專題11.10期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

【人教版】

考點(diǎn)1N相交線與平行線解答期末真題壓軸題

1.（2022春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考期末）已知直線/8IICD,點(diǎn)P在直線48,CD之間，連接力P,CP.

圖2

圖1圖3

(1)如圖1,若乙4PC=120°,乙PAB=130。，直接寫出NPCD的大小;

(2)如圖2,點(diǎn)。在48,CO之間，^QAP=2^QAB,乙QCP=24QCD,試探究41PC和/4QC的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由;

⑶如圖3,乙PAB的角平分線交CD于點(diǎn)且AMIIPC,點(diǎn)N在直線AB,CD之間，連接CN,MN,乙PCN=

n"'"MN=：乙NMD,九＞1,直接寫出分的值（用含〃的式子表示，題中的角均指大尸。。且小于18。。

的角）.

【答案】（1）110°

(2)LAPC=360。-3,4QC；

【分析】（1）過點(diǎn)夕作PQII48,則PQIIA8IICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

（2）過點(diǎn)尸作PMIIAB,過點(diǎn)。作QNIIAB,則PMMBIICD,QNWABWCD,結(jié)合

乙QAP=2乙QAB,乙QCP=2乙QCD,即可得到結(jié)論；

（3）過點(diǎn)P作PEIIAB,則PEIIABIICD,可得/APC=360°-^PAB+乙PCD）,過點(diǎn)N作NFIIHM,可得38Ap=

18Q°-NAM凡HPBAP=360°-2Z-AMF,結(jié)合乙PCN=n乙NCD,乙AMN=工乙NMD,幾＞1,可得zMNC=

n

二■乙力時凡進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】⑴解：過點(diǎn)尸作PQIIAB,則PQIIABIICD,

AB

圖1

??2PAB=130°,

：.AAPQ=180°-130°=50°,

??ZPC=120°,

：.z.CPQ=120°-50°=70°,

工乙PCD=180°-70°=110°；

（2）解：過點(diǎn)尸作PMIL4B,過點(diǎn)。作QNIIA8,則PMII力QN\\AB\\CDt

圖2

：^PAB+/.APM=180°,4PCD+4CPM=180°,

J.LPAB+乙PCD+Z.APC=360°,即乙4PC=360°-（Z.PAB+乙PCD）,

同理：^AQC=^BAQ+^DCQ.

*：/.QAP=2Z,QAB,"CP=2Z.QCD,

：./.BAQ=^PAB,乙DCQ=：cPCD,

*5O

：,z.APC=360°-（Z-PAB+zPCD）=360°-3（Z-BAQ+乙DCQ）=360°-3^.AQC,

：.z.APC=360°-3Z71QC；

（3）解：過點(diǎn)尸作PEIIAB,貝！jPEIIABIICO,

圖3

*：PE\\AB,

：,^.APE+￡P(guān)AB=180°,即4APE=180°—4PA8,

yPEWCD,

/.zCPF=180°-zPCD,

：.^APC=360°-(^PAB+乙PCD)

過點(diǎn)N作NFWAM,

?ZMIIPC,

：.NF\\PC,

:.乙CNF=乙PCN,

*：NF\\AM,

:.乙FNM=LAMN,

VZDHCD,

=Z-AMC,

?ZM平分484P,

=-BAP,

2

*：LAMC=180°-4AM廣，

：.-BAP=180°-z/lMF,

2

?；cAMN=L^NMD,Z.AMN+Z.NMD=Z.AMF

n

=—Z.AMF,

n+1

?"FNM=乙4MN=—Z.AMF,

n+l

?:乙PCN=n乙NCD,乙PCN+乙NCD=LPCD,

：.LPCN=—LPCD,

n+l

:.乙CNF=乙PCN=—ZPCD,

n+l

LMNC=乙CNF-乙FNM,

，乙MNC=乙CNF一乙FNM=—z.PCD-—^.AMF,

n+ln+l

?：^BAP=1SO0-Z,AMF,

2

：,BAP=360。一24力MF,

：,LAPC=360°-(/PH8+乙PCD)=360°-(360°-24AMF+乙PCD)

=2/力MF-乙PCD,

VZMHPC,

：.z.PCD=AAMF,

：.LAPC==2Z.AMF-，/IMF=Z.AMF,

:'乙MNC=—APCD--^AMF=—Z-AMF--Z.AMF=—AAMF,

n+ln+1n+1n+1n+1

.乙MNC_缶"MF_n-i

AAPC~Z71MFn+r

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，添加輔助線，理清各個相關(guān)角的關(guān)系是關(guān)鍵.

2.(2022春?山東聊城?七年級統(tǒng)考期末)如圖，已知力MII8N,點(diǎn)尸是射線AM上?動點(diǎn)(與點(diǎn)力不重合)，

BC，BD分別平分N4BP和4PBN,交射線力M于點(diǎn)C,D.

⑴①當(dāng)乙A=56。時，448N的度數(shù)是；

②???/1時|歸/\/,：.Z,ACB=z.；

(2)￡A=x時，iCBD的度數(shù)=(用含x的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，44P8與NAD8的度數(shù)之比是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動而發(fā)生變化？若不變化，請求出這個比值,

若變化，請寫出變化規(guī)律；

(4)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到使乙4cB=41BD,且乙4=%時,求〃BP的度數(shù).

【答案】⑴①124°；②CBN

⑵90。-1

(3)不變，乙4PBz408=2

(4)LABP=90°

【分析】(1)①根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可解答；②根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可解答:

(2)根據(jù)力MIIBN,Z/4=%,得出180。一%，根據(jù)BC,分別平分Z4BP和NPBN,得出NPBC=

三乙PBA,乙PBD=；LPBN,則4C8D=^PBA+=*BPR|J可求解；

(3)根據(jù)4MII8N,得出乙APB=4PBN,乙ADB=LDBN,根據(jù)8。平分/PBN,得出乙PBN=2/D8N,則

/.APB：Z.ADB=2；

(4)根據(jù)4MIIBN,得出乙4cB=NCBN,進(jìn)而推出N4BC=々DBN,根據(jù)BC,BO分別平分乙48P,乙PBN,

推出乙48P=4P8N=T^48N,^UABN=180°-Z.A=180°-x,即可進(jìn)行解答.

【詳解】⑴解:①FMIIBN,LA=56°,

:"BN=180°-56°=124°,

故答案為:124°；

②'NMIIBN,

，乙ACB=LCBN；

故答案為：CBN；

(2)解：(4MII8N,(2=X,

"ABN=180°-%,

VBC,BD分別平分乙ABP和tPBN,

：,LPBC=^Z.PBA,Z-PBD=￡乙PBN，

：.z.CBD=-^PBA+-/-PBN

22

=q(4PBA+乙PBN)

1

=/ABP

=1(1800-x)

=90°-1x；

故答案為：90°—^x；

(3)解：不變，LAPB.LADB=2.

?ZMII8N,

，乙APB=￡P(guān)BN,乙ADB=iDBN,

???BD平分4PBN,

二乙PBN=2zJ)BN,

J.LAPB：LADB=2；

(4)解：*：AM\\BN,

，乙ACB=^CBN,

*：z.ACB=Z.ABD,

:.乙CBN=4ABD.

：.AABC=乙DBN,

?:BC,80分別平分4ABP,乙PBN,

：.LABP=2Z.ABC,乙PBN=2(DBN,

J.Z.ABP=乙PBN=g44BN,

VZ-A=x,

:.乙ABN=180°-z/l=180°-x,

???乙48P=90。一，.

2

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)

鍵.

3.(2022春?河北石家莊?七年級石家莊市第二H^一中學(xué)?？计谔?如圖1,直線4811c0,直線與/18,

CD分別交于點(diǎn)G,H,乙EHD=a.將一個直角三角板PMN按如圖1所示放置，使點(diǎn)N,M分別在直線AB,

CO上，且在點(diǎn)G.〃的右側(cè)，已如4PMN=60。.

備用圖

⑴若44AM=100。,則NPMD的度數(shù)為二

(2)若乙ANM=Z.EHM十"MN,?JPM\\EF說明理由；

(3)如圖2,已知2MNG的平分線N。交直線CD于點(diǎn)O.

①當(dāng)NOIIEF,PMIIEF時，求a的值；

②現(xiàn)將三角板PMN保持PMIIEF,并沿直線CD向左平移，在平移的過程中，直接寫出乙M0N的度數(shù)(用

含。的代數(shù)式表示).

【答案】(1)40。

(2)見解析

(3)①a=60。：②乙MON的度數(shù)為30。+ga或60。-ga

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出乙NMD=N4NM=100。，根據(jù)乙PMN=60。，求出結(jié)果即可；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出NNMD=N4NM,結(jié)合已知條件得出4=最后根據(jù)平行線的判

定得出結(jié)論即可；

(3)①根據(jù)NO||EF,PMWEF,得出NO||PM,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/ONM=4PMN=60。，根據(jù)角平分

線的定義，得出4力N。=乙ONM=60°,根據(jù)ABWCD,乙NOM=乙ANO=60°,根據(jù)NOWEF,得出乙EHD=

乙NOM=60。即可得出答案；

②分兩種情況：當(dāng)N在點(diǎn)G的右測，當(dāng)點(diǎn)N在G點(diǎn)的左側(cè)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：^ABWCD,Z.ANM=100°,

工乙NMD=乙ANM=100°,

??"PMN=60°,

，乙PMD=乙NMD-4PMN=40。；

故答案為：40°.

(2)證明：-：AB\\CD,

?LNMD=乙ANM,

.:乙NMD=乙PMN+乙PMD,

=4PMN+Z.PMD,

\'^ANM=Z.EHM+乙PMN,

,乙PMD=4EHM,

：.PM\\EP；

(3)解：①??,NOIIEF,PM\\EF,

：.NO\\PM,

LONM=乙PMN=60°,

,:NO平分乙MNG,

?0ANO=乙ONM=60°,

?ZBIICD,

，乙NOM=2ANO=60°,

V/VOHEF,

:.乙EHD=乙NOM=60°,

即a=60°；

②當(dāng)N在點(diǎn)G的右側(cè)時，如圖所示:

yPMWEF,Z-EHD=a,

?LPMD=乙EHD=a,

LNMD=乙PMN+Z-PMD=60°+a,

VZFHCD,

：.z.GNM=乙NMD=60°+a,

?；NO平分4MNG,

:?乙GNO=-^GNM=30°+-a,

22

9：AB\\CD.

?"MON=乙GNO=30°+1a；

當(dāng)點(diǎn)N在G點(diǎn)的左側(cè)時，如圖所示:

*：PM\\EF,乙EHD=a,

?"PMD=LEHD=a,

?LNMD=乙PMN+乙PMD=60°+a,

VABUCD,

:?乙GNM+乙NMD=180°,

?LGNM=180°-60°-a=120°-a,

:NO平分乙MNG,

；?cGNO=；^GNM=60°

22

'：AB\\CDt

，乙MON=Z.GNO=60°-1a；

綜上分析可知，NMON的度數(shù)為30。+ga或60。一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出

相應(yīng)的圖形，并注意分類討論.

4.（2022春?北京西城?七年級北京八中?？计谀┠澈恿餮雌诩磳砼R，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各

安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況，如圖，從燈A發(fā)出的射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN

便立即回轉(zhuǎn)，從燈8發(fā)出射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交又照射巡視.若燈力轉(zhuǎn)動的

速度是a。/秒，燈〃轉(zhuǎn)動的速度是秒，且小6滿足（。-3）247^11二0.假定這一帶河流兩岸河堤是

平行的，即PQIIMN,R^BAN=45°.回答下列問題：

（2）兩燈同時轉(zhuǎn)動，若在燈力發(fā)出的射線到達(dá)4N之前，兩燈射出的光束交于點(diǎn)。（點(diǎn)。不與8重合），過。

作C0J.71C交PQ于點(diǎn)￡>.

①詩依題意補(bǔ)全圖形（圖1）;

②探索在兩燈轉(zhuǎn)動過程中，匕B4C與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系：若改變,

說明理由.

（3）若從燈8發(fā)出射線先轉(zhuǎn)動20秒，從燈力發(fā)出射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈〃發(fā)出射線到年8Q3的,兩燈的光

束互相平行時，直接寫出燈力轉(zhuǎn)動的時間,

【答案】(1)3,1

(2)①圖見詳解：②乙BAC與乙8CD的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生變化，其數(shù)量關(guān)系是248AC=348CD

(3)10秒或85秒

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問題即可；

(2)設(shè)燈力轉(zhuǎn)動的時間為t秒，分別表示出4B4C與NBCD,即可判斷出答案；

(3)分三種情況，利用平行線的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】(1)??,(a-3)2+VF=I=0,

("3>>0,

>0,

/.a=3,b=1,

故答案是3,1；

(2)①如圖所示，

②ZLBZ4c與乙BCD的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生變化，其數(shù)量關(guān)系是2LBAC=3ZBCD,

如圖，過點(diǎn)。作CEIIMN,

設(shè)燈力轉(zhuǎn)動的時間為t秒，

,:&AN=180。-33

：.^.BAC=乙BAN-Z-CAN=45°-(180°-30=3t-135°=3(t-45°),

?「PQIIMN,CEWMN,

：.CE\\PQ,

：.LECA=乙CAN=180。-33zECB=乙CBP=t,

：,LACB=Z.ECA+乙ECB=180°-3t+t=180°-2t,

CDLAC,

?"CD=90°-乙4cB=90°-(180°-2t)=2t-90°=2(t-45°),

???K84C:NBCD=3:2,

BP2Z.BAC=348c0；

(3)設(shè)燈力轉(zhuǎn)動￡秒時，兩燈的光束互相平行，

當(dāng)0VtV60時，

3t=(20+t)x1,

解得：t=10；

當(dāng)60<120時，

3t-3x60+(20+t)x1=18°：

解得：￡二85；

當(dāng)120VIV160時，

3t-360=(20+t)X1,

解得：七二190>160,不合題意，舍去；

綜上所述，當(dāng)t=10秒或t=85秒，兩燈的光束互相平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.

5.(2022春?河北邯鄲?七年級統(tǒng)考期末)如圖，4108=90。，C,后分別是。4OB上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)C,

E作CD,E凡使得CD||",ADCO的平分線CP和/OEF的平分線EP相交于點(diǎn)P.

(1)若NBEF=60°.

①求乙OCD的度數(shù);

?LCPE=

(2片巴射線EF沿0B方向平移，求CP所在的直線與乙。EF的平分線EP相交所成乙CPE的大小.

【答案】⑴①30。；②135。

(2)"PE為135?；?5°.

【分析】(1)①如圖，過。作。KIIE凡而CDII",則。KIIEFIICD,可得zOCD=ZCOK,乙BEF=LBOK,

nJWzCO/f=90°-60°=30°,從而可得答案；②如圖，過戶作PQIIEF,而CD||E凡可得CO||PQ||EF,而

CP平分/DCO,nJWziDPC=Z-CPQ=^Z-DCO=15°,zQPF=180°-zPFF,求解乙QPE=120°,從而可

得答案；

(2)當(dāng)P在匕DCO的角平分線上時,如圖，過。作。KII",過P作PQIIEF,而CDIIEF,則CD||PQ||OK〃F,

設(shè)乙AOK=x,則4EOK=90°-X,同理可得：LDCO=x,LQPC=Z.DCP=LOEF=180°-(90°-x)=

90°+x,Z.PEF=^(90°+x)=45°+Z.EPQ=180°-(45c+^x)=135°-再結(jié)合角的和差運(yùn)算

可得答案；當(dāng)P在4DC。的角平分線的反向延長線上時，如圖；過。作。KIIE凡過P作PQIIEGCDWEF,

則CDWPQWKWEF,設(shè)NAOK=x,則4￡OK=90°-x,同理可得：3co=x,乙QPC=Z.DCO=1x,Z.QPE=

zPFF=45°+1x,再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得答案.

【詳解】⑴解：①如圖，過。作。KIIEF,而CD

：.OK^EF\\CD,

：.LOCD=乙COK,乙BEF=乙BOK,

??"EF=60。,

：.LBOK=60°,

?：LAOB=90°,

?0COK=90°-60°=30°,

?"CD=30。：

②如圖，過。作PQIIEF,而COIIEF,

：.CD\\PQ\\EF,而“平分4DC。,

AzDPC=Z.CPQ==15°,乙QPE=180°-乙PEF,

,:乙BEF=60°,EP平分乙OEF,

：,LOEF=120°,z.PEF=^x120°=60°,

2

：.z.QPE=120°,

."CPE=120°+15°=135°.

(2)當(dāng)P在匕OC。的角平分線上時，如圖，過。作。K||￡T,過P作PQIIEF,而COIIEF,

則CO||PQ||OK||￡T,設(shè)乙力OK=%,則/EOK=90。一，

同理可得：乙DCO=x,/LQPC=LDCP=

乙OEF=180°-(90°-x)=90°+%,乙PEF=-(90°+%)=45°+-x,

22

yPQWEK,

:?乙EPQ=180°-(45°+!x)=135。-)，

乙CPE=乙CPQ+Z.EPQ=1x+135°-1x=135°：

當(dāng)P在N0C。的角平分線的反向延長線上時，如圖；過。作。KIIE凡過P作PQIIE凡而CDIIE凡

則COIIPQIIOKIIEF,T&^AOK=X,則NEOK=90。一，

同理可得：乙DCO=x,LQPC=LDCO=\x,ZQPF=ZPFF=45°+1X,

04---------/-K

E

B

：.z.CPE=Z.QPE-AQPC=45°+=45°；

綜上：ZCPE為135。或45。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，利用平行線的性質(zhì)求解角的大小，角平分線的含義，作出合適的輔

助線，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

6.（2022春?廣東深圳?七年級校考期末）【學(xué)習(xí)新知】：

射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等.如圖1,是平

面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為41,反射光線與水平鏡面夾角為乙2,則乙1=42.

（1）【初步應(yīng)用】：

生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測距.如佟2當(dāng)一束“激光叨?！可淙氲狡矫骁RAB上、

被平面鏡48反射到平面鏡8c上，又被平面鏡8c反射后得到反射光線02町回答下列問題：

①當(dāng)0。1花。2，匕￡。2c=60°（即44=60°）時,求乙。。1。2的度數(shù).

②當(dāng)乙8=90。時，任何射入平面鏡力B上的光線0。1經(jīng)過平面鏡和8C的兩次反射后，入射光線DO1

與反射光線。25總是平行的.請你根據(jù)所學(xué)過的知識及新知說明.

（提示：三角形的內(nèi)角和等于180。）

（2）【拓展探究】：

如圖3,有三塊平面鏡48,BC,CD,入射光線EOi經(jīng)過三次反射，得到反射光線。3r，已

知乙1=36。，48=120。，若要使￡。述。3凡求乙C的度數(shù).

【答案】（1）①120。：②見解析；（2）126°

【分析】（1）①先求出4。1。2￡的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)求解即可；

②由乙8=90。求出42+乙3=90。，結(jié)合題意可得41=乙2,z3=z4,可求Nl+N4=90。，進(jìn)而求出

乙。。1。2I2LO1O2E=180°,最后利用平行線的判定即可得證；

（2）過點(diǎn)。2作02Mli0遂，則02Mli。3凡利用平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等于180。可求乙￡。1。2=108。,

乙0102M=72°,Z3=z.4=24°,zMO2O3=60°,LO2O3F=120°,z5=z6=30°,最后在A。。2。3中求

解即可.

【詳解】解：（1）①???4E。2c=60°,乙E。2c=48。2。1，

.\Z-BO2O1=60°,

LOME=180°-乙OQB-乙EO2c=60°,

又。。11陀。2，

???40。1。2=180°-4。102f=120°；

②由題意知41=42,43=44,

Vz5=90°,

???42+/3=90°,

???上1十乙4=90°,

???乙？01。2+乙O&E=18O0-Z1-Z.2+180°-Z3-Z4=180°,

：.DOYW2EX

（2）過點(diǎn)。2作02Mli0山，

?“。11。3尸，

???。2時||。3尸，乙后。1。2+匕01°2時=180。,

VZ1=36°=Z2,

：.LEOXO2=180°一21一42=108°,

.??401。2M=180°-乙/0］。2=72°,

?.?，8=120。，

Az3=180°-z^-z2=24。=4

：.Z.MO2O3=180°-Z3-4O1O2M-Z4=60°,

,：O2M\\O3Ff

???，。2。3尸=180°-上。3。2M=120°,

??/5+z6=180°-乙。2。3尸=60°,

又，5=z.6,

Az5=30°,

AzC=180°-z5-z4=126°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春?廣東深圳?七年級深圳市高級中學(xué)?？计谀┠呈袨榱肆粱尘包c(diǎn)，在兩條筆直的景觀道MN、QP

上，分別放置了力、8兩盞激光燈，如圖所示.力燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至4N便立刻回轉(zhuǎn)，B燈

發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至8Q便立刻回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，4燈每秒轉(zhuǎn)動4。，8燈每秒轉(zhuǎn)動1。，若

這兩條筆直的景觀道是平行的.

Q

M------------------------------------------------N

備用圖

（1）8燈先轉(zhuǎn)動15秒，力燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)月燈轉(zhuǎn)動5秒時，兩燈的光束AM'和8P'到達(dá)如圖①所示的位置,

4M'和BP'是否互相平行？請說明理由；

（2）在（1）的情況下，當(dāng)片燈的光束第一次到達(dá)5Q之前，兩燈的光束是否還能互相平行？如果還能互相平

行，那么此時力燈旋轉(zhuǎn)的時間為多少秒？

【答案】（1）平行，理由見解析

（2）69或125或141

【分析】（1）分別計算乙4E8和乙也4M',得到它們相等，即可求解；

（2）先計算出力燈一共旋轉(zhuǎn)的時間，再分情況討論，利用乙建立方程求解即可.

【詳解】（1）互相平行；

理由：當(dāng)4燈先轉(zhuǎn)動15秒，4燈才開始轉(zhuǎn)動，且當(dāng)力燈轉(zhuǎn)動5秒時.

AMAM'=5X4°=20°,乙PBP'=（5+15）x1°=20°,

???兩條筆直的景觀道是平行的，

：.LAEB=乙EBP=20°,

J乙力EB=NMAM'，

：.AM'IIBP',即AW和8P，互相平行；

（2）能，69或125或141；

理由：當(dāng)力燈旋轉(zhuǎn)x秒時，

Z.AEB=Z.PBP'=（154-x）°,

當(dāng)B燈的光束第一次到達(dá)BQ之時，

8燈所用時間為180°+T=180（秒）,

：.A燈共旋轉(zhuǎn)了180-15=165（秒），

V180-4=45,即A燈光線每45秒從一邊到達(dá)另一邊，

當(dāng)0VXW45時，LMAM=4x°,

若4%=15+%,則x=5,為（1）中的情況，符合題意；

當(dāng)45<x<90時，Z.MAM=180°-4（x-45）°=360°-4x°,

若360-4%=15+x,M%=69,符合題意；

當(dāng)90VXW135時，4MAM'=44-360°,

若4%-360=15+%,則％=125,符合題意；

當(dāng)135〈無<165,/-MAM=180°—4（無-135）°=720°-4/,

若720-4%=15+%,則％=141,符合題意；

所以能，此時4燈旋轉(zhuǎn)的時間為69或125或141秒.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和平行線的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能進(jìn)行分類討論，并正確列出

一元一次方程.

8.（2022春?江蘇蘇州?七年級星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）（1）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時

光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1,光線。從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成

光線從根據(jù)光學(xué)知識有乙1=22,Z3=Z4,請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由；

（2）如圖2,直線"■上有兩點(diǎn)4C,分別引兩條射線AB、CD.4B"=120。，zDCF=50°,射線力8、

CD分別繞點(diǎn)/、點(diǎn)C以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為，秒，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時

間內(nèi)，是否存在某時刻，使得。。與48平行？若存在，直接寫出所有滿足條件的時間/.

【答案】（1）光線a與光線平行，理由見解析；（2）存在，當(dāng)t=5秒或95秒時，CD與/IB平行.

【分析】（1）由鄰補(bǔ)角的定義可求得乙5=46,從而可求得乙48c=/BCD,即可判定力訓(xùn)。。；

（2）分兩種情況：①與CO在EF的兩側(cè)，分別表示出/AC。與然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行,

列式計算即可得解；

②CD旋轉(zhuǎn)到與48都在"的右側(cè)，分別表示出與N847,然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計

算即可得解.

【詳解】解：（1）光線。與光線力平行，理由如下：

如圖，

Vz3=Z4,匕3+45=180。，々4+46=180°,

/.z5=z.6,

Vzl=z2

.?.zl+z5=z2+z6,即4

：.AB\\CD,即光線“與光線Z）平行；

（2）存在.分兩種情況：

如圖①，28與CD在Er的兩側(cè)時，

\^BAF=120°,乙DCF=50°,

：.^.ACD=180°-50°-3℃=130°-3°t,4BAC=120°-t°,

要使ABWCD,則N/CO=^BAF,

即130°-3°t=120°-t°,

解得￡=5；不符合題意；

②CO旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，如圖②，

,：LBAF=120°,乙DCF=50°,

:?乙DCF=360°-3t-50°=310°-3。3Z.BAC=120°-t°,

要使ABWCD,則/DCF=LBAC,

BP3100-3℃=120o-t°,

解得e=95,

此時(360。-50°)+3農(nóng)303,95x3=285<303,t=95符合題意;

綜上所述，存在，當(dāng)t=5秒或95秒時，C7)與A8平行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，?元?次方程的應(yīng)用，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷

兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

9.(2022春?江蘇?七年級統(tǒng)考期末)在幾何問題中，當(dāng)求幾個角之間的等量關(guān)系時，可以設(shè)未知數(shù)，通過“設(shè)

而不解”的方法，以它們?yōu)橹虚g量，結(jié)合三角形的性質(zhì)和已知條件，構(gòu)建所求角之間的等量關(guān)系：當(dāng)需要求

出某個角的具體度數(shù)時，我們可以通過設(shè)未知數(shù)的方式，根據(jù)問題中的等量關(guān)系列方程，并將方程進(jìn)行求

解，最后得到所求角的度數(shù).

已知點(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上的兩個動點(diǎn)，滿足BD||EF,乙BDG=乙BGD,DG平分5OE.

圖1

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時，我們可以設(shè)480G=X,乙以77=%作6，||80交4。于比請你運(yùn)用

含有％和y的代數(shù)式表示NOGE：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸右側(cè)時，請你運(yùn)用“設(shè)而不解”的方法來證明問題的結(jié)論是否乙DGE、乙BDG和dEG

之間的等量關(guān)系并說明理由;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左側(cè)時，點(diǎn)P為BD延長線上一點(diǎn)，DM平分交BC于點(diǎn)M,DN平分4PDM,

交EF于點(diǎn)N,連接NG,若DG1NG,乙B—乙DNG=LEDN,請你運(yùn)川所學(xué)的方法，直接寫出48的度數(shù).

【答案】(I)4DGE=x+y

(2)zDGE=ABDG-Z-FEG,理由見解析;

(3)60°

【分析】(1)過點(diǎn)G作GKIIDB交AD于K,則KGWEF,可得乙BDG=乙DGK,乙GEF=乙KGE,即可得至l"Z)GE=

Z.BDG+乙FEG；

(2)過點(diǎn)G作GH||DB交DA于點(diǎn)H,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；

(3)設(shè)NBDM=4MDG=a,^i^BDG=^EDG=Z-DGB=2aZ-PDE=180°-4a,Z.PDM=180°-a,由

3

a

角平分線的定義可得NPON==90。一會然后分別求出/EON=ga-90。，乙DNG2-

乙B-乙DNG=乙EDN進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴解：過點(diǎn)G作GKIID8交4D于，，

圖1

VFD||EF,

：.HG\\EF,

/.Z.BDG=Z.DGH=x,Z.GEF=乙HGE=y,

:.Z.DGE=Z.DGH+Z.HGE=x+y,

:.乙DGE=Z.BDG+Z.FEG=x+y；

(2)證明：過點(diǎn)G作G〃||08交D4于點(diǎn)H,

GH||DB||EF,

￡BDG=乙DGH,LFEG=Z.EGH,

：.￡DGE=￡DGH-LEGH,

???Z.DGE=Z.BDG-Z.FEG；

(3)解：^BDM=^MDG=a.^\LBDG=LEDG=Z.DGB=2a,則。E||8F,乙PDE=180°—乙BDE=

180°-4a,乙PDM=180°-a,

???DN平分"DM,

:.乙PDN=乙MDN=L^PDM=90°--,

22

:.￡EDN=乙PDN-Z-PDE=90°-^-(180°-4a)=ga—90°,乙GDN=乙MDN-乙MDG=90°-^-cr=

3

90°--a,

2

vDG1NG,

:.乙DGN=90°,

???/ONG=90。-乙GDN=90°-(90°-|a)=|a,

?:DE||BF,

???Z.B=Z.PDE=180°—4a,

?:乙B—乙DNG=乙EDN,

37

---1800-4a--a=-a-90°,

22

???a=30°,

???Z.B=180°-4a=60°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，余角的計算，解題的關(guān)鍵是

能夠熟知平行線的性質(zhì)與判定條件.

10.（2022春?全國?七年級期末）已知：直線加'分別交直線力&CQ于點(diǎn)G,H，且44GH+=180°,

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證:AB\\CD；

⑵如圖2,點(diǎn)M,N分別在射線GE,1IF上，點(diǎn)P,Q分別在射線CA,〃C上,連接MP,NQ,且nMPG+乙NQH=

90°,分別延長MP,NQ交于點(diǎn)K,求證：MK1NK；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接KH,KH平分乙MKN,且〃E平分NKH。，若乙DHG=/乙MPG,求乙KMN

的度數(shù).

【答案】(I)見詳解

(2)見詳解

(3)50°

【分析】(1)利用±CHG=4DHF,再利用等量代換，即可解決；

(2)過K作KRIIAB,因?yàn)锳B||CD,所以RK||AB||CD,則/MPG=乙MKR,乙NQH=乙RKN,代入即可

解決.

(3)過M作MT||AB,過K作KR||AB,可以得到MT||AB||CD||KR,設(shè)NDHG=17%/MPG=7x,利

用平行線的性質(zhì)，用x表示出角，即可解決.

【詳解】(1)v/.CHG=Z.DHF,LAGH+Z.DHF=180°,

Z.AGH+LCHG=180°,

???AB||CD,

(2)過K作KRIIAB,如圖，

-AB||CD,

???RK||AB||CD,

???LMPG=LMKR,乙NQH=^RKN,

?:4MPG+乙NQH=90°,

???乙MKRI乙NKR=90°

:.乙MKN=90°

MK1NK

(3)如圖，過M作MCI718,過K作KRII4B,

E

F

-AB||CD,

MT||ABIICDIIKR,

vKII平分乙MKN

?%Z.MKH=乙NKH=45°

17

???乙DHG=萬乙MPG

???可設(shè)4OHG=17x,乙MPG=7%,

THE平分，KHZ)

???/KHM=乙DHG=17x

:.乙KHD=34x

:.乙KHQ=1800-34x

???CD||KR

：?4RKH=乙KHQ=180°-34x

???MT||AB||KR

???4TMp=乙MKR=乙MPG=7X,LTMH=乙MHD=17x

?:4MKH=45°

???Z.RKH+乙MKR=180°-34x+7x=45°

???x=5°

?:乙KMN=乙TMH-LTMK

:?乙KMN=17%-7x=lOx=50°

【點(diǎn)暗】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是過拐點(diǎn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行導(dǎo)角.

考點(diǎn)2k實(shí)數(shù)解答期末真題壓軸題

1.(2022春?北京西城?七年級北京八中校考期末)觀察下列計算過程，猜想立方根.

I3=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

(1)小明是這樣試求出19683的立方根的.先估計19683的立方限的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為,又

由203<19000<303；猜想19683的立方根的十位數(shù)為,可得19683的立方根；

(2)請你根據(jù)(T)中小明的方法，完成如下填空：

①117649=,(2)70531441=.

【答案】(1)7,2

(2)-49,0.81

【分析［分別根據(jù)題中所給的分析方法，先求出這幾個數(shù)的立方根的個位數(shù)，再求出十位數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)???19683的個位數(shù)是3,而73=343末位數(shù)為3,

，猜想19683的立方根的個位數(shù)為7,

XV203<19000<303,

???猜想19683的立方根的十位數(shù)為2,

驗(yàn)證:273=19683,

故答案為7,2：

(2)①??；117649的個位數(shù)是9,而93=729末位數(shù)為9,

，猜想一117649的立方根的個位數(shù)為9,

又7(-50)3<_H7649<(-40)3,

，猜想一117649的立方根的十位數(shù)為4,

驗(yàn)證：(-49)3=-117649；

②?.,0.531441的末位數(shù)是1,而F=l,

???猜想0.531441的“.方根的末位數(shù)為I,

XV0.83<-117649<0.93,

.?.猜想0.531441的立方根的十分位數(shù)為8,

驗(yàn)證：0.813=0.531441；

故答案為一49,0.81：

【點(diǎn)睹】本題上要考查了立方和立方根，理解一個數(shù)的立方以后的個位數(shù)，就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方以后

的個位數(shù)是解題的關(guān)鍵，有一定速度.

2.(2022春?福建龍巖?七年級校聯(lián)考期末)新定義：若無理數(shù)VT的被開方數(shù)(7為正整數(shù))滿足?？<丁<5+

I)2(其中〃為正整數(shù))，則稱無理數(shù)近的“青一區(qū)間''為(n,n+l)；同理規(guī)定無理數(shù)-近的“青一區(qū)間''為(-

—例如：因?yàn)?v2<22,所以加的喟一區(qū)間”為(1,2),-加的“青一區(qū)間”為(一2,-1),請

回答下列問題：

(1)舊的“青一區(qū)間''為--舊的“青一區(qū)間''為二

(2)若無理數(shù)?(〃為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為(2,3),衍谷的“青一區(qū)間”為(3,4),求處不I的值.

(3)實(shí)數(shù)x,y,滿足關(guān)系式：VT”+|2023+(y-4)2|=2023,求危的“青一區(qū)間”.

【答案】(1)(4,5),(-5,-4)

(2)2或狗

⑶(3,4)

【分析】(1)根據(jù)“青一區(qū)間”的定義和確定方法，進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)“青一區(qū)間”的定義求出Q的值，再根據(jù)立方根的定義，進(jìn)行求解即可；

(3)利用非負(fù)性求出％y的值，再進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：../v17<52,

???<17的“青一區(qū)間”為(4,5)；

V42<23<5Z,

???一后的“青一區(qū)間”為(—5,-4)；

故答案為：(4,5),(―5,-4)；

(2),??無理數(shù)E“青一區(qū)間”為(2,3),

：.2<Va<3,

：.22<a<32,即4VQ<9,

?:無理數(shù)國萬的“青一區(qū)間”為(3,4),

/.3<Va+3<4,

A32<a+3<42,即9Va+3V16,

/.6<a<13,

/.6<a<9,

;a為正整數(shù),

Ja=7或Q=8,

當(dāng)Q=7時，>/a+1=+1=V8=2,

當(dāng)Q=8時，Va+1=V8+1=V9,

???立不1的值為2或狗.

(3)Wx-3+|2023+(y-4)2|=2023

+2023+0-4)2=2023,

即-3+(y-鏟=0,

x=3,y=4,

J、期=V12,

V32<12<42,

???聞的“青一區(qū)間”為(3,4).

【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的估算，非負(fù)性，求一個數(shù)的立方根.理解并掌握“青一區(qū)間”的定義和確定方法，

是解題的關(guān)鍵.

3.(2022春?湖北宜昌?七年級統(tǒng)考期末)已知：2%-1和4%+3是TH的兩個不同的平方根，2y+2是國

的整數(shù)部分.

(1)求％,y,m的值.

⑵求1+4y的平方根.

［答案］(l)x=_/y=%m=

(2)±V3

【分析】(I)一個正數(shù)的兩個不同的平方根的和為0,可求出工的值，把"勺值代入2%-1或4x+3,得

到m的一個平方根，可求出7九的值；由石即3<0?V4,得到2y+2=3,求出y的值;

(2)將(1)中y的值代入1+4力求其平方根即可.

【詳解】(1)解：由題意得，2x-l+4x+3=0,

解得x=_g

2x-1=--x2-1

33

/5、225

二m=(--)Z=y;

%-V9<TTo<716,即3y>/io<4

.??V云的整數(shù)部分是3,

???2y4-2=3,

解得y=；

故答案為：x=-1,y=m=T

（2）把y=?弋入，l+4y=l+4xg=3

3的平方根是±V5,

故答案為：±71

【點(diǎn)睛】本題考查平方根的概念和平方根的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是?個正數(shù)的兩個不同的平方根的和為0；?個

數(shù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分的確定方法：找到與被開方數(shù)最接近的兩個平方數(shù)，較小的這個平方數(shù)的算術(shù)平

方根即是它的整數(shù)部分；易錯點(diǎn)是一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個，它的平方根有兩個，且一正一負(fù).

4.（2022秋?貴州六盤水?七年級統(tǒng)考期末）已知整數(shù)的,組，。3,。4…滿足的=0,a2=-laj+l,a3=a2—2,

a4=-|a3|4-3,Q5=-4…以此類推.

（I）①根據(jù)已知條件，計算出由0=，Qu=;

②計算+。2+。3++…+。2021的值;

（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，求為+與+%+。4+-+%的值（用含〃的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）①5,5；②0

（2,

【分析】（1）①分別求出〃2=1，43=1,2,45=2,46=3,。產(chǎn)3,…,由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律:。?+。3=0,?^+?5=0...,

即可求解；

②由①的規(guī)律可求解；

（2）當(dāng)“為偶數(shù)時，a/+a2+a3+。#…+a/=0，再由a=會即可求解一

（1）

解：①■?Z/=0,

.*.￡?2=|?/|+1=1,

。3=力2=12=1,

04=田|+3=1+3=2,

。5=14=24=2,

。產(chǎn)|。5|+5=2+5=3,

“7=166=36=3,

a/o=5,aH=5?

故答案為：5,5；

②?；。2+。3=0，a/_。5=0，...

/.a/+az+as+arH..+。2。2/=0?

（2）

當(dāng)〃為偶數(shù)時，。/+。2+。3+。汁…+。/=0，

?\a/+az+a,+a#…+片

【點(diǎn)睛】本題考查與實(shí)數(shù)運(yùn)算相美的規(guī)律，通過所給式子，推斷出數(shù)的規(guī)律，并由規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)

鍵.

5.（2022春?福建福州?七年級福建省福州第一中學(xué)校考期末）單項(xiàng)式”）可表示邊長為a的正方形的面積，

這就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).康康由此探究魚的近似值，以卜.是他的探究過程：

面積為2的正方形邊長為魚，可知魚＞1,因此設(shè)&=1+八畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個

正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即S正方形=/+2號+1,另一方面S正方形=2,則/+2x-

+1=2,由于戶較小故略去,得2r+-2,則六0.5,即缶1.5

（1）仿照康康上述的方法，探究近的近似值.（精確到0.01）（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；

（2）繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的夕的近似值的基礎(chǔ)上，再探究一次，使求得的夕的近似值更加準(zhǔn)

確，精確到0.001（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；

（3）綜合上述具體探究，已知非負(fù)整數(shù)〃，/〃，b,若〃且/?=/+〃?，試用含，〃和石式子表示“

的估算值.

【答案】(1)2.65

(2)2.646

(3)乃="：

【分析】(1)設(shè)夕=2.6+，面枳為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為:?的正方形以及兩

個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；

(2)設(shè)近=2.64+/，面積為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方

形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；

(3)設(shè)〃=n+r,面積為b的正方形由一個邊長為〃的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組

成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案.

【詳解】(1)解：?.262=6.76,

???<7>2.6,設(shè)夕=2.6+r,

如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為/-的正方形以及兩個長方形組成，

2.6r

2.66.762&

2.6rrr

，S正方形=r2+5.2r+6.76,

??▼較小故略去，得52+6.7&=7,

Ar^O.OS,即V7七2.65；

(2)???2""6.970,

工書〉2.64,設(shè)77=2.64+，

如下圖所示，面枳為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成,

2.64

2.646.9702.64r

2.64rr

??.5］卜方形=r2+5.28r+6.970,

較小故略去，得5.28勾+6.97U7,

?,?內(nèi)0.006,即缶2.646；

(3)Vn<VS</:+1?且/)=/+”？

:.設(shè)=n4-r,

如下圖所示，面積為b的正方形由一個邊長為〃的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成,

n

n-7nr

nrr

'Su