澄宜六校聯(lián)盟高三年級10月學情調研試卷

高三數(shù)學

命題人：復核人：

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）

1.已知a、bR，且ab，則（）

ab

111122

A.B.sinasinbC.D.ab

ab44

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質與函數(shù)的性質逐項判斷即可得答案.

11

【詳解】對于A，當a2,b1時，滿足ab，但，故A不正確；

ab

2ππ2π3π

對于B，當a,b時，滿足ab，但sinasinsinbsin1，故B不正確；

32322

xab

111

對于C，函數(shù)y在R上為減函數(shù)，若ab，則，故C正確；

444

對于D，當a2,b3時，滿足ab，但a2b2，故D不正確.

故選：C.

2.命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是（）

A.任意一個有理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

B.任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C.存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

【答案】B

【解析】

【分析】利用存在量詞命題的否定可得出結論.

【詳解】命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”為存在量詞命題，

該命題的否定為“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”，

故選：B.

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2

3.若集合Axx3x0，Bxlnx0，AB（）

A.xx3B.xx0C.x0x1D.x1x3

【答案】B

【解析】

【分析】化簡集合A,B，根據(jù)并集的定義計算.

【詳解】由已知Ax|0x3,Bxx1，

所以ABxx0，

故選：B.

4.如圖函數(shù)圖象的解析式可能是（）

22

A.f(x)(1)cosxB.f(x)(1)sinx

1ex1ex

22

C.f(x)(1)cosxD.f(x)(1)sinx

1ex1ex

【答案】B

【解析】

22

【分析】設g(x)1，h(x)1，結合函數(shù)奇偶性的定義判斷奇偶性，再結合已知函數(shù)圖

1ex1ex

象根據(jù)函數(shù)的定義域與奇偶性逐項判斷即可得結論.

21ex2ex1

【詳解】設g(x)1，其定義域為R，

1ex1ex1ex

ex11ex

所以g(x)g(x)，故g(x)是R上的奇函數(shù)；

1exex1

21ex2ex1ex1

設h(x)1，其定義域為,00,，

1ex1ex1exex1

ex11ex

所以h(x)h(x)，故h(x)是,00,上的奇函數(shù)；

ex11ex

由圖可知原函數(shù)是R上的偶函數(shù)，從定義域上不符合的是C，D選項；

A選項是奇函數(shù)g(x)與偶函數(shù)cosx相乘所得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故A不符合；

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B選項是奇函數(shù)g(x)與奇函數(shù)sinx相乘所得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故B符合

故選：B.

a1

5.已知實數(shù)a、b0，且ab1，則的最小值是（）

2ba

A.21B.2C.221D.22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式“1”的代換求解最值即可.

【詳解】因為實數(shù)a、b0，且ab1，

a1aababab

所以12121，

2ba2ba2ba2ba

aba1

當且僅當，即a22,b21時，的最小值是21.

2ba2ba

故選：A.

6.若平面向量a，b，c，兩兩的夾角相等，且|a|2,|b|2,|c|4，則abc（）

A.2B.8或2C.8D.2或10

【答案】B

【解析】

2π2π

【分析】根據(jù)題意，三向量兩兩夾角為0或，當夾角為0時，直接求得模，當夾角為時，利用向量

33

求模公式即可求解．

2π

【詳解】因為a，b，c兩兩的夾角相等，所以夾角為0或，

3

如果夾角為0，

因為|a|2,|b|2,|c|4，

所以得到abcabc8，

2π11

如果夾角為，ab22()2,acbc24()4，

322

222

所以|abc|abc2ab2ac2bc44164882，

綜上，abc8或2.

故選：B．

7.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若accosBbccosA，則VABC的形狀是（）

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A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】

a2b2c2a2b2c2

【分析】由余弦定理化簡為，再按a2b2c2等于0和不等于0分類討論求解．

ab

a2c2b2b2c2a2

【詳解】因為accosBbccosA，由余弦定理得acbc，

2ac2bc

a2b2c2a2b2c2

化簡得，

ab

若a2b2c20，即a2b2c2，此時VABC為直角三角形；

若a2b2c20，則ab，此時VABC為等腰三角形．

綜上，VABC為等腰三角形或直角三角形．

故選：D．

1lnx,x0

已知函數(shù)，若方程22有且僅有個不同實數(shù)根，則實數(shù)

8.f(x)x21m2mf(x)f(x)5m

e1,x0

的取值范圍是（）

A.（1,0）B.（1,e22]C.(1,2)D.[1，2)

【答案】C

【解析】

2

【分析】設fxt，則方程1m22mf(x)f(x)轉化為t的一元二次方程，解出這個t的一元二次方

1lnx,x0

程的解，畫出fx的圖象，通過圖象數(shù)形結合得到m的取值范圍.

x2

e1,x0

【詳解】令fxt，有1m22mtt2，即tm1tm10，

解得t1m1或t2m1，

作出fx的圖象，如圖，

2

方程1m22mf(x)f(x)有且僅有5個不同實數(shù)根，

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0m11m10

則由圖得或，

2

1m1e10m11

1m2m1

解得或，

2

0me21m0

則1m2.

故選：C.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.）

9.下列說法中，正確的是（）

525

若向量是與同向的單位向量，則，

A.ea(1,2)e

55

71

B.已知向量a(3,4)，b(7,1)，則a在b上的投影向量為,

22

13

C.向量a2,3，b,能作為平面內所有向量的一組基底

24

3

D.已知a(1,2)，b(3,x)，則“a，b夾角為銳角”是“x”的必要不充分條件

2

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)同向的單位向量計算公式即可判斷A；利用投影向量計算公式即可判斷B；根據(jù)基底向量的判

斷方法即可判斷C；求出向量夾角為銳角的充要條件即可判斷D.

1,2525

【詳解】對于A，e,，故A正確.

122255

ab2571

對于，在上的投影向量為，，故正確；

Bab2b7,1B

b5022

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1

對于C，因為ba，則a,b共線，則它們不能作為平面內所有向量的一組基底，故C錯誤；

4

對于D，若a，b夾角為銳角，則ab0，且不能同向共線，

32x0

3

則3x，解得x且x6，

2

12

3

則前者可以推出后者，后者無法推出前者，故“a，b夾角為銳角”是“x”的充分不必要條件，故D錯

2

誤.

故選：AB．

ππ

10.已知函數(shù)f(x)2cos(x)，0,，其圖象距離y軸最近的一條對稱軸方程為x，

212

π

最近的一個對稱中心為,0，則（）

6

π

A.

6

π

B.f(x)的圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)y2sin2x的圖象

6

11ππ

C.f(x)的圖象在區(qū)間,內有2個對稱中心

1212

π

D.若f(x)在區(qū)間m,m上的最大值與最小值分別為p,q，則pq的取值范圍是1,23

3

【答案】ACD

【解析】

π

【分析】根據(jù)題意算出函數(shù)的最小正周期，運用周期公式求出2，結合函數(shù)圖象的對稱性質求得，

6

11ππ

即可判斷A項的正誤；根據(jù)函數(shù)圖象的平移公式判斷出B項的正誤；根據(jù)f(x)在區(qū)間[,]上剛好

1212

11ππ

是一個周期，結合f()f()0，可得f(x)在該區(qū)間內有2個對稱中心，從而判斷出C項的正

1212

π

誤；根據(jù)[m,m]的位置，結合函數(shù)圖象的對稱性與三角恒等變換求出pq的最大值與最小值，即可判

3

斷出D項的正誤．

ππ2π

【詳解】由題意，f(x)的最小正周期為T4[()]π，所以π，解得，

126

ππ

根據(jù)2kπ(kZ)，解得kπ(kZ)，

126

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ππ

結合||，令得，可知A項正確；

26

ππ

由f(x)2cos(2x)，將f(x)圖象上的所有點向左平移個單位長度，

66

πππ

可得y2cos[2(x)]2cos(2x)2sin2x，可知B項不正確；

666

π11π11ππ

根據(jù)()π，結合Tπ可得f(x)在區(qū)間[,]只有一個周期，

12121212

11ππ

而f()f()20，

1212

11ππ

所以f(x)在[,]僅有兩個零點，只有2個對稱中心，可知C項正確；

1212

πkπ

由前面的分析，可得f(x)圖象的對稱軸為x(kZ)，

122

ππkπ

由對稱性可知：當m與m關于直線x,kZ對稱時，pq取得最小值，

3122

π

mmπkπππkπ

由3πkπ得m,kZ，此時m,kZ．

,kZ122342

2122

ππkπ

當k為偶數(shù)時，最小值為f(m)f(m)1，最大值為f()2；

3122

π

當k為奇數(shù)時，最大值為f(m)f(m)1，

3

πkπ

最小值為f()2，所以pq的最小值為1．

122

ππ7ππ7π13π

當[m,m][kπ,kπ],kZ或[m,m][kπ,kπ],kZ時，

3121231212

π

函數(shù)f(x)在[m,m]上單調，此時pq取得最大值，

3

ππππ

f(m)f(m)2cos(2m)2cos[2(m)]

3636

ππ

2cos(2m)2sin2m3cos2m3sin2m23sin(2m)23，

66

π2π

當m或m時等號成立，所以pq的取值范圍為[1,23]，可知D項正確．

63

故選：ACD．

11.已知函數(shù)yfx及其導函數(shù)yfx的定義域均為R，若yfx是奇函數(shù)，且

fxfxexx1，則（）

x

A.yfx是奇函數(shù)B.yefx是增函數(shù)

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C.yfx存在最小值D.當x0時，fxxfx

【答案】BCD

【解析】

x

【分析】對于A：根據(jù)奇偶性的定義結合復合函數(shù)求導分析判斷；對于B：構建hxex1，利用導

數(shù)可得hx0，進而分析判斷；對于C：根據(jù)奇偶性求fx，fx的解析式，利用判斷yfx的

最小值；對于D：構建Gxxfxfx,x0，利用導數(shù)證明不等式.

【詳解】對于選項A：因為函數(shù)yfx及其yfx的定義域均為R，且yfx是奇函數(shù)，

則fxfx，求導可得fxfx，

所以函數(shù)yfx是偶函數(shù)，故A錯誤；

xx

對于選項B：構造hxex1，則hxe1，

令hx0，解得x0；令hx0，解得x0；

可知hx在,0內單調遞減，在0,內單調遞增，則hxh00，

xxx

構造gxefx，則gxefxfxehx0，

x

所以yefx是增函數(shù)，故B正確；

x

對于選項C：因為fxfxex1，

則fxfxexx1，可得fxfxexx1，

exex

xfxx

fxfxex1

聯(lián)立，解得2，

xxx

fxfxex1ee

fx1

2

exex

構造Fxfx，則Fx，

2

因為yex,yex在R上單調遞增，則Fx在R上單調遞增，且F00，

當x0時，F(xiàn)x0；當x0時，F(xiàn)x0；

可知Fx在,0內單調遞減，在0,內單調遞增，

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所以Fx有最小值F00，即yfx存在最小值，故C正確；

1

對于選項D：構造Gxxfxfxx1exx1ex,x0，

2

xexex

則GxxFx0，可知Gx在0,內單調遞增，

2

則GxG00，所以當x0時，fxxfx，故D正確；

故選：BCD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

32

12.計算3log2loglog453log52_________.

3393

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則、對數(shù)恒等式、指數(shù)運算法則化簡運算即可得答案.

32

【詳解】3log2loglog453log52

3393

3

332log52

log32log3log345

9

93

log3842

32

log398

2810.

故答案為：10.

11

13.已知sin，coscos()，則tantan()______________.

32

2

【答案】

3

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)化成正弦函數(shù)除以余弦函數(shù)，結合正弦兩角差公式化簡求解即可.

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tantan()

sinsin()

coscos()

sincos()cossin()

coscos()

sin[()]

coscos()

【詳解】

sin

coscos()

1

3

1

2

2

3

2

故答案為：.

3

設函數(shù)2，若有兩個極值點x，，且，則

14.f(x)lnxxax(aR)f(x)1x2x1(0,2f(x1)f(x2)

的最小值是________.

63

【答案】3ln2

16

【解析】

2

【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點可得方程2xax10在(0,)上有兩個不等實根x1，x2，由此可得韋

達定理的結論，將表示為關于x的函數(shù)的形式，構造函數(shù)

f(x1)f(x2)1

1

g(x)2lnxx2ln2(0x2)，利用導數(shù)求得g(x)即可．

4x2min

12x2ax1

【詳解】f(x)定義域為(0,)，f(x)2xa，

xx

2

f(x)有兩個極值點x1，x2等價于2xax10在(0,)上有兩個不等實根x1，x2，

1

a1

x1x2，x1x2，a2(x1x2)，x2，

222x1

22

f(x1)f(x2)lnx1x1ax1lnx2x2ax2

1

x

1112x

21

lnx1x12x1(x1)ln(2x1)2

2x14x1x1

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1

2

2lnx1x12ln2(0x12)，

4x1

1

設g(x)2lnxx2ln2(0x2)，

4x2

214x24x41(2x21)2

則g(x)2x0，

x2x32x32x3

163

g(x)在(0,2]上單調遞減，g(x)g(2)2ln24ln23ln2，

1616

163

2

即f(x1)f(x2)2lnx1x12ln23ln2，

4x116

63

f(x1)f(x2)的最小值為3ln2．

16

63

故答案為：3ln2．

16

【點睛】思路點睛：本題考查了函數(shù)和導數(shù)綜合解決雙變量最值問題，根據(jù)已知極值點確定雙變量等式關

系，再進行代換轉化為單變量問題，構造新函數(shù)求導確定最值得結論即可.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

1m1

15.設命題p:xR，不等式mx2mx0恒成立;命題q:mm1.

23m

（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若命題p、q有且只有一個是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

【答案】（1）0m2；

（2）0m1或2m3.

【解析】

【分析】（1）對m進行分類討論，由此列不等式來求得m的取值范圍.

（2）根據(jù)p真q假或p假q真，列不等式來求得m的取值范圍.

【小問1詳解】

1

對于命題p:xR，不等式mx2mx0恒成立，

2

1

當m0時，0恒成立.

2

m0

當時，則需，解得

m020m2.

Δm2m0

綜上所述，m的取值范圍是0m2.

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【小問2詳解】

m1m1m13m2m2

由1得10，

3m3m3m3m

所以2m23m0，解得1m3.

若p真q假，則“0m2”且“m≤1或m3”，則0m1.

若p假q真，則“m0或m≥2”且“1m3”，則2m3.

綜上所述，m的取值范圍是0m1或2m3.

π33

16.設函數(shù)f(x)cosxsin(x)3sin2x.

34

ππ

（1）當x,時，求函數(shù)f(x)的最小值并求出對應的x；

122

1

（2）若f(x)，求x的取值集合.

4

1π

【答案】（1）函數(shù)f(x)的最小值為，此時x

412

π7π

（2）x的取值集合為kπ,kπ,kZ

412

【解析】

1π

【分析】（1）利用三角恒等變換可得f(x)sin(2x)，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質，即可得出答案；

23

（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質解三角不等式即可得x的取值集合．

【小問1詳解】

π33

f(x)cosxsin(x)3sin2x

34

1333

cosx(sinxcosx)3sin2x

224

1333

sinxcosxcos2x3sin2x

224

13333

sin2x(1cos2x)(1cos2x)

4424

13

sin2xcos2x

44

1π

sin(2x)

23

ππππ2π

因為x,，所以2x[,]，

122363

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πππ1

當2x，即x時，函數(shù)f(x)取到最小值為，

36124

ππ1π

即當x,時，函數(shù)f(x)的最小值為，此時x；

122412

【小問2詳解】

1π1

若f(x)，則sin(2x)，

432

ππ5ππ7π

所以2kπ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ，

636412

π7π

故x的取值集合為kπ,kπ,kZ.

412

17.如圖，等腰VABC中，BC6,ABAC5，D為BC邊的中點，Q為BC邊上靠近點C三等分點，

3

P為線段AQ上的一點，且APAQ，過點P的直線與邊AB,AC分別交于點E,F，已知AEAB，

10

AFAC.

12

（1）求的值；

1

（）若，且，求的值

2SABC12SAEF0EDAFDFEA.

4

12

【答案】（1）10

92

（2）

9

【解析】

12

【分析】（1）利用向量共線定理以及向量的線性運算來建立等式關系，即可得出的值；

（2）先根據(jù)三角形面積關系得出與的關系，再聯(lián)立已知等式求解和的值，進而求出線段長度，然

后利用余弦定理求出EF2和AD2，最后通過向量運算求出(EDAF)(DFEA)的值．

【小問1詳解】

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因為D為BC邊的中點，Q為BC邊上靠近點C三等分點，

2212

所以AQABBCABACABABAC，

3333

12

又AEAB，AFAC，所以AQAEAF，

33

312

因為E,F,P共線，又APAQAEAF，

101010

1212

則1，即10；

1010

【小問2詳解】

11

由S12S，得bcsinBAC12cbsinEAF，

ABCAEF22

11

所以，又0，

124

121111

由（1）得10，聯(lián)立解得，或，（舍），

6243

55

所以AE，AF，

62

5252627

在VABC中，由余弦定理得cosA，

25525

5555752

所以在△AEF中，由余弦定理得EF2()2()22，

6262259

因為ABAC，D為BC邊的中點，所以ADBC，所以AD2AB2BD2523216，

又EDAFADAEAFADEF，

DFEAAFADEAEFAD，

225292

所以(EDAF)(DFEA)(ADEF)(EFAD)EFAD16．

99

18.如圖，VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，BAC135，D為邊BC上一點，且ADAB，

BD2CD2．

（1）證明：b2sinADC；

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（2）求VABC的面積．

【答案】（1）證明見解析；

9

（2）.

10

【解析】

【分析】（1）由條件先求角CAD，進而在△ADC中應用正弦定理即可證明；

c

（2）在△ABD中應用正弦定理可得c2sinADB，進而結合ADBADC180可得的值，再

b

利用余弦定理可求a與b的關系，進而利用面積公式求解即可.

【小問1詳解】

由BAC135，ADAB，得CAD45.

bCD

在△ADC中，有，得

sinADCsinCAD

1

bsinADC2sinADC，即b2sinADC.

sin45

【小問2詳解】

cc

在△ABD中，ADAB，所以sinADB，即c2sinADB，

BD2

又ADBADC180.

c2sinADB2sin180ADC2sinADCc

于是2，即2.

b2sinADCsinADCsinADCb

c

因為aBCBDCD3，BAC135，2，

b

2

222222

所以abc2bccosBACb2b2b2b5b，

2

9

得5b2a29，即b2.

5

11211