乙8=4C,"=

得乙1。8二248,由切線得乙。48=90。，進(jìn)而求出41。。的度數(shù)即可求解.

【詳解】解：:48是。。的切線，

:.L0AB=90°,

v0C=0A,

:.LC=LOAC,

???LAOB=2z.C,

???zF=zC,

???LAOB=2乙B,

:.乙400=60°,

二劣弧AD的長為管=胃.

1803

故答案為:V.

【變式7-1］（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，已知48=1,8c=百,乙8=90。，8c與覺相切于點(diǎn)C,則AT

的長=.

A

【答案】標(biāo)/3

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出力C,再根據(jù)切線的性質(zhì)可求出乙0&4=60。，進(jìn)而得到4

40C是等邊三角形，得出扇形的圓心角度數(shù)和半徑，利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)族所在的圓心為。，連接04、OC.AC,

在RtA/lBC中，48=90。，AB=1,BC=V3,

:.AC=\!AB2+BC2=2,

,在Rt/kABC中，sinzL4cB="=：,

AL/

:.Z.ACB=30°,

?.?G。與AC相切于點(diǎn)C.

:.乙OCB=90%

???/0乙4=90。-30。=60。，

又?：OA=OC,

???△4。。是等邊三角形，

Z.AOC=60°,OA=OC=AC=2,

...而的長為篝￡=刎

故答案為：|n.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、正弦、弧長公式等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)和弧長

公式是解題關(guān)鍵.

【變式7-2］（2023?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。0半徑為3cm,四邊形力BCD內(nèi)接于。。，延長8c至點(diǎn)￡,

若乙DCE=60°,則她的長是cm.

【答案】2n

【分析】本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，理解圓的內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵.

如圖:連接。0,。氏根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得N/L4B+NDCB=180。，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得

乙DCB=120°,進(jìn)而得到乙MB=60°；然后根據(jù)圓周角定理可得乙。。8=120%最后根據(jù)弧長公式即可解

答.

【詳解】解：如圖:連接。D,OB.

?四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形,

：,LDAB+Z.DCB=180°,

VzDCE=60°,

工乙DCB=120°,

J.LDAB=60°,

工/DOB=2Z-DAB=120°,

.?"的長是嚶^一2mm.

180

故答案為：2m

【變式7-3］（2023?山西臨汾?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)將一塊含60。的直角三角板按如圖放置，頂點(diǎn)C落在以力B為直徑

的半圓上，斜邊恰好經(jīng)過點(diǎn)從一條直角邊與半圓交于點(diǎn)。，若力8=4,則弧8。的長為.

a

【答案】,

【分析】本題考查弧長公式，圓周角定理等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是理解題意，記住弧長公式！=黑.連接。以

18。

利用圓周角定理求出N008,利用弧長公式求解即可.

【詳解】解：連接。。，

故答案為：y.

【題型8利用弧長及扇形面積公式求半徑、圓心角】

【例8】（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考二模）扇形的弧長為6兀，半徑是12,該扇形的圓心角為________度.

【答案】90

【分析】設(shè)此扇形的圓心角為X。，代入弧長公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：設(shè)此扇形的圓心角為產(chǎn)，

由題意得，鬻=6兀，

loO

解得，無二90,

故答案為：90.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長的公式1=黑是解題的關(guān)鍵.

loU

【變式8-1］（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的圓心角為100。，面積為10叫則此扇形的弧長

為.（結(jié)果保留兀）

【答案】

J

【分析】首先根據(jù)扇形的面積公式求得扇形的半徑，根據(jù)弧長的計(jì)算是即可求出扇形的弧長.

【詳解】解：設(shè)扇形的半徑是，?，

由題意得10兀=?X7TX產(chǎn)，

360

解得r=6,

??.扇形的弧長等于嗤衿=與兀，