第1頁/共1頁山西省運城市三晉卓越聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量X的分布列為51015則（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)有，可求的值.【詳解】由分布列的性質(zhì)，得，即，解得或，當(dāng)時，，不符合分布列的性質(zhì)，所以.故選：C.2.已知隨機變量，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性，列式計算即得.【詳解】由，得.故選：D3.已知的展開式的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中的系數(shù)為（）A.－32 B.32. C.－16 D.16【答案】C【解析】【分析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)二項展開式通項公式求解．【詳解】的展開式的二項式系數(shù)之和為，所以，所以的二項展開式的通項為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.4.已知變量與的數(shù)據(jù)如下表所示，若關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程是，則表中（）1234510111315A.11 B.12 C.12.5 D.13【答案】A【解析】【分析】利用樣本中心點求解即可.【詳解】，因為經(jīng)驗回歸方程經(jīng)過樣本中心，所以，解得故選：A.5.已知隨機變量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二項分布的期望和方差公式，解出，由二項分布的概率公式求.【詳解】隨機變量，則有，由，解得，所以.故選：.6.已知分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交于兩點，若的最大值為8，則的離心率為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】橢圓定義有，結(jié)合已知確定的最小值，即可求解.【詳解】由橢圓的定義，可知，所以當(dāng)最小時，最大，由橢圓的性質(zhì)得，過橢圓焦點的弦中垂直于長軸的弦最短，當(dāng)直線AB垂直于軸時，取得最小值，此時，由解得，此時的離心率.故選：A.7.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求出，求出，求出即可求解.【詳解】因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，因為對恒成立，所以，所以的最小值是1.故選：B.8.將7名身高不同的學(xué)生從左往右排成一列，記第名學(xué)生的身高為，當(dāng)時，由于學(xué)生的身高變化像字母，所以也叫“數(shù)列”，則滿足條件的“數(shù)列”共有（）A.61個 B.65個 C.68個 D.71個【答案】D【解析】【分析】記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，依題意可得只能為，或，分三種情況討論，分別求出相應(yīng)的“數(shù)列”個數(shù)，最后按照分類加法計數(shù)原理計算可得.【詳解】記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，因為都比大，所以只能為，或.當(dāng)時，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個數(shù)作為，共有個“數(shù)列”；當(dāng)時，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，剩余兩個數(shù)排，有種選法，共有個“數(shù)列”；當(dāng)時，，從4，5，6，7中選2個數(shù)作為有種選法，剩余2個數(shù)為，共有6個“數(shù)列”.綜上所述，滿足條件的“數(shù)列”共有個.故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則（）A.公差 B. C. D.時，最小【答案】AD【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)有，可得公差的符號和數(shù)列中項的正負(fù)，判斷選項即可.【詳解】是等差數(shù)列的前項和，設(shè)公差為，，即，得，所以，即，有，因為，所以，所以，故A正確，B錯誤；，故錯誤；時，時，所以當(dāng)時，取得最小值，故D正確.故選：AD10.某學(xué)校為迎接校園藝術(shù)節(jié)的到來，決定舉行文藝晚會，節(jié)目單中有共7個節(jié)目，則下列結(jié)論正確的是（）A.若節(jié)目與節(jié)目相鄰，則共有1440種不同的安排方法B.若節(jié)目與節(jié)目不相鄰，則共有3600種不同的安排方法C.若節(jié)目在節(jié)目之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法D.若決定在已經(jīng)排好的節(jié)目單中臨時添加3個節(jié)目，現(xiàn)有節(jié)目次序不變，則共有336種不同的安排方法【答案】ABC【解析】【分析】利用捆綁法，插空法等求得每個選項的排列數(shù)可判斷其正確性.【詳解】若節(jié)目與節(jié)目相鄰，共有種不同的安排方法，故正確；若節(jié)目與節(jié)目不相鄰，共有種不同安排方法，故B正確；因為節(jié)目在節(jié)目之前表演與節(jié)目在節(jié)目之前表演的情況是一樣的，所以共有種不同的安排方法，故C正確；添加第一個節(jié)目有8種情況，添加第二個節(jié)目有9種情況，添加第三個節(jié)目有10種情況，共有種不同的安排方法，故D錯誤.故選：.11.若關(guān)于的方程恰有三個不同的正實數(shù)根，則實數(shù)的值可能是（）A.7 B. C.8 D.9【答案】CD【解析】【分析】由題意整理可得，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性和最值，令，分析和兩種情況，可得，令，關(guān)于的方程在內(nèi)有實根，利用切線法分析求解.【詳解】由題意可知：，可得，因為，可變形為，令，可得，因為的定義域為，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.令，則，當(dāng)時，，所以是方程的一個正實數(shù)根；當(dāng)時，令且1，可得，則，兩式相減可得，兩式相加可得，則，整理得，令，可得，即關(guān)于的方程在內(nèi)有實根，令，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知函數(shù)與在內(nèi)有交點，由圖象可知，即，可得，則，即，所以實數(shù)的取值范圍是，對比選項可知：AB錯誤，CD正確.故選：CD.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象之間的交點情況進而求解．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價才可以獲得最大利潤，現(xiàn)對這種遮陽帽進行試銷售，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)銷售量（單位:頂）與單價（單位:元）具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為，若想要銷售量為80頂，則預(yù)計該遮陽帽的單價定為_____________元.【答案】40【解析】【分析】線性回歸方程中，當(dāng)，求的值.【詳解】若銷售量為80頂，則，解得，所以預(yù)計單價應(yīng)定為40元.故答案為：4013.已知函數(shù)，點A是的圖象上任意一點，過點A且垂直于軸的直線交函數(shù)的圖象于點，過點A且垂直于軸的直線交函數(shù)的圖象于點，則的面積的最小值是_____________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，寫出坐標(biāo)后，求出面積，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值．【詳解】由題意可知，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，不妨設(shè)，則，則，所以的面積，令，則，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的面積的最小值為.故答案為：2.14.若三點在拋物線上，拋物線的焦點是的重心，則的最大值是____________.【答案】10【解析】【分析】設(shè)，然后根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及焦半徑公式計算即可.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)，則，所以，又，所以當(dāng)，即點為坐標(biāo)原點時，取得最大值10.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年3月28日，小米SU7汽車上市，24小時預(yù)定88898臺.小米集團為了了解小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲是否有關(guān)，隨機抽取了200名小米手機用戶進行調(diào)查，得到下表.已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計是小米粉絲80非小米粉絲4080總計（1）補全表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，是否能夠認(rèn)為小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲有關(guān)?（2）小米集團打算從已訂購小米SU7的用戶中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取6人，再從這6人中抽取3人聽取建議，求這3人中恰有2人是小米粉絲的概率.附:，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）沒有關(guān)聯(lián)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計算后與臨界值比較可得；（2）根據(jù)分層抽樣確定粉絲和非粉絲的人數(shù)，再根據(jù)概率公式計算概率．【小問1詳解】已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計是小米粉絲8040120非小米粉絲404080總計12080200零假設(shè)為:小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即能夠認(rèn)為小米手機用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關(guān)聯(lián)；【小問2詳解】從已訂購小米SU7的用戶中按比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取6人，其中小米粉絲有人，非小米粉絲有人.設(shè)3人中恰有2人是小米粉絲為事件，則．16.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動點，是棱AB上的一點，且.（1）求證:;（2）若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）是棱PD的中點.【解析】【分析】（1）首先利用垂直關(guān)系證明互相垂直，再以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證明線線垂直；（2）首先求平面的法向量，再利用線面角的向量公式，建立方程，即可求解.【小問1詳解】證明：因，所以，所以，因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，因為四邊形是矩形，所以，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，因為所以，即；【小問2詳解】由（1），得設(shè)為平面的法向量，則，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，因為，所以，即是棱PD的中點.17.為了迎接即將到來的生物實驗操作考試，小李同學(xué)每天都要去實驗室做兩次實驗.某天，他來到實驗室，決定做實驗或?qū)嶒灒阎±钔瑢W(xué)做實驗成功的概率為，做實驗成功的概率為，假設(shè)每次做實驗是否成功相互獨立.（1）小李每次都隨機等可能的從實驗與實驗中選擇一個實驗進行操作，求他兩次實驗恰好成功一次的概率；（2）小李同學(xué)決定進行2次實驗操作，有以下兩種方案，方案一:第一次實驗，小李隨機等可能的選擇實驗或?qū)嶒炛械囊环N，若第一次實驗成功，則第二次繼續(xù)做第一次的實驗，若第一次實驗不成功，則第二次做另一個實驗；方案二:第一次實驗，小李隨機等可能的選擇實驗或?qū)嶒炛械囊环N，無論第一次實驗是否成功，第二次都繼續(xù)做第一次的實驗.若方案選擇以及實驗操作互不影響，以實驗成功次數(shù)的期望值作為決策依據(jù)，你認(rèn)為哪個方案更好?【答案】（1）（2）方案一略好【解析】【分析】（1）記選擇實驗為事件，選擇實驗為事件，實驗成功為事件，利用全概率公式求出，再由獨立重復(fù)試驗的概率公式計算可得；（2）記和分別是方案一與方案二中實驗成功的次數(shù)，則、的取值均為，，，求出相應(yīng)的概率，計算出期望，即可判斷.【小問1詳解】記選擇實驗為事件，選擇實驗為事件，實驗成功為事件，則所以.所以兩次實驗恰好成功一次的概率.【小問2詳解】記和分別是方案一與方案二中實驗成功的次數(shù)，則、的取值均為，，，所以，，，所以.，，，所以.因為，所以方案一略好.18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，是上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.（1）求雙曲線的方程;（2）已知過點的直線交于兩點（異于A，B），直線與直線交于點.求證:點在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由可求，利用兩點斜率公式表示，由條件列方程求，由此可得雙曲線方程；（2）設(shè)的方程為，，利用設(shè)而不求法可得，求直線直線與直線的交點坐標(biāo)，由此證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，因為，所以.設(shè)，則，所以，又，所以.所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】若直線的斜率為，則直線與雙曲線交于點，與條件矛盾，所以直線的斜率不能為0，設(shè)的方程為.聯(lián)立，化簡得所以，所以，，直線AD的方程為，直線BE的方程為.聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以.所以點的橫坐標(biāo)始終為1，故點在定直線上.【點睛】方法點睛：（1）解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19.我們學(xué)過二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設(shè)一組獨立的伯努利試驗，每次試驗中事件發(fā)生的概率為，將試驗進行至事件發(fā)生次為止，用表示試驗次數(shù)，則服從負(fù)二項分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結(jié)構(gòu)，落實積極應(yīng)對人口老齡化國家戰(zhàn)略，保持中國的人口資源優(yōu)勢，我國自2