PAGE第五章二元一次方程組*5三元一次方程組一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析“三元一次方程組”是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第五章“二元一次方程組”的第五節(jié)，本節(jié)為選學(xué)內(nèi)容。教材在學(xué)生已熟練掌握二元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用的基礎(chǔ)之上，提出了本節(jié)課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：了解三元一次方程組的概念，會(huì)用“代入消元法”“加減消元法”把三元一次方程組化為二元一次方程組，進(jìn)而化為一元一次方程來(lái)求解。本節(jié)課作為選學(xué)內(nèi)容，旨在使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)感興趣的學(xué)生能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出三元一次方程組，并根據(jù)方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥ǎM(jìn)而解決問(wèn)題，讓學(xué)生更深入地體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。二、學(xué)生起點(diǎn)分析學(xué)生知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)熟練掌握二元一次方程組的概念、解法，并能應(yīng)用二元一次方程組解決許多實(shí)際問(wèn)題，具備用消元法解方程組的基本技能。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)具備在實(shí)際問(wèn)題中尋找等量關(guān)系、建立方程（組）并求解的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并借助方程（組）解決過(guò)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，感受到利用方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)便性與靈活性。同時(shí)，學(xué)生在以往的數(shù)學(xué)活動(dòng)中經(jīng)歷多次合作探究的過(guò)程，具有一定的合作與交流能力。三、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，能列出三元一次方程組，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型。2.經(jīng)歷三元一次方程組解法的探索過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)“化未知為已知”的化歸思想。3.會(huì)用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，進(jìn)一步體會(huì)“消元”的思想。教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生自主探索三元一次方程組的解法，在活動(dòng)過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)“消元”的思想。教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)消元解方程組。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)【第一環(huán)節(jié)】抽象模型，生成概念1.活動(dòng)內(nèi)容今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)：上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？（選自《九章算術(shù)》）題目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？在這個(gè)問(wèn)題中，設(shè)每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根據(jù)題意可得方程組：這個(gè)方程組和前面學(xué)過(guò)的二元一次方程組有什么區(qū)別和聯(lián)系？在這個(gè)方程組中，3x＋2y＋z＝39，2x＋3y＋z＝34和x＋2y＋3z＝26都含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作三元一次方程。像這樣，共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫作三元一次方程組。三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫作這個(gè)三元一次方程組的解。2.活動(dòng)目的通過(guò)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中的問(wèn)題情境引入新課，使學(xué)生了解三元一次方程組的概念及本節(jié)課要解決的問(wèn)題。首先，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)在審題時(shí)需要抓住的三個(gè)等量關(guān)系，并據(jù)此列出對(duì)應(yīng)的三個(gè)方程。接著，點(diǎn)明這個(gè)問(wèn)題的解答必須同時(shí)滿(mǎn)足這三個(gè)條件，因此，需要把這三個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)，從而引出三元一次方程組的概念。也可以通過(guò)類(lèi)比引出本節(jié)課要解決的問(wèn)題——解三元一次方程組。3.注意事項(xiàng)開(kāi)始階段要給予學(xué)生充足的探索空間，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中尋找等量關(guān)系，列出方程組，為下一步進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)做鋪墊，進(jìn)而得出三元一次方程、三元一次方程組、三元一次方程組的解的概念?！镜诙h(huán)節(jié)】類(lèi)比學(xué)習(xí)，探究新知1.活動(dòng)內(nèi)容嘗試·思考（1）怎樣解這個(gè)三元一次方程組呢？（2）解二元一次方程組的基本思路是什么？你認(rèn)為用類(lèi)似的思路可以求解這個(gè)三元一次方程組嗎？請(qǐng)你試一試。2.活動(dòng)目的本環(huán)節(jié)主要引導(dǎo)學(xué)生思考解三元一次方程組的基本思路。3.注意事項(xiàng)教學(xué)時(shí)，可要求學(xué)生回顧解二元一次方程組的基本思路，明確其中的消元、轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生思考如何用類(lèi)似的方法將“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，然后鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法嘗試解前面列出的三元一次方程組?！镜谌h(huán)節(jié)（一）】問(wèn)題解決，深入理解1.活動(dòng)內(nèi)容嘗試·交流（1）在解上面的方程組時(shí)，你能用代入消元法先消去未知數(shù)x（或y），從而得到方程組的解嗎？（2）你還有其他方法嗎？與同伴交流各自的解法，并思考不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。2.活動(dòng)目的在學(xué)生獨(dú)立選擇方法解決三元一次方程組的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較：解三元一次方程組的消元與解二元一次方程組的消元有什么不同？解上面的方程組時(shí)，你能先消去未知數(shù)x（或y），從而得到方程組的解嗎？先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后在學(xué)生充分思考的前提下，組織小組討論，在此基礎(chǔ)上由學(xué)生派代表回答，教師適時(shí)地引導(dǎo)與補(bǔ)充，力求通過(guò)學(xué)生觀察、思考與討論后得出以下的一些要點(diǎn)：（1）三元一次方程組的消元可以類(lèi)比二元一次方程組的消元進(jìn)行。（2）消元的常見(jiàn)方法有：代入消元法，加減消元法。（3）總結(jié)求解三元一次方程組的整體思路——消元，實(shí)現(xiàn)“三元”→“二元”→“一元”的轉(zhuǎn)化。在消元的過(guò)程中，消“誰(shuí)”都行，用哪種消法（代入法、加減法）都可以，但如果能根據(jù)方程組選擇更合適的方法，可以提高計(jì)算的效率。3.注意事項(xiàng)本環(huán)節(jié)可以結(jié)合情境問(wèn)題中列出的三元一次方程組，類(lèi)比前面所學(xué)的二元一次方程組解法，得到解三元一次方程組的整體思路——消元，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同解法進(jìn)行嘗試、體會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生解題思路多樣化?！镜谌h(huán)節(jié)（二）】問(wèn)題解決，深入理解1.活動(dòng)內(nèi)容思考·交流回顧二元一次方程組和三元一次方程組的求解過(guò)程，說(shuō)說(shuō)求解三元一次方程組的基本思路，并與同伴進(jìn)行交流。歸納得出：解三元一次方程組的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化為“二元”，再化為“一元”。2.活動(dòng)目的引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)的求解二元一次方程組的基本思路——消元，以及消元的常用方法（代入消元法、加減消元法），讓學(xué)生明確解三元一次方程組的具體做法可以有很多種，但不管哪種做法，其基本思路都是“消元”。3.注意事項(xiàng)選取一種方法解此三元一次方程組，由學(xué)生獨(dú)立思考解決，教師注意指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)。教師板書(shū)用代入消元法的求解過(guò)程，強(qiáng)調(diào)解題的格式。引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比二元一次方程組的加減消元法對(duì)此方程組進(jìn)行消元。并讓學(xué)生根據(jù)解二元一次方程組的經(jīng)驗(yàn)嘗試歸納三元一次方程組求解方法的選擇：方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同、互為相反數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的，這類(lèi)方程組用加減消元法求解比較簡(jiǎn)單。方程組中有未知數(shù)系數(shù)是1或－1的，這類(lèi)方程組用代入消元法求解比較簡(jiǎn)單?！镜谒沫h(huán)節(jié)】實(shí)際應(yīng)用，拓展思考1.活動(dòng)內(nèi)容（1）解方程組：（2）一個(gè)三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字之和是14，個(gè)位數(shù)字、百位數(shù)字的和等于十位數(shù)字，百位數(shù)字的7倍比個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字的和大2。求這個(gè)三位數(shù)。2.活動(dòng)目的第（1）題為解方程組，題目的設(shè)計(jì)力求各項(xiàng)系數(shù)簡(jiǎn)單、便于運(yùn)算，讓學(xué)生聚焦方法的選擇與運(yùn)用，并通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步理解三元一次方程組的求解方法，培養(yǎng)運(yùn)算能力。第（2）題為實(shí)際應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。本環(huán)節(jié)回歸實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，意在培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)。3.注意事項(xiàng)本環(huán)節(jié)教師要著重引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組的特點(diǎn)，進(jìn)而總結(jié)出消元的具體策略：如果已有某個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式，則直接用代入消元法，否則，通常選用加減消元法。使用加減消元法時(shí)，觀察方程組中是否存在只含有兩個(gè)未知數(shù)的方程，若有，則消去缺失的那個(gè)未知數(shù)。本環(huán)節(jié)是對(duì)前面所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行鞏固，教師可以放手讓學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)獲取的解題經(jīng)驗(yàn)獨(dú)立解決新的問(wèn)題。如可以讓兩名學(xué)生在黑板上進(jìn)行板書(shū)，教師巡視。在探究過(guò)程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)要及時(shí)給予肯定，發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題適時(shí)加以輔導(dǎo)，以期學(xué)生在解答過(guò)程中領(lǐng)會(huì)“消元”的實(shí)質(zhì)和“化歸”的數(shù)學(xué)思想?！镜谖瀛h(huán)節(jié)】課堂小結(jié)1.活動(dòng)內(nèi)容（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？（2）本節(jié)課你感受到了哪些數(shù)學(xué)思想？（3）你認(rèn)為解多元一次方程組的核心思想方法是什么？2.活動(dòng)目的引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)方法，使知識(shí)系統(tǒng)化，由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。3.注意事項(xiàng)本環(huán)節(jié)要給予學(xué)生能夠在課堂上暢所欲言的空間和時(shí)間，使學(xué)生通過(guò)自己的歸納總結(jié)，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)。教師可以視其情況，選擇一些前面出現(xiàn)過(guò)的問(wèn)題情境和實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行展示，并對(duì)學(xué)生的總結(jié)從知識(shí)、方法及思想層面進(jìn)行補(bǔ)充完善，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情?！镜诹h(huán)節(jié)】布置作業(yè)1.活動(dòng)內(nèi)容（1）基礎(chǔ)性作業(yè)：教科書(shū)習(xí)題5.5第1~4題。（2）拓展性作業(yè)：①有同學(xué)說(shuō)，列三元一次方程組能解決的問(wèn)題，列一元一次方程也能解決。對(duì)此說(shuō)說(shuō)你的看法。②（選做）探究學(xué)習(xí)教材P136“閱讀·思考”中的內(nèi)容。2.活動(dòng)目的課后作業(yè)設(shè)計(jì)包括兩個(gè)層面：基礎(chǔ)性作業(yè)是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)而設(shè)計(jì)；拓展性作業(yè)是為了拓展學(xué)生的知識(shí)面，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的思考而設(shè)計(jì)，通過(guò)此環(huán)節(jié)可讓學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用三元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)分層作業(yè)的設(shè)計(jì)，讓不同層次的學(xué)生都能得到發(fā)展。3.注意事項(xiàng)教科書(shū)習(xí)題5.5的第5題是不定方程組，可以供學(xué)有余力的學(xué)生完成。五、教學(xué)設(shè)計(jì)反思1.本節(jié)課的內(nèi)容屬于選學(xué)內(nèi)容，主要面向數(shù)學(xué)興趣濃厚、學(xué)有余力的學(xué)生，旨在引導(dǎo)其進(jìn)行進(jìn)一步探究和拓展多元一次方程組的相關(guān)知識(shí)。在數(shù)學(xué)方法和思想方面教師需重點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)，通過(guò)引導(dǎo)，使學(xué)生明白求解多元一次方程組的一般方法和思想。在“實(shí)際應(yīng)用，拓展思考”環(huán)節(jié)，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生嘗試多種解題方法，并比較各種方法之