專題02二次函數的應用（期中復習講義）核心考點復習目標考情規(guī)律動點面積問題掌握用含自變量（如動點橫坐標）的式子表示圖形邊長、高；學會根據面積公式列二次函數表達式，求面積最值。高頻中檔題，解答題為主，常結合矩形、三角形、梯形，易因動點運動軌跡分析錯誤、面積公式誤用出錯。增長率問題掌握增長率公式（y=a(1+x)n，a為初始量，x為增長率，n為次數）；學會根據題干信息確定a、n，列函數式求解增長率或最終量?；A偏中檔題，選擇/填空/解答題小問，易因混淆“增長率”與“降低率”圖形切割問題掌握切割后剩余/拼接圖形的邊長、周長與原圖形的關系；學會列二次函數表達式（如面積、周長函數），求最值或符合條件的參數。中檔題，解答題為主，常結合矩形、正方形切割（如剪去四角小正方形折無蓋盒），易因圖形關系分析不清晰出錯。拋物線軌跡運動——噴水問題掌握建立平面直角坐標系的方法（如以噴水起點為原點，水平為x軸）；學會根據拋物線頂點、落點等關鍵點，用待定系數法求解析式，解決“最大高度”“噴水距離”問題。高頻中檔題，解答題為主，背景貼近生活，易因坐標系建立不當或關鍵點坐標確定錯誤出錯。圍墻柵欄問題掌握“一邊靠墻”時柵欄長度與矩形長、寬的關系（如柵欄總長=2寬+長）；學會列面積函數表達式，求最大面積及對應邊長。高頻基礎應用題，解答題為主，易因忽略“靠墻邊無需柵欄”導致邊長關系寫錯，影響函數表達式。折疊與展開問題掌握折疊后圖形的全等關系、對應邊/角相等；學會用勾股定理或相似關系表示未知量，列二次函數式求最值或長度。中檔偏難題，解答題為主，常結合矩形、正方形折疊（如折疊頂點到對邊），易因折疊后對應點找錯、幾何定理誤用出錯。橋梁隧道問題掌握橋梁（如拋物線形拱橋）、隧道頂部的拋物線模型建立方法；學會根據“拱高”“跨度”求解析式，解決“某高度處的水平寬度”問題。中檔題，解答題為主，易因坐標系建立（如以跨度中點為原點）或關鍵點坐標（如拱頂、端點）確定錯誤出錯。拋物線軌跡運動——拋球問題掌握以拋球點為原點（或地面為x軸）建立坐標系的方法；學會根據拋球高度、時間/水平距離的關系列函數式，求最大高度、落地時間/距離。高頻中檔題，解答題為主，易因“時間”“水平距離”作為自變量的區(qū)分不清晰，導致函數變量混淆出錯。銷售問題掌握“利潤=（售價成本）×銷量”的關系，及售價與銷量的聯動變化（如售價漲1元，銷量減n件）；學會列利潤二次函數式，求最大利潤及對應售價。必考高頻題，解答題核心，占分比高，易因銷量與售價的變化關系分析錯誤、利潤公式列錯出錯。分段函數問題掌握分段函數中不同區(qū)間的函數表達式（如不同銷量對應不同折扣，不同時間段對應不同收費）；學會根據自變量取值范圍選擇對應表達式，解決最值、求值問題。中檔偏難題，解答題為主，易因分段點判斷錯誤、不同區(qū)間表達式混淆（如忽略自變量取值邊界）出錯。勻變速直線運動問題（跨學科問題）掌握物理中勻變速直線運動公式；學會結合題干物理量（如速度、位移），列二次函數式求解時間、位移最值。低頻偏難題，解答題小問，跨數學與物理，易因物理公式記憶錯誤、物理量單位不統(tǒng)一出錯。其他問題掌握題干中“費用”“材料”與變量（如長度、數量）的關系；學會列二次函數式（如總費用、材料用量函數），求最省方案。中檔題，解答題為主，題型靈活，易因題干信息提取不完整、變量關系梳理不清出錯。知識點01用二次函數解決實際問題的一般步驟：1.審：仔細審題，理清題意；2.設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的未知數；3.列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的解析式；4.解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；5.檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。題型一動點面積問題解｜題｜技｜巧1.建坐標系：以固定邊為坐標軸，設動點坐標（如設動點P(x,y)，其中y用二次函數表示）；2.面積表達：用“割補法”（如分割成直角三角形、矩形）或公式法（如三角形面積=1/2×底×高）列面積函數，轉化為二次函數；3.求最值：根據二次項系數判斷開口方向，利用頂點式（y=a(xh)2+k）求面積最值，注意自變量x的取值范圍（動點運動區(qū)間）?！镜淅?】如圖，在△BEF中，∠BFE=90°，EF=BF=2，正方形ABCD的邊BC與BF在同一條直線上，AB=2，將△BEF沿BC平移，當點F與點C重合時，停止平移．設點B平移的距離為x，△BEF與正方形ABCD重合部分的面積為y，則y關于x的函數圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【變式1】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點E在邊BC上移動（不與點B，C重合），連接AE，過點E作EF⊥AE交CD于點F，設BE=x，CF=y，則y與x之間的函數圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式2】如圖，在△BEF中，∠BFE=90°，EF=BF=2，正方形ABCD的邊BC與BF在同一條直線上，AB=2，將△BEF沿BC平移，當點F與點C重合時，停止平移．設點B平移的距離為x,△BEF與正方形ABCD重合部分的面積為y，則y關于A． B．C． D．題型二增長率問題解｜題｜技｜巧1.牢記公式：若初始量為a，平均增長率（下降率）為x，經過n次變化后量為b，則：?增長：a(1+x)?=b（x>0）；?下降：a(1x)?=b（0<x<1）；2.解方程：整理為一元二次方程，舍去負根（增長率不能為負，下降率小于1）；3.驗實際意義：結果需符合實際（如增長率不能過大）?！镜淅?】某公司去年的銷售額為100萬元，預計未來三年的銷售額增長率將按照二次函數的模型增長．設增長率為y%，時間（年）為x，假設增長率函數模型為y=2x2+bx+c．根據市場分析，今年（第一年）的增長率為10%【變式1】某玩具廠7月份生產玩具200萬只，9月份生產該玩具y（萬只）．設該玩具的月平均增長率為x，則y與x之間的函數表達式是．【變式2】芯片行業(yè)是制約我國工業(yè)發(fā)展的主要技術之一．經過大量科研、技術人員艱苦攻關，我國芯片有了新突破．某芯片實現國產化后，芯片價格大幅下降．原來每片芯片的單價為200元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都為x，經過兩次降價后的價格為y（元）．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)如果該芯片經過兩次降價后每片芯片單價為128元，求每次降價的百分率．題型三圖形切割問題解｜題｜技｜巧1.設變量：設切割部分的邊長為x（如剪去的小正方形邊長）；2.表邊長：用x表示剩余圖形的邊長（如無蓋長方體的長=原長2x，寬=原寬2x，高=x）；列函數：根據面積/容積公式列二次函數，求最值（注意x>0且原邊長2x>0）【典例1】如圖，一張正方形紙板的邊長為2cm，將它剪去直角三角形（圖中陰影部分）．設AE=BF=CG=DH=xcm，四邊形EFGH的面積為ycm2，則y關于x【變式1】如圖，四邊形ABCD是一塊邊長為2m的正方形鐵板，在邊AB上選取一點M，分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板材，當AM的長x為m題型四拋物線軌跡運動——噴水問題解｜題｜技｜巧1.建坐標系：通常以拋出點/噴口為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸；2.定解析式：設拋物線為y=ax2+bx+c（或頂點式y(tǒng)=a(xh)2+k），代入已知點（如起點、最高點、落地點）求參數；3.求關鍵量：?最大高度：頂點縱坐標（k）；?射程：y=0時x的正根（落地點橫坐標）?！镜淅?】（2023·山東濱州·中考真題）要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管高度應為【變式1】某圓形洗手盆上安裝了一款水龍頭，其彎曲部分呈拋物線形，以水龍頭底部與洗手盆臺面的交點O為坐標原點，直立部分OA所在直線為y軸，垂直于OA的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，測得水龍頭最高點P距x軸36cm，距y軸12(1)直接寫出點P的坐標__________；(2)若沿水龍頭噴出的水柱仍然按照原來的拋物線軌跡運動，且在臺面的落點到直立部分OA的距離為123+12cm【變式2】小紅觀察到一處噴水景觀噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：噴水裝置OP豎立在地面上，建立如圖所示的平面直角坐標系，其中一條水柱距地面的高度y（m）與水柱距噴水頭的水平距離x（m）之間滿足關系式y(tǒng)=?0.1x?4(1)求噴頭P與地面的距離OP；(2)已知身高1.6m的小紅現直立在距離噴水裝置OP3m的水柱正下方的點B處，此時她的頭頂并未接觸到水柱，小紅想要繼續(xù)沿BA方向直立行走，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，距離點題型五圍墻柵欄問題解｜題｜技｜巧1.設變量：設與墻垂直的邊長為x，與墻平行的邊長為y；2.找關系：柵欄總長L=2x+y（或x+2y，依墻的位置定），故y=L2x；3.列面積函數：面積S=x?y=x(L2x)=2x2+Lx，求最大值（x>0且y=L2x>0）。【典例1】某工廠計劃利用一塊長為10米、寬為6米的矩形空地搭建一個矩形蔬菜大棚，大棚一邊靠墻（墻足夠長，可利用的墻長不超過8米），另外三邊用籬笆圍成，籬笆總長為16米．設大棚垂直于墻的一邊長為x米，大棚的面積為S平方米，求S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．【變式1】張伯伯挨著一面墻開墾了一塊矩形田地，準備種植蔬菜．張伯伯將矩形田地ABCD用90m的籬笆分割成如圖所示的四個面積相等的矩形（矩形田地ABCD的邊緣除邊AD外都要圍上），種植不同種類的蔬菜，設BC=x(1)求矩形田地ABCD的面積的最大值．(2)若矩形田地ABCD的面積不小于150m2，求【變式2】如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m(2)羊圈的面積能達到650m(3)當羊圈的長和寬分別為多少米時，羊圈的面積最大，最大面積是多少？題型六折疊與展開問題解｜題｜技｜巧1.用折疊性質：折疊后“對應邊相等、對應角相等”（如折疊點A到A'，則OA=OA'，PA=PA'）；2.設未知數：設折疊后重合的線段長度為x（如折痕上的點到頂點的距離）；3.列方程：在折疊形成的直角三角形中，用勾股定理列方程（常含二次項），求解后結合二次函數求最值。【典例1】在一次勞動課中，老師準備了一些長為40cm、寬為20cm的長方形硬紙板，準備利用這些紙板制作無蓋的長方體紙盒，且每張紙板可制作兩個紙盒（接頭處忽略不計）．如圖，活動小組將紙板在四個直角處裁掉四個邊長為xcm的正方形，再在中間裁掉一塊正方形BCFE(1)求制作的無蓋紙盒的底面的邊AB的長；(2)寫出一個無蓋紙盒的體積y（單位：cm3）與x（單位：cm）之間的函數關系式，并求出當x的值為5時，單個無蓋紙盒的體積y【變式1】綜合與實踐：利用正方形硬紙板設計制作帶蓋長方體盒子四邊形ABCD是邊長為30cm設計方案一：如圖①，將正方形硬紙片ABCD的四個角分別剪去大小相同的兩個正方形和兩個長方形（陰影部分所示），再沿虛線折合得到一個底面為長方形MNQP的包裝盒（如圖②所示）．（1）設MG=acm，MP=________cm，（用含a的代數式表示）；若底面積MNQP為162cm2，則MG設計方案二：如圖③，將正方形硬紙板ABCD切去四個全等的等腰直角三角形（陰影部分所示），其中點E，F在AB上；再沿虛線折起，點A，B，C，D恰好重合于點O處（如圖④所示），形成有一個底面為正方形MNQP的包裝盒，設GF=xcm（2）請直接寫出線段BF的長________cm（用含x的代數式表示）；（3）求長方體盒子的側面積S(cm題型七橋梁隧道問題解｜題｜技｜巧1.建坐標系：以拋物線頂點為原點（或拱腳連線中點為原點），對稱軸為y軸；?例：頂點在(0,h)，拱腳在(±a,0)，解析式為y=kx2+h；2.求參數：代入拱腳坐標求k，確定解析式；3.算實際量：代入高度y求x（寬度=2|x|），或代入寬度x求y（高度）?！镜淅?】一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．(1)如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系，求拋物線的解析式；(2)要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？【變式1】如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4(1)建立平面直角坐標系并寫出函數解析式．(2)水面下降1m【變式2】黃河流域蘭州白塔山段綜合提升改造項目是蘭州市落實國家黃河流域生態(tài)保護和高質量發(fā)展戰(zhàn)略謀劃的重點工程．項目總投資292030.68萬元，項目隧道工程西起龍源公園，東至靖遠路，主線全長約2245米．建設地點位于蘭州市北濱河路中山橋兩側，現要修建隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O為坐標原點，以OE所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據設計要求∶OE=10m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9m．(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；(2)現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到OE的距離均為6m，求點A、B的坐標．題型八拋物線軌跡運動——拋球問題【典例1】在一場籃球賽中，隊員甲面對面?zhèn)髑蚪o乙，出手后籃球的高度y（m）與飛出的水平距離x（m）滿足y=?1(1)這次傳球的出手高度是__________m，籃球飛行的最大高度是__________m；(2)隊員乙在籃球飛行方向上距甲6m處，他的最大摸高是3m，他在原地能接到球嗎？如能接到，請計算說明：如不能，他應該前進或后退多少米才能接到？【變式1】在體育課上，小康投擲實心球，球的運動軌跡可以近似地看作拋物線的一部分，并建立如圖所示的平面直角坐標系，已知實心球脫手時距離地面的豎直高度OA為85米，球在運動過程中的最高點離水平地面125米，此時距離球脫手處的水平距離為(1)求本次小康投擲實心球的拋物線的解析式．(2)若校方規(guī)定：投擲實心球的距離不小于8米時，成績記為滿分．請問小康這次的成績能否得到滿分？請說明理由．【變式2】擲實心球是亳州市初中學業(yè)水平體育與健康學科考試的選考項目．一男生在拋擲實心球的過程中，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度ym與水平距離xm之間的函數關系如圖所示，已知該男生擲球時的起點高度是2m，當水平距離為5(1)求y關于x的函數表達式；(2)根據亳州市2025年初中學業(yè)水平體育與健康學科考試項目評分標準（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離不小于12.4m題型九銷售問題解｜題｜技｜巧1.設變量：設單價漲（降）x元，或設新單價為x元；2.表銷量：單價漲x元，銷量減mx件（m為已知系數），即銷量=原銷量mx；3.列利潤函數：利潤W=(原單價+x成本)×(原銷量mx)，轉化為二次函數求最大值（x≥0且銷量≥0）?！镜淅?】2020年6月1日上午，國務院總理李克強在山東煙臺考察時表示，地攤經濟、小店經濟是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機．王叔叔在翻身路做起了地攤生意，他以每件40元的價格購進一種商品，在銷售過程中發(fā)現這種商品每天的銷售量y（件）與每件的銷售單價x（元）滿足一次函數關系：y=?2x+140(x>40)．(1)若設利潤為w元，請求出w與x的函數關系式．(2)若每天的銷售量不少于44件，則銷售單價定為多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？【變式1】2025年哈爾濱第九屆亞冬會吉祥物“濱濱”和“妮妮”以東北虎為原型設計，寓意“哈爾濱歡迎您”，深受市民和游客喜愛．某特許商品零售店推出吉祥物毛絨玩偶，每件進價35元，根據市場調研，若售價定為50元時，每天可售出200件，售價每下降1元，銷量增加20件．(1)若商家決定降價銷售，設每件降價x元x≥0，請直接寫出每日銷量y(件)與x(元)的函數關系式；(2)在（1）條件下，每件降價多少元時商家每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【變式2】某商場經營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具．(1)不妨設該種品牌玩具的銷售單價為x元（x>40），請你用x的代數式來表示銷售該品牌玩具銷售量為_____件（請化簡）．(2)在（1）問條件下，問當單價為多少時商場銷售該品牌玩具可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【變式3】某商店購進了一批吉祥物毛絨玩具，進價為每個30元．若毛絨玩具每個的售價是40元時，每天可售出80個；若每個售價提高1元，則每天少賣2個．(1)設該吉祥物毛絨玩具每個售價提高x元，求該商品銷售利潤y與x之間的函數關系式；(2)如果每天的利潤要達到1200元，并且盡可能讓利于顧客，每個毛絨玩具售價應定為多少元？題型十分段函數問題解｜題｜技｜巧1.找分段點：確定二次函數的適用區(qū)間（如x≥a時用二次函數，x<a時用一次函數）；2.分區(qū)間列函數：明確各段自變量范圍，分別寫出解析式；3.求最值/取值：在各段內分別求二次函數最值，再比較整體最值；代入時先判斷自變量屬于哪一段?！镜淅?】雪是冬天的來信，碎碎墜瓊芳，雪花落處，詩意陡升，在云南，遇見雪山的爛漫，看“高原精靈”翩翩起舞，感受“南國霧凇美如畫”的韻味．云南玉龍雪山景區(qū)經過市場調查發(fā)現，某天門票的銷售量y（單位：張）與門票的售價x（單位：元/張）的函數關系如圖所示，已知門票售價不低于50元，不高于300元．(1)求y關于x的函數關系式；(2)求這一天玉龍雪山景區(qū)銷售門票獲得的總收入W的最大值．【變式1】圖1是2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺，曲線的設計靈感來自敦煌“飛天”飄帶，又名“雪飛天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳臺場館．圖2是賽道剖面圖的一部分，將其放在平面直角坐標系中，其中線段AB表示距離水平面（x軸）高度為20m的平臺（點A在y軸上），滑道BC可以看作是反比例函數圖像的一部分，點B到y(tǒng)軸的距離是4m，點C到水平面的距離為5m，滑道CD可以看作是二次函數圖像的一部分，最高點到y(tǒng)軸的距離是25m，到水平面的距離是9m(1)求滑道BC的函數解析式及自變量x的取值范圍；(2)求滑道CD的函數解析式及自變量x的取值范圍；(3)在小明沿滑道從點B滑到點D處的過程中，當他距地面8m時，所滑過的水平距離為（直接寫出所有可能的結果）．題型十一勻變速直線運動問題（跨學科問題）解｜題｜技｜巧1.明確物理量：區(qū)分v?（初速度，如0）、a（如重力加速度g=9.8m/s2，方向向下為負）；2.統(tǒng)一單位：確保時間（s）、速度（m/s）、位移（m）單位一致；3.用函數性質：求位移最大值（頂點橫坐標為時間，縱坐標為最大位移），或求位移為0的時間（落地時間）?！镜淅?】一個重物從高處做自由落體運動時，若不考慮空氣阻力，它的速度會因地心引力而均勻加速，速度（v）與時間（t）的函數圖象如圖①，下降的距離會隨時間的增加而增加，距離（s）與時間（t）的函數圖象如圖②．下列結論錯誤的是（

）A．該重物在t=0.3秒時，速度為3米/秒B．該重物在0~0.2秒時間段內下降的距離與在0.2~0.4秒時間段內下降的距離相同C．時間每增加1秒，該重物的速度增加10米/秒D．當t=2秒時，該重物下降距離為20米【變式1】（2025·浙江溫州·二模）如圖，在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在O處開始減速，此時白球在黑球前面20cm處保持2cms的速度勻速運動．小聰測量黑球減速后運動距離y運動時間t01234…運動距離y07.51419.524…探究發(fā)現，y與t之間的數量關系可以用二次函數來描述．(1)求y關于t的函數關系式．(2)當t=5時，求兩球之間的距離．(3)黑球能否追上白球？若能，求出追上時t的值；若不能，求出它們之間的最短距離．【變式2】綜合與實踐：某數學小組為了解汽車的速度和制動非安全距離的關系，通過查閱資料獲得以下信息：材料一：由于司機的反應和慣性的作用，從發(fā)現情況到剎車停止前汽車還要繼續(xù)向前行駛一段距離，這段距離稱為制動非安全距離，從發(fā)現情況到剎車起作用的路程稱為反應距離，這段距離總共需要的反應時間為0.6秒，從剎車起作用到最后停止的距離稱為制動距離．材料二：某公司設計了一款新型汽車，現在對它的制動性能（車速不超過150km/h車速x030456090105120150制動距離y07.813.0519.234.243.0552.875探究任務：(1)已知該款新型汽車的制動距離ym和車速xkm/h之間存在已學過的某種函數關系，請你根據上表提供的數據，求出這個函數的解析式并寫出自變量x的取值范圍（參考數據：122=144，152(2)若在該款新型汽車的某次測試中，通過測量剎車痕跡得到它的制動距離約為40m，請通過計算估計該款汽車開始剎車時的速度；(3)若某司機駕駛這種新型汽車以60km/h的速度在單行道上行駛，發(fā)現前方28m處有一輛大貨車停在公路上擋住去路，司機緊急剎車，請問是否有碰撞危險？請說明理由．題型十二其他問題【典例1】冬季蔬菜大棚內某天的溫度T（單位：℃）與時間t（單位：h）滿足函數關系式T=?0.1t2+2.4t+5①蔬菜大棚內當天的溫度T可以是16℃；②蔬菜大棚內當天的溫度T的最大值為20℃；③蔬菜大棚內當天的溫度T不低于19℃的時長為4h其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式1】【問題情境】綜合與實踐小組的同學到醫(yī)學院參加活動，對X、Y兩種藥物在注射后幾小時內的微量元素E的濃度變化情況展開了探究，并以此為課題，研究系列問題．數據獲?。捍郎y量對象注射X藥物結束時，用微量元素測量儀器測量并記錄其微量元素濃度變化情況，直至儀器顯示其微量元素濃度持續(xù)穩(wěn)定在某一小范圍內（80～120mg/dL），無較大幅度變化時停止記錄，得到注射X藥物后幾小時內的微量元素E的濃度變化y1（單位：mg/dL）與時間x（單位：【初步探究】(1)觀察圖象推斷，正常情況下人體的微量元素E可能是（）A．50mg/dL B．100mg/dL【問題解決】已知AB段微量元素E的濃度與時間關系的函數圖象可近似看作拋物線，且其函數解析式為y1(2)求AB段拋物線的函數解析式；(3)該測量對象注射X藥物后多久時，微量元素E的濃度達到最大值，最大值是多少？【拓展應用】信息1：第二次測量時，該測量對象注射藥物，通過測量發(fā)現，微量元素E的濃度的最大值比注射X藥物高40%，且達到最大值的時間比注射X藥物延長了1小時（已知第二次測量時微量元素E的濃度變化曲線y2仍是拋物線且經過點信息2：注射X,Y藥物后，微量元素F的濃度與時間關系的函數圖象可近似看作過A點的射線y=kx?2+90x≥2（其中k>0）．若注射藥物生效后（x≥2），微量元素E的濃度高于微量元素F的濃度時為藥物有效時間，記X藥物的有效時間為t1，藥物的有效時間為t2，由于不同的病毒會導致注射藥物后微量元素F的濃度函數中的k(4)請幫助綜合實踐小組的同學求出注射Y藥物后的微量元素E的濃度函數y2，并直接寫出當t1t【變式2】請根據以下素材，完成探究任務．飛行汽車背景飛行汽車是一種結合了傳統(tǒng)汽車和飛行器功能的交通工具，旨在實現地面行駛與空中飛行的雙重模式．它被視為未來城市交通的重要解決方案之一，尤其在緩解交通擁堵和拓展三維交通空間方面具有潛力．建模某數學小組運用信息技術模擬飛行汽車飛行過程．如圖，以飛行汽車的地面起飛點為原點O，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系．它在起飛后的初始飛行路徑呈現拋物線形狀，當飛行汽車到達拋物線最高點A后下降到點B．此時點B距離地面0.4千米，保持這個高度以100千米/時的速度水平飛行一定距離后到達點C，切換到直線下降飛行模式降落至地面點D．得到拋物線y=ax2+2xa<0直線任務（1）若儀表監(jiān)測到水平飛行時間為0.08小時，此時點C距離起飛點O的水平距離為10千米，求a和b的值；（2）若飛行汽車在最高點A時，距離起飛點O的水平距離為0.49千米．水平飛行了t0.08≤t≤0.1小時到達點C后降落，求b【變式3】打水漂是孩子們喜愛的一種游戲，通過擲扁形瓦片或石片使其在水面上連續(xù)彈跳，比拼距離和彈跳次數．在一次投擲中，小明把水漂從離水面1.6米高的A處向對岸投擲，水漂在水面彈起的拋物線與原來的拋物線形狀相同，彈起的最大高度均減少到上一次彈起最大高度的14．如圖所示，以水面為x軸，以小明腳站立地為原點，建立平面直角坐標系．投擲后水漂在距原點4米處與水面相切后彈起，彈起高度為0.4(1)求第一次飛躍水面時拋物線的解析式．(2)求第二次飛躍水面時拋物線的解析式；若河兩岸相距9米，則小明此次投擲水漂能否到對岸？期中基礎通關練（測試時間：10分鐘）1．（2324九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖所示，某建筑物有一拋物線形的大門，小濱想知道這道門的高度，他先測出門的寬度AB=8m，然后用一根長為4m的小竹竿CD豎直的接觸地面和門的內壁，并測得AC=1mA．9m B．647m C．8.72．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，小剛在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=?15x2+3.5A．3.5m B．4m C．4.53．（2425九年級上·浙江杭州·期中）某農場擬建兩間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，如圖所示，開了三扇寬為1m的門，已知計劃中的材料可建圍墻的總長為45m，那么這兩間種牛飼養(yǎng)室所占面積最大是m24．（2425九年級上·浙江臺州·期中）某商店銷售一批頭盔，售價為每頂60元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經調查發(fā)現：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂40元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔降了元．5．（2425九年級上·浙江紹興·期中）某書店銷售兒童書刊，每套進價為30元，當每套售價為70元時，一天可銷售出20套．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，書店決定采取降價銷售，若一套書每降價0.5元，平均每天可多售出1套，設每套書降價x元時，書店一天可獲利潤y元．(1)求y關于x的函數表達式；(2)若要書店每天盈利1200元，則需降價多少元？(3)書店每天盈利能達到1500元嗎？請說明理由．6．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，小明的爸爸要用一堵長為4m的墻和長為18m的籬笆圍一個小型養(yǎng)雞場，要求：①墻和籬笆全部利用；②圍成的養(yǎng)雞場的面積最大．圖1是小明的爸爸把墻體全部利用起來圍成的養(yǎng)雞場，圖2是小明把墻體向外用籬笆延伸了一段長，然后用剩余的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場．(1)請計算小明爸爸圍成的養(yǎng)雞場的面積；(2)請計算小明圍成的養(yǎng)雞場比爸爸圍成的養(yǎng)雞場面積大多少？7．（2425九年級上·浙江金華·期中）如圖，某人以一定的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系：?=20t?5t(1)小球最高離地面多少米？(2)小球從飛出到落地需要多少時間？8．（2425九年級上·浙江杭州·期中）某襯衫的進價為每件40元，售價為每件60元，每個月可賣出200件，如果每件襯衫的售價上漲1元，則每個月少賣2件（每件售價不能高于105元），設每件襯衫的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．(1)求月利潤為7000元時，每件襯衫的售價；(2)求每件襯衫的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？期中重難突破練（測試時間：10分鐘）1．（2425九年級上·浙江杭州·期中）如圖，在水平地面點A處有一網球發(fā)射器向空中發(fā)射網球，網球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點為B，小武在直線AB上點C（靠點B一側）豎直向上擺放若干個無蓋的圓柱形桶，已知AB=4米，AC=3米，網球飛行最大高度OM=3米，圓柱形桶的直徑為0.5米，高為0.3米（網球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）．當豎直擺放圓柱形桶至少個時，網球能落入桶內．2．（2425九年級上·浙江湖州·期中）中國的洲際導彈再現強國實力．在導彈模型模擬實驗中，如圖，AB為導彈發(fā)射位置，點B為發(fā)射口（B點可上下調節(jié)，假設彈道軌跡是一條拋物線且形狀保持不變），Rt△CDE為小斜坡，且BC=40m，CD=0.1m，FG為目標區(qū)域（含端點F和G，高度忽略不計），DF=0.2m，FG=0.2m．當發(fā)射口為點B時，剛好擊中點C，離地最大高度為40m，當發(fā)射口抬高1米即BB′=1m3．（2425九年級上·浙江杭州·期中）滑雪項目中，運動員首先沿著跳臺助滑道飛速下滑，然后在起跳點騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止本項目．某數學興趣小組對該項目中的數學問題進行了深入研究：如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過起跳點A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．著陸坡AC與水平地面的夾角為30°，OA=65m．某運動員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB=100m．在空中飛行過程中，運動員到x軸的距離ym與水平方向移動的距離x

(1)問該運動員從A處跳出到B處著陸垂直下降了多少米？(2)求運動員到x軸的距離ym與水平方向移動的距離x(3)進一步研究發(fā)現：運動員在飛行過程中，其水平方向移動的距離xm與飛行時間t(s)具備一次函數關系，當運動員在起跳點騰空時，t=0，x=0；在空中飛行5s后著陸．問當t為何值時，運動員離著陸坡的豎直距離h4．（2324九年級上·浙江溫州·期中）如何擬定運動員拍照記錄的方案？素材1圖1是單板滑雪運動員從大跳臺滑雪場地滑出的場景，圖2是跳臺滑雪場地的橫截面示意圖．AC垂直于水平底面BC，點D到A之間的滑道呈拋物線型．已知AC=3m，BC=4m，且點素材2如圖3，某運動員從點A滑出后的路徑滿足以下條件：①運動員滑出路徑與D、A之間的拋物線形狀相同．②該運動員在底面BC上方豎直距離9.75m處達到最高點P③落點Q在底面BC下方豎直距離2.25m素材3高速攝像機能高度還原運動員的精彩瞬間，如圖4，有一臺攝像機M進行跟蹤拍攝：①它與點B位于同一高度，且與點B距離25.5m②運動過程需在攝像頭視角范圍內才能記錄，記攝像頭的俯角為α；③在平面直角坐標系中，設射線MN的解析式為y=kx+bk≠0例系數k和俯角α的函數關系如圖5所示．問題解決任務1確定D、A之間滑道的形狀在圖2中建立適當的平面直角坐標系，求滑道所在拋物線的函數表達式．任務2確定運動員達到最高點的位置在同一平面直角坐標系中，求運動員到達最高處時與點A的水平距離．任務3確定拍攝俯角α若要求運動員的落點Q必須在攝像機M的視角范圍內，則俯角α至少多少度（精確到個位）？5．（2425九年級上·浙江杭州·期中）某公司銷售某種電子產品，該產品的進價為30元/件，根據市場調查發(fā)現，該產品每周的銷售量y（單位：件）與售價x（單位：元/件）（x為正整數）之間滿足一次函數的關系，如表記錄的是某三周的有關數據．x（元/件）405570y（件）1100950800(1)求y與x的函數表達式（不求自變量的取值范圍）；(2)若某周該產品的銷售量不少于750件，求這周該商場銷售這種產品獲得的最大利潤．6．（2425九年級上·浙江溫州·期中）利用以下素材解決問題超市飲料定價問題素材1大華超市降價銷售某種飲料，每箱成本為40元，每日銷售量y（箱）與銷售單價x（元）之間存在一次函數關系，如右圖所示．素材2該飲料定價范圍為45元至65元（包含45和65）．素材3為增加銷量，超市每天有10箱飲料用來試喝．任務1求y關于x的函數關系式．任務2當單價定為多少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？任務3扣除贈飲成本后，要保證每天利潤不少于1200元，求售價的取值范圍．7．（2425九年級上·浙江臺州·期中）市民廣場雕塑OA安裝噴水裝置從頂端點A處噴出的水柱為拋物線形狀，如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點B為水柱的落水點，OB記為水柱噴水的半徑，設水柱上點的坐標為x,y，下面的表中記錄了關于x，y的五組數據：x12345y326293029(1)求雕塑高OA；(2)求水柱噴水的半徑．8．（2425九年級上·浙江寧波·期中）“一分鐘跳繩”是中考體育考試科目之一，近年來受到社會各界的高度重視．某經銷商抓住商機，以每件10元的價格購進一種跳繩，銷售時該跳繩的銷售單價不低于進價且不高于18元．經過市場調查發(fā)現，該跳繩的每天銷售數量y（條）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x/元…151617…每天銷售數量y/條…302826…(1)求y與x之間的函數關系式；(2)設銷售這種跳繩每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大獲利是多少元？期中綜合拓展練（測試時間：15分鐘）1．（2023·浙江·中考真題）一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經過t（秒）時球距離地面的高度?（米）適用公式?=10t?5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時間t（秒）是（A．5 B．10 C．1 D．22．（2023·浙江湖州·中考真題）某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）30≤x<60存在一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關于x的函數表達式．(2)設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？3．（2023·浙江·中考真題）根據以下素材，探究完成任務．如何把實心球擲得更遠？素材1小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面1.6m，當球到OA的水平距離為1m時，達到最大高度為1.8m

素材2根據體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方1m處（如圖）架起距離地面高為2.45m的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離OC=

問題解決任務1計算投擲距離建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離OB．任務2探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量任務3提出訓練建議為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．4．（2023·浙江臺