江蘇省師范大學附屬實驗學校高考數學三角函數與解三角形多選題之知識梳理與訓練含答案一、三角函數與解三角形多選題1．知函數，則下述結論中正確的是（）A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點B．若在有且僅有個零點，則在上單調遞增C．若在有且僅有個零點，則的范是D．若的圖象關于對稱，且在單調，則的最大值為【答案】ACD【分析】令，由，可得出，作出函數在區(qū)間上的圖象，可判斷A選項正誤；根據已知條件求出的取值范圍，可判斷C選項正誤；利用正弦型函數的單調性可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數的對稱性與單調性可判斷D選項的正誤.【詳解】令，由，可得出，作出函數在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：對于A選項，若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點，A選項正確；對于C選項，若在有且僅有個零點，則，解得，C選項正確；對于B選項，若，則，所以，函數在區(qū)間上不單調，B選項錯誤；對于D選項，若的圖象關于對稱，則，.，，，.當時，，當時，，此時，函數在區(qū)間上單調遞減，合乎題意，D選項正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數的單調區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數．2．在中，角所對的邊分別為，下列命題正確的是（）A．若，的最大內角是最小內角的倍B．若，則一定為直角三角形C．若，則外接圓半徑為D．若，則一定是等邊三角形【答案】ABD【分析】對于A選項，求得，由此確定選項正確.對于B選項，求得，由此確定選項正確.對于C選項，利用正弦定理求得外接圓半徑，由此確定選項錯誤.對于D選項，證得，得到，確定選項正確.【詳解】對于A選項，角最小，角最大.由余弦定理得，，，.，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，，由正弦定理得，，，由于，所以，故B選項正確.對于C選項，，，，設三角形外接圓半徑為，則，故C選項錯誤.對于D選項，，故，同理可得，要使，則需，所以，所以，所以D選項正確.故選：ABD【點睛】利用正弦定理可求得三角形外接圓的半徑，要注意公式是，而不是.3．在中，角、、的對邊分別為、、，面積為，有以下四個命題中正確的是（）A．的最大值為B．當，時，不可能是直角三角形C．當，，時，的周長為D．當，，時，若為的內心，則的面積為【答案】ACD【分析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數形結合等即可判斷選項A；利用勾股定理的逆定理即可判斷選項B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項C；由已知條件可得是直角三角形，從而可以求出其內切圓的半徑，即可得的面積即可判斷選項D.【詳解】對于選項A：（當且僅當時取等號）.令，，故，因為，且，故可得點表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標函數上，表示圓弧上一點到點點的斜率，數形結合可知，當且僅當目標函數過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當且僅當，，即三角形為等邊三角形時，取得最大值，故選項A正確；對于選項B：因為，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項B錯誤；對于選項C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因為，所以化簡得，因為，所以，所以，則，所以，所以，，，因為，所以，，所以的周長為，故選項C正確；對于選項D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內切圓半徑為，所以的面積為所以選項D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是正余弦定理以及面積公式，對于A利用面積公式和余弦定理，結合不等式得，再利用三角換元、數形結合即可得證，綜合性較強，屬于難題.4．已知θ，且sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），則關于tanθ的值，在以下四個答案中，可能正確的是（）A．﹣3 B． C． D．【答案】CD【分析】先由已知條件判斷，，得到，對照四個選項得到正確答案.【詳解】∵sinθ+cosθ＝a，其中a∈（0，1），∴兩邊平方得：1+2，∴，∵，∴可得，，∴，又sinθ+cosθ＝a，所以cosθ＞﹣sinθ，所以所以，所以tanθ的值可能是，．故選：CD【點睛】關鍵點點睛：求出的取值范圍是本題解題關鍵．5．已知函數(，)的部分圖像如圖所示，則（）A． B．點是圖像的一個對稱中心C． D．直線是圖像的一條對稱軸【答案】ABD【分析】由圖知函數最大值為,最小值為,且函數圖像與軸的交點為,進而待定系數得,再整體換元討論B,D選項即可.【詳解】因為，所以，解得，故A正確；，則.又，所以，故C錯誤；，令，，解得，，所以圖像的對稱軸方程為，令，則，D正確；令，，解得，，令，則且，故B正確.故選：ABD【點睛】本題考查三角函數圖像求解析式，三角函數的對稱軸，對稱中心等，考查運算求解能力，是中檔題.解題的過程中，需要注意形如，，，的求解通常采用待定系數法求解.6．已知函數的部分圖像如圖所示，則下列關于函數的說法中正確的是（）A．函數最靠近原點的零點為B．函數的圖像在軸上的截距為C．函數是偶函數D．函數在上單調遞增【答案】ABC【分析】首先根據圖象求函數的解析式，利用零點，以及函數的性質，整體代入的方法判斷選項.【詳解】根據函數的部分圖像知，，設的最小正周期為，則，∴，．∵，且，∴，故．令，得，，即，，因此函數最靠近原點的零點為，故A正確；由，因此函數的圖像在軸上的截距為，故B正確；由，因此函數是偶函數，故C正確；令，，得，，此時函數單調遞增，于是函數在上單調遞增，在上單調遞減，故D不正確．故選：ABC．【點睛】思路點睛：本題考查的解析式和性質的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數性質：（1）對于函數，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此判斷直線或點是否是函數的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數的單調區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證此區(qū)間是否是函數的增或減區(qū)間.7．將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A．B．是函數圖象的一個對稱中心C．函數在上單調遞增D．函數在上的值域是【答案】BC【分析】首先求得函數，再根據選項，整體代入，判斷函數的性質.【詳解】，，故A錯誤；，故B正確；時，，所以函數在上單調遞增，故C正確；時，，當時，函數取得最小值-1，當時，函數取得最大值，所以函數的值域是.故選：BC【點睛】思路點睛：本題考查的解析式和性質的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數性質：（1）對于函數，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此判斷直線或點是否是函數的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數的單調區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證此區(qū)間是否是函數的增或減區(qū)間.8．設、是函數的圖象與直線的交點，若、兩點距離的最小值為，是該函數圖象上的一個點，則下列說法正確的是（）A．該函數圖象的一個對稱中心是B．該函數圖象的對稱軸方程是，C．在上單調遞增D．【答案】ABD【分析】根據函數的基本性質求出函數的解析式，可判斷D選項的正誤，利用余弦型函數的對稱性可判斷AB選項的正誤，利用余弦型函數的單調性可判斷C選項的正誤.【詳解】因為、是函數的圖象與直線的交點，若、兩點距離的最小值為，則函數的最小正周期為，，所以，，將點的坐標代入函數的解析式，可得，則.，，則，，，D選項正確；對于A選項，，A選項正確；對于B選項，由，解得，所以，函數的圖象的對稱軸方程是，，B選項正確；對于C選項，當時，，所以，函數在區(qū)間上不單調，C選項錯誤.故選：ABD.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數的單調區(qū)間時，首先化簡成或形式，再求或的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入或的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數．9．已知函數，則下列結論中正確的是（）A．的圖象是由y=2sin2的圖象向左移個單位得到的B．在上單調遞增C．的對稱中心的坐標是D．函數在內共有個零點【答案】BCD【分析】A.化簡得，利用函數的圖象變換得該選項錯誤；B.利用復合函數的單調性原理分析得該選項正確；C.由得該選項正確；D.解方程得該選項正確.【詳解】，把的圖象向左平移個單位，得到，所以選項不正確;設，則在上單調增，,又在上單調遞增，在上單調遞增，所以選項B正確;由得對稱中心為，所以選項C正確；由得或解得或，又時，，共個零點，所以選項D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：函數的零點問題的研究，常用的方法有：（1）方程法（解方程即得解）；（2）圖象法（直接畫出函數的圖象得解）；（3）方程+圖象法（令得，再分析函數的圖象得解）.要根據已知條件靈活選擇方程求解.10．已知函數，則（）A．函數的最小正周期為 B．的圖像關于直線對稱C．的圖象關于點對稱 D．在區(qū)間上有兩個零點【答案】ABD【分析】借助于的圖像及y=sinx的性質，對ABCD四個選項一一驗證：對于A：利用求周期；對于B：利用圖像觀察，也可以根據判斷；對于C：利用圖像觀察，也可以根據否定結論；對于D：利用圖像觀察，可以得到在區(qū)間上有兩個零