練習(xí)8-1

1.判定下列平面點(diǎn)集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集?

并分別指出它們的聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集(稱為導(dǎo)集)和邊界.

(1){?,汕工0,戶0}；

解開集，無界集，導(dǎo)集為R；邊界為{(x,y)go或戶0}.

⑵《")|1<？+那4}；

解既非開集，又非閉集，有界集，導(dǎo)集為{(x,y)|l*2+/44},

邊界為{?,〉)1KtyJi或丁+步=4).

(3){(r,v)lv>.v2);

解開集，區(qū)域，無界集，導(dǎo)集為{(1")|臥2},邊界為{(X,則產(chǎn)X?}

(4){k1九l}n{(x,回|?+62)2“)?

解閉集.有界集，導(dǎo)集與集合本身相同，

邊界為你,歷門"1?=l}u{(x,y)\x\(y-2)2=4).

2.已知函數(shù)/(xj)=*+y2—DtanC試求貝k,。).

J

解/(HU)=(㈤2+(療-(㈤?@).(tan§

="(x2+j2-xitan?=/2/(x,y).

3.試證函數(shù)尸(x,.y)=lnx?ln.y滿足關(guān)系式：

F(xy,MV)=F(X,U>F(X,V)+F(V,U)+F(V,V).

證明尸(xy,uv)=ln(G,y)ln(Mv)

=(hix+ln》(lnw+liiv)

=hix-hiiz+hix-hiv+hiy-hiz/4-hn-hiv

=F(x,v>F(>f,■尸(v,v\

4.已知函數(shù)危，匕wA〃w+w";試求義xt%x-y,xy).

解危+>,x-y,孫上(葉鏟+(xy產(chǎn))+(沙=(x+y產(chǎn)I"⑦盧.

5.求下列各函數(shù)的定義域：

(l>=ln(/-2v+l)；

解要使函數(shù)有意義，必須產(chǎn)-右+1>0,

故函數(shù)的定義域?yàn)椤?{a了)”-2計1>0}.

解要使函數(shù)有意義，必須x+y>O,x-yX),

故函數(shù)的定義域?yàn)閐{(qy)k少0戶-戶0}.

⑶二二正后；

解要使函數(shù)有意義，必須》20.工-6之0即工之瓜，于是有X20且小沙,

故函數(shù)定義域?yàn)?=84)|丘0,處0戶2寸}

⑷[2打七；

解要使函數(shù)有意義，必須尸00戶20,1-"2_/>0,

故函數(shù)的定義域?yàn)閥)\y-x>o,x^o,x2+/<i).

(5)〃=-2_》2_,2_，+_======g/>0);

J*+y，+zJr，

解要使函數(shù)有意義，必須爐--孑一/澗且1z+y+d——〉。，

故函數(shù)的定義域?yàn)镻={(v,y,z)|/4d+y+i4).

(6)//=arccos

^x2+y2

解要使函數(shù)有意義，必須f+/0,且即d*2+y,

一+,

故函數(shù)定義域?yàn)?>《工乂

6.求下列各極限：

(1)lim1一三*

(r,/)^(o,i).v2+y2

\-xy_1-0

解lun今

Qj)To,i)x-+.y20+1

⑵（J%。）器睪;

解”般,。）指景二竽累/J

,八V2-J.w+4

(3)lun————；

(X^-KQO)工y

解11m2一所二111nQ-所）空叵辿

Xr）rQ?！祒y”J〉TO,O）炊2+，孫+4）

(QTO,。)(2+《xy+4)4

(4)lun-f=~-,

aj)T0,0)J.W+lT

包g+1+1)

解lini/?j-=Inn-,----,——

(“)第0.0)^+1-1(Xy)T0Q)(1+D(JD+1T)

雙區(qū)+1+1)_

liinlunJw+i+l)=2.

①j)-Ko,3

(5)lun/&

^)-K2,o)y

解lun皿?=11m吧里x=i.2=2.

(X.7)-K2,O)y勾)-K2,0)xy

解lun1-8式.>+一）二應(yīng)11-8演+/）如“_J_

Ccj）rao）（―+/射*"j）Tao）?+爐口7）*,。）/P

二11m上回=i11n羋=0.

r^otr-)o1

7.證明下列極限不存在:

]x4-y

(1)lun——-

^)-KO,o).v-y

證明如果動點(diǎn)p(x,y)沿戶0趨向(0.0),

則lun^^=lun—=1；

Cc,7)-K0,0)X-Jx-^OX

7=0

如果動點(diǎn)以*,y)沿X=o趨向(0,0),

R'Jlim'+?=liin」-=-1.

(xj)-KQO)X-yy-^O-y

x=0

因此，極限bin也不存在.

X力T(o?x-y

⑵星記2+(.v-j)2.

證明如果動點(diǎn)Mx.y)沿戶X趨于(0,0),

則(4%鬲瑞落媽

y=x

如果動點(diǎn)Mx,河沿y=2x趨向(0,0),

而)一爐

=lun0=0

0c./)^(O,O).X2V2+(.T-y)2x^o4/+X2

y=2x

因此極限不存在.

&函數(shù)Z;卷在何處間斷?

9,證明lun-r^--=0.

<V〉T0,0)Jd+y

證明因?yàn)棰镵苧，故卒亡=母￡.

2I次鏟廣2歷72

對于任意給定的Q0,取應(yīng)26當(dāng)0<&+爐〈（5時恒有

22

所以hin/T，=0.

（X/）-KO,O）^+J2

10.設(shè)尸（XJ月2,貝X）在Xo處連續(xù)，證明：對任意MER,尸（XJ）

在（“。,加）處連續(xù).

證明由題設(shè)知,〃）在X。處連續(xù)，故對于任意給定的Q0,取蘇0,

當(dāng)卜-刈<陽h有火）貢xo）k后

作（項(xiàng)面的鄰域。（（工0,.比）,蘇顯然當(dāng)CV,V）WU（GO,M）,⑤時Jjvok技

從而

I尸0,?8*0,yo）M/（.<Htro）kg

所以尸（x,y）在點(diǎn)（10,次）處連續(xù).

又因?yàn)镸是任意的，所以對任意州gR.尸（X,3）在（Xo,州）處連續(xù).

練習(xí)8-2

1.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：>

（1）二二凸―3K

解與=3.3廣"，告=--3寸.

ar中

⑵5=3;

解導(dǎo)后中導(dǎo)佛?+岸宗方

(3)二二Jn(.g)；

解卜]]=---

dxdxy2皿x+lnyx2xyj二\n(x=y)?

同理生=---J

245砌?

(4)z=sin(xyHcos2(xv);

一

解《一cos(x))?v4-2cos(x)?).[-sin(x}^)]?v-v(cos(xi)-sin(2xi^)]

根據(jù)對稱性可知

.=4cos(.ry)-sin(2rx)].

⑸二二lntan—:

v

解—=——?sec2--l=-csc—,

女tan3yyyy

y

身二」_?sec2主弓=-與CSC”

/taniyyyy

y

（6）N（i+.dy；

解答w+孫廠,產(chǎn)產(chǎn)（1+9廠，

ox

舁=梟加1+項(xiàng)=泌n（l+叫1n（］+砌+）??看］=Q+鈔皿1+歲）+￡_］.

y

⑺〃二"；

(8)M=arctan(x-jX;

解加二Xx-y尸7du=二(x-J尸az=(x->yin(x-v)

dxi^x-y)22'dyl+(x-j)22'dzl+(x-y)”

2.設(shè)r=2喂，試證喻g歲。.

3.設(shè)Z=C求證

解因?yàn)閷?dǎo)既苫■所以

嗯+式導(dǎo)苫?+J第=&.

4,設(shè)/(1/)=工+0-1)m8111F，求人(1,1)?

解因?yàn)?(x,l)=x+(l-l)arcsinj；二工，所以人(蒼1)=4/(苫1)=1.

92

5.曲線卜二V在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與正向x軸所成的傾角是多少?

產(chǎn)4

解出=2'Bl(^=1=tana>故。=%

上42

6.求下列函數(shù)的獸，裳，蹤.

dx2dy2dxdy

(1):=*4±/一4—；

解導(dǎo)413_&弓.2,g=12T2_8j2.

導(dǎo)4V心勺，軟=12產(chǎn)蜻;

-Q二?(413-靖丁)=-16xy.

dxdydy

(2)二二aictanM

x

解.=1，附_坷,

三/必+爐'永2一。2+爐)2'

包=_1_..、二C啊二均，

Oy1+廿x2^y2'dy2(x2+j2)2'

x2

啊J,y、-(?+諭-2九>2*

dr辦dyW+j2(x2+j2)2(x2+j,2)2

⑶T

解會二pin>，^-j=jxbi2j;

dxdx￡

界十1祥Wf產(chǎn)；

---(yxInj)=xy^~1Iny+vA*—=v^\.rlnv+1).

dxdy}dyy

7.設(shè)加J,z)=4+H+z?,求笈0,0,1),笈1,0,2),加0,-1,0)

及啟(2,0,1).

解因?yàn)?=/+2xz,名產(chǎn)2z,名尸2x,

62VHi，加2z,

t/J=2j^+x^,t/^=2y,t^zx=0,

所以/40,0,1)=2/貝,0,2)=2,

A(0,-l,0)=0^X2,0,1)=0.

曲及啊

8.設(shè)？=工*9),求

dx^dydxdy2

解—=ln(iv)+.x—=ln(w)+l,

dxxy

g2^_J_1共0

=x=1啊=1

dxdyxyy'dxdy1yz

9.驗(yàn)證:

⑴產(chǎn)廠招51nnx滿足警=4_1^；

證明因?yàn)榕c油?sin，n:?(?)=-E2c-**?sin，zx,

黑=鵬上去8曲,^^=-,刖觸“sin小，

dxSr

k=一卜?夕附smiix,

所以隼嚕

222

(2)r=^x2+j2+22滿足drdrdr_2

必/得二/

iF明Sr-x-xd2r_r~X'^j_P-x2

盯必亨KF聲一丁_一=

白對稱性知

/_，_,2d2r_r2-z2

示""P-'&2="P-，

d2rd2rd2rr2-x2,^-y2,r2-z2

因此a?+/?P-

二3戶-(,“2+為二3/—

練習(xí)8-3

1.求下列函數(shù)的全微分:

(1)二=甲，+±;

y

(2)二=以

解(h-—(h^—(h,=-^—e^dx-Jt--eyxd\'.

dxdyx2x

y

（3）二二^v^+.v2

解因?yàn)閷?dǎo)_拉四打■一辭嚴(yán)

dz_/,必

dy-?+7一（f+爐嚴(yán)’

所以新=（7+3嚴(yán)小+,,2嚴(yán)力二-鬲為7KM一時）,

（4>匕式

解因?yàn)榻z二戶..儼I”1nM2“儼hr,

dxoydz

dM=pzx產(chǎn)t由+zx尸laxrA+vx^liu<fc

2.求函數(shù)=取1+/"）當(dāng)工=1,盧2時的全微分.

解因?yàn)?魯

dxI+J當(dāng)T+J2?=F1+~必?+爐2

dz\_1&_2

司晟一T砒.一

所以<*Li=\dx^dy.

lv=9，J

3,求函數(shù)2=1當(dāng)工=2,片1,6二0.1,緲=-0.2時的全增量和全微分.

解因?yàn)?="'+△)dz=-ArAx-J—Ay,

X+A*XATX

所以，當(dāng)x=2,盧1,Ax=0.1,4產(chǎn)-0.2時，

心例十一°"9,

dfc=-ix0,l+|x(-0.2)=-0.125.

4.求函數(shù)z二/當(dāng)x=l,"l,Ax=0.15,A產(chǎn)0.1時的全微分.

解因?yàn)镚=宓A(chǔ)x+生包=jdAr+xe12y

dxOy

所以，當(dāng)x=l,產(chǎn)1,Ax=0.15,3=0.1時，

<fc=e-015+e-0.1=0.25e

*5.計算,(102)3+(1.97)3的近似值.

解設(shè)一瓜守，由于

J(x+A，)3+S+a)3]；^7+笑.+n=^7+3.啊+3.小,

小可,2次十/

所以取x=]g,AX=0.02,AL0.03可得

1

,(1.02)3+(1.97)3?Vi+2+3.0_02+3.2乂=00%^^=295

*6.計算。97)1。5的近似值(h2=0.693).

解設(shè)M匕由于

(x+A鏟生AH生a7+皿3+^111.田，

dxdy

所以取x=2,"l,Ax=-0.03,△產(chǎn)0.05可得

(1.97)1°5?2-0.034-21n2.0.05+l.97+0.0693?2.093.

*7.已知邊長為x=6m與產(chǎn)8m的矩形，如果x邊增加5cn而y邊減少10cm,

問這個矩形的對角線的近似變化怎樣？

解矩形的對角線為二二Jl+p,

Az?6t=^A.v4-^Aj=,(xAx-f-jAy),

當(dāng)x=6,v=8,Ax=0.05.Aw-O.l時,

Az?-j=J=(6-0.05-8-0l)=-0.05.

這個矩形的對角線大約減少5cm

*8.設(shè)有一無蓋圓柱形容器，容器的壁與底的厚度均為(Me或

內(nèi)高為20c明內(nèi)半徑為4厘米，求容器外殼體積的近似值.

解圓柱體的體積公式為片成2人

AVadV-2nRh^R+，Ah,

當(dāng)R=49/t=20,在A/tO.1時，

A^2x3.14x4x2OxO.l+3.14x42xO.l?55.3(cm3)

這個容器外殼的體積大約是55.3cm3.

*9.設(shè)有直角三角形，測得其兩腰的長分別為7±O.lcm和24±0.1他

試求利用上述二值來計算斜邊長度時的絕對誤差.

解設(shè)兩直角邊的長度分別為x和y,則斜邊的長度為二二必了.

加忖比噫卜|必+|和Ay|二面)(x|Ar|+y|M).

令x=7,產(chǎn)24,收區(qū)0.1,色本?！?，則得斜邊長度工的絕對誤差約為

6=,1(7?0.14-24?0.1)=0124cm

^+241

?10.測得一塊三角形土地的兩邊長分別為63土0.1m和78±0.1叫

這兩邊的夾角為60?！?。，試求三角形面積的近似值，并求其絕對誤差

和相對誤差.

解設(shè)三角形的兩功長為X和乂它們的夾角二為則三角形面積為

9J

dS=—j'suirdfv+ksmFrH"—xvcoszot

oJ?—）J

|&5忖^^1,81!】二|去|+4工8111二|小|+）個（：05二|比|.

444

令工=63,尸78,z帶，小匕0.l,曲匕0.1,公高，貝4

出a孕x辱01+%鳥0.1+^2§x[x惡=27.55,

一—-JAW

S=1-63-78smj=2127.82,

a二吊耗=L29%，所以三角形面積的近似值為2127.82m2,

絕對誤差為27.55m）相對誤差為1.29%.

*11.利用全微分證明：兩數(shù)之和的絕對誤差等于它們各自的絕對

誤差之和.

證明設(shè)M=X+F,則

|A//|s|fi/|=|^AT4-^Av[=|A.v+Av|^|Av|4-|Av|.

oxqy"

所以兩數(shù)之和的絕對誤差|A〃|等于它們各自的絕對誤差|At|與附的和.

*12.利用全微分證明：乘積的相對誤差等于各因子的相對誤差之和;

商的相對誤差等于被除數(shù)及除數(shù)的相對誤差之和.

證明設(shè)4工y,V=—,則疝！=yrfr+x6,

ydx-xd\'

Av?rfv=-

由此可得相對誤差:

MJ叫二皿"叫二次十口啊+件卜斗件卜

uxy

ydx-xdy

X著《陽+群靜那

y

練習(xí)8-4

1.設(shè)I而到增嚼?

*@&

解

fe€蘇5v

§+-a_

ar曲

ar&+-&

fe力

一=2wl+2v-(-1)=2(u-v)=4y.

,￥加

au

2.設(shè)Hlny,而嶗，心為求短短

dzdzdu^dzdv

dxdudxdvdx

=2wlnv-l+^-3=與物(3尸2加/32

yvy2k〃(3x-2W

dzdzdu.dzdv

----=-----------十---------

dydudydvdy

=Wny.(T)+%2)=烏InO1%2f

)rvy5(3x-2y))r

3.設(shè)z±=/2,而x=sinf,戶戶,

+

解J=Sftt=產(chǎn)ims?第

=er-2j(cosz-&2)=esin/-2/(cos/-&2).

4.iS^arcsin^-^),而x+3f,產(chǎn)4)求字.

解dz=&dx、也dy.1一34?⑵2

dtdxdtdydt^-(x-j)2仇-(x-y?

二」(l")

J1-(3Z-4P)2

5.設(shè)-arctan砂）,而鵬求會.

解在=立+辿.生一y]x.二/1+工)

dxdxdydxl+x272l+x2y2l+x2^'

6.設(shè)〃=—z）,而萬或山產(chǎn)cosx,求學(xué).

a2+ldx

解dudu

dxdx

M+l+。2+-陽東+](sm”

._<ir

=-5——(a2sinx-acosx+acosx+sinx)=〃sinx.

3+1

7.設(shè)"arctan》而z+匕尸—,驗(yàn)證引導(dǎo)是.

證明辿+史=(辿.蟲+辿.改)+(包0+辿.改)

dudvVdxdudydu^dxdvdydv

=----^――(-4)+——-+—--(-當(dāng))?(-1)

1+空y"伊/"(鏟y”(鏟尸

2y_u-v

jF+y2G+v2?

8.求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）:

⑴/一"）；

解將兩個中間變量按順序編為1,2號，

學(xué)人空/+方誓=際+厘￡.

oyayoy

(2)〃=/(襯)；

(3)xy9xyz).

C

2

解&=方?1+月.y+方.yz=刀+院+必,

曳

如=￡,%+后4=4+也，

加

&=4個="?

9.設(shè)—尸(吸而〃小尸(〃)為可導(dǎo)函數(shù),證明展+嘲=ZR.

du

證明x-舟+y卷=右+產(chǎn)(“)+工產(chǎn)(〃)部+j*[x+xF(u)]

砂

=xty+F(u)-r-^(M)]+j-[x+F(M)]

=xy+xF(u)￥xy=z±xy.

10-設(shè)2=缶？其中加)為可導(dǎo)函數(shù)驗(yàn)證美+擄吩?

證明&-j/2x_-Ixyf9

Sr-產(chǎn)⑹-/2?，

一二/(“)-產(chǎn)廣(-2[):11-2」—

如一產(chǎn)&)~/(M)f2M9

所以1圣+上祟=挈+終J心1.1-.

xdxydy『u『uyJ(u)y2y2

z

11.設(shè)z/x、/),其中/具有二階導(dǎo)數(shù)，求^.

oxroxoydy￡

解令修+/，貝［Jw

導(dǎo)八噫="，

導(dǎo)"噂"，

察=2r+R"架2/+W,

矗二V翁4M

貌2(+2/養(yǎng)2，+0.

12-求下列函數(shù)的第，矗，爵（其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）:

（】）5孫/）；

氏

次h

部

可

#，

更

加

史

更

更

s紅

+

也+

以

&加

ar5V

等

等A

^,A?X+,1=絲+一

+-dudv

因?yàn)榇蟆?”是〃和y的函數(shù)，所以罷和g也是〃和y的函數(shù)，從而罷喳

OUOVOUOV

是以〃和y為中間變量的工和y的函數(shù).

?楠尚第嚕第

=感空繇給=感沖繇用嚶'

=素新瓢涉嚕+端紿

dxdy

ff-z_dzfe

dy1dydy

(2)z=/嶗);

解令則"I%。

dzQfdu、可dv=H、T5

dxdudx8vdxduy加,

dz_dfdv=xdf

dydvdyy2dv'

因?yàn)?y）是〃和y的函數(shù)，所以3和”也是〃和丫的函數(shù)，從而學(xué)和國

duovouuv

是以〃和y為中間變量的x和y的函數(shù).

富小韻嗓霍一￡）吟（沙鵬（第

dx^dxoxoxouydvoxduydxdv

(o富uLax/繇ouuv給ox，y露ovou備dx察oyr第ax

虹+2.虹—紅

du1ydudvy2dv1'

乎zd跖d,更上1更、

題=加（毅=蘇3+丁加）

8,可、，d,l、M.1

dyyfdvydyydv^

=旦包」&+±.亞@

dudvdyy2dvy步dy

X\dfX?MBaaarffaMB

y2dudvy2加y3步

1

2xdfxdv=2xdf&/

dvy1dv1dydvdv2

(3)z=f(xy2,x2y);

Zy=fi,-2xy±f2,-x2=2xyf\i'+X2/y;

Zxr=/[/h"/4/12"均]+2必"+2w[/ii":/g""]

^y4fu"+勿Viz'+ZM，均％1

司4/h“+4中光啜加3/‘欠j”，

ZQ=2y/r+/仿1"?均"2"方+他4勿診1”?為近〃/]

=2yfi%2xy3fnr+x2y2/i2,,+lY/2Mx2y2/2i”+2^必”2

=2yfir+2xy3fi1,f+5x2^力2"+2^?+2^如”，

3=Hr+2xj[/ii”勿4/12”/]+工2段[，，21y曲，，.12]

=切田2面,，+2??力2”+2?加〃+x%”

=2rff-f-4x2//ii,Mx3j/j2,,+x4/22,r.

(4)z=/(sinr,cosy,

解zWcosx+yyd/zcosx/1'V/V,

Zk-sinx/I'+COSK價“cos工+力3"/’')+^+'力'V(6i"*cosx+力3”/?)

=-sinx/V+coJx/h""+)cosx/[3"商'力’+*8§xfy\"J2"'"八"3

=-sinjc/ir+cos2x/ii,,+2^X4>，cosx力3”+^巧?+力3”,

ZQ=COSx[/i2”(Tiny)+/h”/*斗！/[62”(TinyX力3”一勺

=-sinycosx/^^+^^cosx/i3'+*>力'-央sin^力2'+^2(叼%，

=-sinycos"12"+^^cosx/13"V/?Wsiny力2”+e2(卬為3",

馬產(chǎn)YOS必—siny歷2”(-§而')討3“"力歷2”(TinyR/才V]

=—cosy力Ly上”-^^siny丘/，儲外方-^^的力2"+力3%'”"1

=-cosyf2,^sitfyfn,t-2^*ysinyj23n+^c^yf3,±f33,,-e2(X4V\

13.設(shè)〃9rJ）的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而》=匕變，"嗎旦，證明

證明因?yàn)?/p>

dududx.du電1du.4idu

苗=次石+豆3=2京+E石

dududxdu沙百duJdu

dtdxdtdydt2dx28y

所以（斜第=（墨+繆*卷瀟=（豺舒

又因?yàn)榭沙ㄐ禄?方孝?第

J,熱fir熱心/(丸dx村

Vdx2dsdxdyds2^dydxds?2

_1外63熱

=--+-----

4dx224dy29

丸d(du_5/y/3du,1du、

(a7x)=a^~ar2

_3△S^U]32M

4dx22dxdy4dy1'

2

所以召〃_a%s!/

ds2,dt2dr2dy^

練習(xí)8-5

1.設(shè)疝丹區(qū)-町々)，求學(xué).

dx

解令田則吊Z-―/,GEOS廣2xy,

dy_尼_d_y2_yy

dxFYcosy-2xycosy-2xy'

2.iSIn7x2^^2=arctan—,求學(xué).

xax

解令》(x,y)=lnG+y2-arctail上,則

X1

12x1

F1Jy11二1

yjF+y2Rf+y21+(夕X?+9'

dy_Fx_x^y

dx~4.x-y.

3.設(shè)x+2y+z-27^=0,求得及另

解令尸(x,y,z)=x+2y+z-2V^,則

2篇'夕2-鬲i族

dzFxyz-^xyzQzFxz-lj^z

SxFx石荷-xy'dyF2y[xyz-xy

4嶺哼求建及氤

解令尸(x,y,z)=4-In=，則

zy

凡=:，^=-7(-y)=p3X11x+z

―,?—0M

Z2Ly/'

yy

_z2

所以dz_Fx_zdz_^y_

dxF2X+Z*dyFzy(x+z)'

5.設(shè)2si喙+2尸3z)=x+2y-3z,證明空+空=1

oxoy

證明設(shè)尸(x,y,z)=2sin僅+2尸3z)-x-2y+3z,則

Fr=2cos(x+2y-3z)-1,

Fy=2cos(x+2^-3z)-2-2=27*\,

f>=2cos(x4-2y-3z)-(-3>4-3=-3Fr,

也=-=居=1dz=Fy=4=2

dx~F「-38-丞9一一百一-^^一丞

于是J4=4444=1-

axdyF.Fz53

6.設(shè)x^x(y,z),y=y(x,z\z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=O所確定的

具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明家善瓢-L

7.設(shè)吠口，y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程儀由絲,cy-bz)=O

8.設(shè)/一乎=0,

解設(shè)尸(4,必2>=/■刃Z,貝lj

F『yz,FWTy,蚤=一咨=4-,

axF2er-xy

"2淳『處X2蜷22

fir2dxdxf(/一孫)2

y^z-^iye1-xy1-yze1)—^—、).、,,

_________".一k_272gg

^-xyY-e一，p

9.設(shè)山”\求矗

解令月(x,y,zH-3乎t?,則

8z尼-3尸yzdzF-3xzxz

292

dxF2Sz—3xyzi-xydyFz3z-3xyz^-xy,

序z_dzfex_3(yz、

dxdydydxdyz^-xy

(z+嘀收-砌-以2z等r)

儼-孫A

(z+yp^X/FfZzp^r)

(z2-。

^zCZ-Zr^-x2/)

10.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù):

^.dydz

⑴設(shè)X2+2/+3Z2=20,求正'瓦;

解視尸MX),RX),方程兩邊對X求導(dǎo)得

AT即噂嚏一

2x+4p半+6z牛=0噂+3z『

dxdx

解方程組得

cy_-A^6z-hl)dz_x

dx2M3z+l)'dx3z+l

叫受荔3,標(biāo)冬

解視XK⑵,產(chǎn)堆)，方程兩邊對z求導(dǎo)得

亭+學(xué)+1=0陣+半=7

,azazn[]Jazaz

，務(wù)2虎+2z",各2瑤=2

解方程組得

dx_y-zdy_z-x

dzx-y9dzx-y'

⑶設(shè)u=f（ux^y）其中工g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求空，絲;

y=g（u-x,vry）dxox

解視〃=〃區(qū)刃》3（二刃，方程兩邊對X求偏導(dǎo)得

?*Q+堞）+6/廨噌蟾F

.CJXOXCJX即uXox

|^=W?照T）+2W?yv旻?f^+（2y嗚_1）嚶=*

kcxoxCXUXox

解之得

du=一確2蟲_1）一施；執(zhí)二g；（M+喟T）

Ac一4TX2py「l）-屈'dx~（切-1）（2;^-1）一幽?

*

x=ew+usinv束曳包/名

設(shè)

(4)M9

/y=e-ucosv,dx8y'dx'dy"

解視〃=〃a,y),y=y(x,y),方程兩邊微分得

dxud'du+sinvdu+ucosydv即f(eM+sinvX/u+?cosvJv=tZr

dy=e^du-cosvdu+usinvdv'[(e//-cosv)rf?+Msinvc/v=</y'

從中解出小，八得

.sinv,.-cosv?

du=----------------------ax+----------------------av,

^(sinv-cosvj+lew(sinv-cosv)+l*

?cosy-/,.sinv+d.

av=-------------------------ax-l--------------------------dv,

Mf^Csinv-cosv)4-1]Md'(siny-cosy)+l]"

一

從而du______siny_____du_cos-

dx^(sinv-cosvj+l'dyew(sinv-cosv)+l

dv_8SVY加_siny+V

dxw[d'(sinv-cosy)+l]'dy〃e(siny-cosv)+l]

II.設(shè)Kx,r）,而f是由方程尸a,乂o=o所確定的XJ的函數(shù),

其中工尸都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明：

笠.亞—初.如

力;5y次澳dx

去一更亞亞?

dtdydt

.廣乂》）

證明由方程組,y=/(")可確定兩個一元隙函數(shù)

:尸(xjJ)=O，=?工）

方程兩邊對X求導(dǎo)可得

為

力

生<.z

5r

dx曲

.8F5aF

Fa一

&￥,dr

移項(xiàng)得

［立一堂.包=理

Idxdtdxdx

9

|5F^+5FA=dF

dtdtdx&

在。=喑俘新。的條件下

更JL

魚，OxCa，&&

dxDI8FdFdF.S^SF,

\dxdtdtdtdy

練習(xí)8-6

1.求曲線1-叱日-（：08。2=4§嗚在點(diǎn)得-1,1,2&）處的切線及法平

面方程.

解x'(0=l-cosf,y(O=sinf,z*(0=2cos^.

因?yàn)辄c(diǎn)傳-LL2&)所對應(yīng)的參數(shù)為f=受，故在點(diǎn)傳-L1,272)

處的切向量為rnaLa).

因此在點(diǎn)傳-L1,2&)處，切線方程為

"I匾二尸」-2艱

1-141,

法平面方程為

l(x-y+l)+l(y-l)+V2(z-2>/2)=0,即x+y+0z=^+4.

2.求曲線x=擊，y=手,在對應(yīng)于￡1的點(diǎn)處的切線及法平面方程.

解九)=曲，興內(nèi)-泉人憶人

在r=l所對應(yīng)的點(diǎn)處，切向量T=d，-1,2),Z=1所對應(yīng)的點(diǎn)為4,Z1),所

42

以在f=l所對應(yīng)的點(diǎn)處，切線方程為

a,二尸2二z-1unX-2.

1--1-2*1--4-8*

4

法平面方程為

TU-|)-(J-2)+2(Z-1)=0,BP2r-8y+16z-l=0.

*T/

3.求曲線/=2mx"=/w-x在點(diǎn)(xo,則,zo)處的切線及法平面方程.

解設(shè)曲線的參數(shù)方程的參數(shù)為X,將方程，二2加和的兩邊

對X求導(dǎo)，得

2戊=孫磴r

所以享=工

axydx2z

曲線在點(diǎn)(xo,/,劭)的切向量為7=(1,立，所求的切線方程為

為Z

尸飛_y』_z一飛

1一m__］，

%Z

法平面方程為

(X-XQ)+—(J-J0)-^-(Z-ZQ)=O.

y。ZZQ

x2+y2+z2-3x=0

4.求曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線及法平面方程.

2t-3j+5z-4=0

解設(shè)曲線的參數(shù)方程的參數(shù)為x,對x求導(dǎo)得，

[lx+2y孚+2z!-3=0半+2z亭=-2x+3

Jdxdx即1atdr

卜7弟+啥。'怪7*2

解此方程組得

rfy=10x-4z-15(fe=6x+4y-9

dx-10y-6z'dx-\Qy-6z'

因?yàn)槿椤复喝閺S慈所以丁端心.

所求切線方程為

1-2叩16-9一一1，

1616

法平面方程為

。7)+%-1)-晟-1)=0,即16x+9y-z-24=0.

Iolo

5.求出曲線x=/,產(chǎn)//=?上的點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面x+2wz=4.

解已知平面的法線向量為”=(1,2,I).

因?yàn)閤，=l,y=2W=3?,所以參數(shù)，對應(yīng)的點(diǎn)處的切向量為7=(1,2/,3^).

又因?yàn)榍芯€與已知平面平行，所以

T/f=O,即1+4/+3?=0,

解得上-1,于是所求點(diǎn)的坐標(biāo)為加(一:.,—』).

6.求曲面廿-z+折3在點(diǎn)(2,1,0)處的切平面及法線方程.

解令產(chǎn)(X,乂Z卜"-Z+個-3,則

"=(%Fy9Fr)|(2,1,O)=(y,X,/-1)|(2,1,0)=(1,2,0),

點(diǎn)(2,1,0)處的切平面方程為

1<x-2>2(y-1)+0<z-0)=0,即x+2I=0,

法線方程為

x-2.一1z-0

丁一2-丁，

7.求曲面心2+川==1在點(diǎn)(xo,加,zo)處的切平面及法線方程.

解令尸(X,乂zXoC療+/-1,貝［J

n=(Fx,Fy,Fz)=(2ax92by,2cz)=(ax,by,cz),

在點(diǎn)Qo,加%)處，法向量為(aco,歷仇口))，故切平面方程為

axoix-xoy+byofy-yoj+czoiz-zoj=O,

即如+廂+鬲，

法線方程為

x-x0_y-y0_z-z0

OXQby0CZQ

8.求橢球面/+2，+/=1上平行于平面x-3-2z=0的切平面方程.

解設(shè)尸a,乂ZR2+2尸吃＜i,貝I]

"=(&&EH2r,4乂2z＞2(x,2乂z).

已知切平面的法向量為因?yàn)橐阎矫媾c所求切平面平行，所以

產(chǎn)當(dāng)昔,即X十一二-%,

代入橢球面方程得

鏟2(_/+E

解得2=嘯，則K端一嘯

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為仕弓±4^),

所求切平面方程為

(壯舟為4舟+如土徐肛

即x-y^2z

9.求旋轉(zhuǎn)橢球面3f+/+z2=i6上點(diǎn)(-1,-2,3)處的切平面與面的夾角

的余弦.

解xOy面的法向?yàn)殛?(0,0,1).

令尸(X,乂Z)=3X2V+?-16,則點(diǎn)(-1,-2,3)處的法向量為

"2=(殳Fy,F*)1(-11d3)=(6X,2乂2Z)|(_[,q,3)=(-6,-4,6).

點(diǎn)(-1,-2,3)處的切平面與xOy面的夾角的余弦為

co3=-=___,6=3

4,62+42+62?22

10.試證曲面五+萬+石=右(。＞0)上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截

距之和等于a.

證明設(shè)F（My,z）=y+?+AS,則2y[y9

在曲面上任取一點(diǎn)好0,四,為），則在點(diǎn)M處的切平面方程為

/=。一而）+/=3—必）+/=（2-"）=0,

AJ，。J/

化為截距式，得

J吸^az0

所以截距之和為

7^+A/^+A/^=&扃+屈+石）=??

練習(xí)8-7

I.求函數(shù)生丁+,在點(diǎn)（i,2）處沿從點(diǎn)（1,2）到點(diǎn)億2+后）的方向的方向?qū)?shù).

解因?yàn)閺狞c(diǎn)（1,2）到點(diǎn)（2,2+6）的向量為故