專題01有理數(shù)（7知識(shí)&14題型&4易錯(cuò)&3方法清單）【清單01】正數(shù)與負(fù)數(shù)1.正數(shù)：大于0的數(shù)，如+1、2、1.2等。正數(shù)有時(shí)可在前面加“+”，有時(shí)“+”可省略。2.負(fù)數(shù)：小于0的數(shù)，如1、2、1.2等。負(fù)數(shù)是在正數(shù)前面加上“”號(hào)，“”不可省略。3.0的意義：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線。0可表示“沒(méi)有”，如教室里0人；0也是整數(shù)、自然數(shù)、有理數(shù)。4.相反意義的量：正數(shù)和負(fù)數(shù)可用來(lái)表示具有相反意義的量。例如，零上8℃表示為+8℃，零下8℃表示為8℃。選擇哪個(gè)量為正一般是人為規(guī)定的?！厩鍐?2】有理數(shù)1.概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。表現(xiàn)形式：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)。2.分類方法：按概念分類：整數(shù)、分?jǐn)?shù)。按正負(fù)分類：正有理數(shù)（正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)）、0、負(fù)有理數(shù)（負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）?！厩鍐?3】數(shù)軸1.概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度。三者缺一不可，同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一。2.畫法：畫一條水平的直線。在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，表示0。規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向（畫箭頭表示），向左為負(fù)方向。取適當(dāng)長(zhǎng)度（如1cm）為單位長(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示1、2、3…；從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次表示1、2、3…。3.與有理數(shù)的關(guān)系：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。4.比較大小：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小?！厩鍐?4】絕對(duì)值與相反數(shù)1.絕對(duì)值：（1）幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|。（2）代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身。負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。0的絕對(duì)值是0。（3）符號(hào)表達(dá)：如果a>0，那么|a|=a。如果a<0，那么|a|=a。如果a=0，那么|a|=0。2.相反數(shù)：（1）概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。（2）性質(zhì)與判定：任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)?；橄喾磾?shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)。若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0。幾何意義：在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)，為互為相反數(shù)?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁且與原點(diǎn)的距離相等。（3）求法：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“”即可。求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)，需要先用括號(hào)括起來(lái)再添上負(fù)號(hào)“”，然后化簡(jiǎn)。前面帶“”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來(lái)再添加“”，然后化簡(jiǎn)。表示方法：一般情況下，a的相反數(shù)是a，a是任意有理數(shù)。（4）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：“+”號(hào)個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略?！啊睕Q定最后化簡(jiǎn)結(jié)果，“”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果為負(fù)；“”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果為正?！厩鍐?5】有理數(shù)的加法與減法1.有理數(shù)的加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。2.有理數(shù)的加法運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a。結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即ab=a+(b)?！厩鍐?6】有理數(shù)的乘法與除法1.有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。2.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：交換律：a×b=b×a。結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)。分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩個(gè)不等于0的數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。0不能做除數(shù)?！厩鍐?7】有理數(shù)的乘方與混合運(yùn)算1.概念：求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。相同的因數(shù)叫做底數(shù)，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫冪。2.法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)。0的任何正整數(shù)次冪都是0。3.有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方，后乘除，再加減，如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算?！绢}型一】絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)【例1】的絕對(duì)值是（）A．8 B． C．6 D．【變式11】下列兩個(gè)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）【變式12】的倒數(shù)是，的相反數(shù)是【題型二】科學(xué)記數(shù)法【例2】中國(guó)倡導(dǎo)的“一帶一路”建設(shè)將促進(jìn)我國(guó)與世界各國(guó)的互利合作．根據(jù)規(guī)劃，“一帶一路”地區(qū)覆蓋總?cè)丝诩s為4400000000人，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）【變式21】2025年春節(jié)期間，無(wú)錫市65家備案博物館接待游客總數(shù)約人次．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）【題型三】最大、最小的數(shù)【例3】下列各有理數(shù)中，最大的是（

）A． B． C． D．0【變式31】下列四個(gè)有理數(shù)中，最小的是（

）A．0 B． C． D．【變式32】在0，，，中，最小的數(shù)是．【題型四】比較大小【例4】比較下列各組數(shù)的大小，正確的是（）【變式41】下列比較有理數(shù)，，大小正確的是（

）【變式42】比較大小：．（填“”“”或“”）【題型五】絕對(duì)值的非負(fù)性A．3 B． C． D．2A．， B．， C．， D．，【題型六】新定義運(yùn)算A．3 B． C．7 D．A． B． C． D．【題型七】程序流程圖【例7】如圖，這是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，若輸入數(shù)字1，則輸出結(jié)果為（

）A． B．3 C． D．11【變式71】按如圖的程序計(jì)算，若輸入的值為，則輸出的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【變式72】如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為24，第二次輸出的結(jié)果為12，…，則第2025次輸出的結(jié)果為．【題型八】數(shù)軸上表示數(shù)并比較大小【例8】把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并用“”號(hào)連接起來(lái)．(1)把各點(diǎn)畫在數(shù)軸上，并按照從小到大的順序，用“”號(hào)把各數(shù)連接起來(lái)；(2)直接寫出、和、兩點(diǎn)之間的距離．【變式82】（1）在數(shù)軸上把下列各數(shù)表示出來(lái)；（2）用“”連接各數(shù)．【題型九】有理數(shù)的分類(1)正數(shù)：；(2)負(fù)數(shù)：；(3)整數(shù)：；(4)分?jǐn)?shù)：．【變式91】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．（填序號(hào)即可）正有理數(shù)集合：{

…}；負(fù)有理數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；負(fù)整數(shù)集合：{

…}；有理數(shù)集合：{

…}．【變式92】把下面的數(shù)填入它們屬于的括號(hào)內(nèi)：正數(shù)：{

…}；負(fù)數(shù)：{

…}；整數(shù)：{

…}．【題型十】有理數(shù)的混合運(yùn)算【例10】計(jì)算：【變式101】計(jì)算：【變式102】計(jì)算：【題型十一】有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例11】某糧庫(kù)一周內(nèi)進(jìn)出糧食的記錄如下（運(yùn)進(jìn)為正，運(yùn)出為負(fù)，單位：噸）：(1)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這一周糧庫(kù)的糧食是增多了還是減少了？增多或減少了多少噸？(2)若糧庫(kù)原有糧食1000噸，則現(xiàn)在糧庫(kù)有糧食多少噸？(3)若每噸糧食的運(yùn)費(fèi)為20元，則這一周共需運(yùn)費(fèi)多少元？【變式111】某水果店銷售一種“巧克力”草莓，統(tǒng)計(jì)了一個(gè)月（按四周計(jì)算）的實(shí)際銷售情況，以每千克15元為標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)，超過(guò)或不足的錢數(shù)分別用正、負(fù)來(lái)表示；以每周的銷售量200千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)或不足的數(shù)量分別用正、負(fù)來(lái)表示，記錄如表：第一周第二周第三周第四周相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)（元）相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)銷售數(shù)量（千克）(1)這個(gè)月內(nèi)，“巧克力”草莓售價(jià)最高的是第幾周？這一周的售價(jià)是每千克多少元？(2)這個(gè)月“巧克力”草莓實(shí)際的銷售數(shù)量是多少千克？(3)已知這種“巧克力”草莓的進(jìn)價(jià)是每千克13元，若這家水果店本月原計(jì)劃按標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量銷售，則這家水果店這個(gè)月實(shí)際銷售“巧克力”草莓的利潤(rùn)比原計(jì)劃銷售“巧克力”草莓的利潤(rùn)多了多少元？【變式112】一檢修小組開(kāi)車沿一條東西方向的公路作業(yè)，早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地約定向東為正，向西為負(fù)，當(dāng)天的行駛路程記錄如下（單位：千米）：(1)請(qǐng)你確定B地位于A地的什么方向，距離A地有多遠(yuǎn)？(2)在檢修過(guò)程中，檢修車離出發(fā)地A最遠(yuǎn)時(shí)，位于A地的左邊還是右邊？距離A地有多少千米？【題型十二】數(shù)軸折疊問(wèn)題【例12】如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右依次有點(diǎn)A，B，C三個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為8，設(shè)點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和是m．(1)若A表示的數(shù)是，則數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為：；(2)若以B為原點(diǎn)，求m的值；(3)若C表示的數(shù)是8，將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求折疊后與點(diǎn)B重合的點(diǎn)表示的數(shù)．(1)點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____．(2)與點(diǎn)的距離為4的點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____；(3)若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；(4)若數(shù)軸上、兩點(diǎn)之間的距離為2018（在的左側(cè)），且、兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)（3）中折疊后互相重合，則、兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是：：______：______．【變式122】如下圖，已知在紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面．例如：若數(shù)軸上數(shù)2表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合，則數(shù)軸上數(shù)表示的點(diǎn)與數(shù)4表示的點(diǎn)重合．若數(shù)軸上數(shù)表示的點(diǎn)與數(shù)1表示的點(diǎn)重合，根據(jù)此情境解決下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上數(shù)3表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合．(2)若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個(gè)單位長(zhǎng)度，并且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)B表示的數(shù)是________．(3)若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)之間的距離為2024，并且M，N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，點(diǎn)M表示的數(shù)比點(diǎn)N表示的數(shù)大，則M，N兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是什么？【題型十三】數(shù)軸最值問(wèn)題【例13】閱讀：【探索】：(2)利用數(shù)軸，寫出所有符合條件的整數(shù)x，使x所表示的點(diǎn)到5和所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為7．(1)數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離是_______；(3)數(shù)軸上點(diǎn)A用數(shù)a表示，探究以下幾個(gè)問(wèn)題：【題型十四】數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題(1)線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為；點(diǎn)N表示的數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)M、N兩點(diǎn)相距6個(gè)單位時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)點(diǎn)P與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；①求t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇；②求點(diǎn)Q一共運(yùn)動(dòng)了多少個(gè)單位長(zhǎng)度，并求點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)在數(shù)軸上所表示的有理數(shù)；③在點(diǎn)Q第一次到達(dá)點(diǎn)B前，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離不超過(guò)15個(gè)單位長(zhǎng)度的時(shí)長(zhǎng)．【變式142】閱讀理解，完成下列各題：【題型一】混淆相反意義的量與數(shù)學(xué)符號(hào)的直接對(duì)應(yīng)A．向東走 B．向西走 C．向南走 D．向北走A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元【題型二】忽略數(shù)軸雙向延伸特性，未考慮兩點(diǎn)間雙向距離A． B．7 C．4 D．0【變式21】已知數(shù)軸上，兩點(diǎn)分別表示，6．若在數(shù)軸上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)的距離為4；找一點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)的距離為1．下列不可能為點(diǎn)與點(diǎn)的距離的是（

）A． B． C． D．【題型三】混淆絕對(duì)值運(yùn)算與相反數(shù)運(yùn)算的先后順序A．任意有理數(shù) B．任意一個(gè)非負(fù)數(shù) C．任意一個(gè)非正數(shù) D．任意一個(gè)負(fù)數(shù)【題型四】?jī)H關(guān)注數(shù)字規(guī)律而忽略符號(hào)變化A．2 B．4 C．6 D．8A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓【變式42】觀察下列各式：，，，，，根據(jù)其中的排列規(guī)律，則第n個(gè)式子為．【題型一】循環(huán)周期問(wèn)題方法：先找出循環(huán)節(jié)；再根據(jù)求的是第多少的數(shù)，用總數(shù)除以循環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，看余數(shù)即可【例1】觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字的規(guī)律，可知數(shù)2025應(yīng)標(biāo)在（

）A．第507個(gè)正方形的右上角 B．第507個(gè)正方形的右下角C．第506個(gè)正方形的左上角 D．第506個(gè)正方形的左下角．A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【變式12】如圖所示，在這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第二次運(yùn)算輸入1，則輸出的是，返回進(jìn)行第三次運(yùn)算輸入，則輸出的是，…