湖北省黃石市十四中2025年10月質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（本試題卷共4頁，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）選擇題（共10題，每題3分，共30分）1．下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝22．近幾年我國(guó)國(guó)產(chǎn)汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，下列汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C. D.關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+2，下列說法正確的是（）A．圖象的開口向上 B．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2） C．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，2）D．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小4．一元二次方程配方后可化為（）A．B．C． D．5．將y＝﹣x2的圖象（）可以得到二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+1的圖象。A．向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位 B．向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 D．向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（

）A．12 B． C．1 D．7．關(guān)于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則a滿足（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1且a≠5 C．a(chǎn)≥1且a≠5 D．a(chǎn)≠58．以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A（4，5）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣5，4） B．（5，﹣4） C．（﹣4，5） D．（4，﹣5）第9題圖9.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，若點(diǎn)A恰好在ED的延長(zhǎng)線上，∠BAC＝40°，則∠BAE的度數(shù)為（）第9題圖80°B.60° C.65°D.70°10．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點(diǎn)A，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間，頂點(diǎn)為B．①拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個(gè)交點(diǎn)；第10題圖②若點(diǎn)M（﹣2，y1）、點(diǎn)、點(diǎn)P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；第10題圖③將該拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時(shí)，四邊形BCDE周長(zhǎng)的最小值為．其中正確的判斷有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④第12題圖第12題圖填空題（鄂教網(wǎng)共5題，每題3分，共15分）11.若一元二次方程的兩根分別是2和?1，則這個(gè)一元二次方程可以是

．12.如圖所示，拱橋的形狀是拋物線，其函數(shù)關(guān)系式為y=?14x2，當(dāng)水面離橋頂?shù)母叨萇H為4m時(shí)，水面的寬度AB13.已知x=1是一元二次方程m?2x2+4x?m2=0的一個(gè)根，則14.拋物線y=3x?22+k與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(?1,0)，則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是

第15題圖15.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠A＝30°，BC＝4，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段BD繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BE，連CE，則CE的最小值為．第15題圖解答題（共9題，75分）16.（本題6分）解方程：.17.(本小題6分)由于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，電子產(chǎn)品的價(jià)格在不斷下降，其中某電子產(chǎn)品的價(jià)格經(jīng)過兩次降價(jià)后，由原來的每個(gè)100元下調(diào)至現(xiàn)在的64元，求這種電子產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率是多少？18.(本小題6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)為A(1,0)，B(4,?3)，C(0,?2)．

（1）平移△ABC，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3,4)（2）將△ABC以點(diǎn)(0,0)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△（3）已知將△A1B1C19.（本題8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）求證：不論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為5時(shí)，求m的值．第20題圖第20題圖20.（本題8分）如圖，拋物線y1=a(x?h)2+k與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為C(1)拋物線的解析式為______；

(2)當(dāng)?1<x<2時(shí)，y1的取值范圍是______；

(3)方程a(x?h)2+k=mx+n的兩根是______；

(4)當(dāng)?shù)?1題圖21.（本題8分）如圖，已知△ABC為等邊三角形．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△P′BA．第21題圖（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；（2）求∠APB的度數(shù)．（本題10分）綜合與實(shí)踐蔬菜大棚的探究生活背景蔬菜大棚是一種具有保溫性能的框架結(jié)構(gòu)．如圖所示，一般使用鋼結(jié)構(gòu)作為骨架，上面覆上一層或多層塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．大棚的設(shè)計(jì)要保證安全性、通風(fēng)性且利于采光．建立模型某勞動(dòng)基地的蔬菜大棚的橫截面是由拋物線AEB和支柱AD，BC構(gòu)成（如圖1所示），拋物線最高點(diǎn)E到地面的距離為7m，并以CD所在直線為x軸，過點(diǎn)E且垂直于CD的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，已知CD＝12m，BC＝3m．解決問題（1）求拋物線的解析式；（2）為了安全，需對(duì)大棚進(jìn)行加固，準(zhǔn)備在大棚拋物線上安裝矩形“支撐架”（即三根支架，其中PM，QN垂直地面，PQ平行地面，點(diǎn)P，Q在拋物線上，如圖2所示），①當(dāng)PM=6m時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；②通過計(jì)算說明“支撐架”安裝在什么位置時(shí)，“支撐架”的長(zhǎng)度最長(zhǎng).23.（本題11分）【問題背景】：如圖①，已知△和△都是等邊三角形，求證：；【嘗試應(yīng)用】：如圖②，在△中，，在上截取，連接，為上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；【拓延探究】：如圖③，在△中，，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，若，請(qǐng)求出△面積的最大值．（本題12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A(?3,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1，過點(diǎn)B的直線l：y=x?1與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接MB、MD，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為n，當(dāng)MB=MD時(shí)，求n的值；

(3)如圖2，點(diǎn)N是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將頂點(diǎn)N繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°后剛好落在拋物線上的點(diǎn)H處，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P2025年10月質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1-10BDDBBBCAAB11.x2?x?2=0(答案不唯一12.8

-114.5,015.216.解：，，......................3分或，解得：，．......................6分17.解：設(shè)這種電子產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率為x.根據(jù)題意，得100(1?x)2解得x1=0.2=20%，x2答：這種電子產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率為20%．......................6分18.（1）△A1（2）△A2B2（3）(1,2)......................6分18.解：（1）證明：∵Δ=[?(m+5)=m2?2m+1=(m?1∴無論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．......................3分設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別為a，b.由題意，得a+b=m+5，ab=3m+6.......................4分∵a2+b解得m1=?6，m∵a+b=m+5>0，∴m>?5.∴m的值為2．......................8分（1）y=?(x?1)2+9

，（2）5<y1≤9

，x1=0，x2=4......................6分x<0或x>4

......................8分21.解：（1）由題意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，所以∠PBP′＝60度．故△BPP′為等邊三角形，......................3分所以PP′＝BP＝BP′＝6；......................4分（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′為直角三角形，且∠APP′＝90°，......................6分可求∠APB＝90°+60°＝150°．......................8分22.解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+7，將點(diǎn)B（6，3）代入得：36a+7＝3，解得：a＝，∴拋物線的解析式為y＝x2+7；......................3分①令y＝x2+7=6解得x1=3，x2=-3......................5分∴PQ=6......................6分②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，）（m＞0），由題意得點(diǎn)P，M，N的坐標(biāo)分別為（﹣m，），（﹣m，0），（m，0），∴PM＝QN＝，PQ＝2m，∴“支撐架”的長(zhǎng)度為PM+QN+PQ＝＝，......................8分∵0＜m＜6，，∴當(dāng)m＝4.5時(shí)，“支撐架”的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即當(dāng)“支撐架”PM，QN安裝在與y軸水平距離4.5米的位置時(shí)，“支撐架”的長(zhǎng)度最長(zhǎng)。......................10分23.【解答】問題背景：證明：△和△都是等邊三角形，，，，，△△，；......................2分嘗試應(yīng)用：證明：如圖所示，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線與，，，△是等邊三角形，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，△△，......................3分，，△△，......................4分，，，△△，......................5分，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；......................6分拓展研究：解：鄂教網(wǎng)如圖所示，在線段截取一點(diǎn)使得，連接，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，，，△是等邊三角形，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，△△，，，......................8分，，，，，設(shè)，則，，......................10分當(dāng)時(shí)，有最大值為．......................11分24.解：(1)∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A(?3,0)、B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，

∴9a?3b+c=0a+b+c=0c=3，

解得：a=?1b=?2c=3，

∴