專題02三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【知能解讀02】函數(shù)y=Asin(wx+φ)03破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。重難【重難點(diǎn)突破01】三角函數(shù)的圖象【重難點(diǎn)突破02】根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式【重難點(diǎn)突破03】三角函數(shù)的周期性【重難點(diǎn)突破04】三角函數(shù)的單調(diào)性【重難點(diǎn)突破05】三角函數(shù)的最值與值域【重難點(diǎn)突破06】三角函數(shù)的零點(diǎn)問題【重難點(diǎn)突破07】三角函數(shù)的極值點(diǎn)問題04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。【易混易錯(cuò)01】利用圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)選點(diǎn)不當(dāng)【易混易錯(cuò)02】函數(shù)圖象平移、伸縮變換法則掌握不牢【易混易錯(cuò)03】單調(diào)性概念理解不準(zhǔn)確05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】"w"的求解【方法技巧02】整體代入法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對稱軸和對稱中心【方法技巧03】代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心【方法技巧04】圖像法求三角函數(shù)最值或值域【方法技巧05】換元法求三角函數(shù)最值或值域【方法技巧06】利用三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性求參數(shù)值【方法技巧07】五點(diǎn)法求三角函數(shù)解析式【方法技巧08】利用圖像平移求函數(shù)解析式或參數(shù)值理思維導(dǎo)圖r輛a1-+2i,arnkZ)上網(wǎng)；4+knikez時(shí)_-12244所十十 平 平y(tǒng)性的的1.正弦/余弦函數(shù)的圖象2.五點(diǎn)法作正弦函數(shù)的圖像周期函數(shù)4.函數(shù)的周期性最小正周期5.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)6.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)的圖像的影響3.探索A對函數(shù)-tùfct)(nx+)的圖像的影響數(shù)R54>0且a>0時(shí)，將四+◎視為一個(gè)胳體，Eyssir或絲SeknkeZ時(shí)為灣湯數(shù)，Mpsknkez時(shí)為調(diào)的西；1.正弦函數(shù)的圖象1.正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線函數(shù)圖象22由誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致.因此將函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個(gè)單位長度),正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.1.作正弦函數(shù)的圖象時(shí)，自變量的取值要用弧度制，以保證自變量的取值與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)。2.不能說函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象就是正弦曲線，它是正弦曲線的一部分.在精確度要求不高時(shí)，常常先找出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的1.關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)可以分為兩類記憶：1)圖象與x軸的交點(diǎn)：(0,0),(π,0),(2π,0);2)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)2.五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)最后要用平滑的曲線連接，而不能用折線連接。3.被這五個(gè)點(diǎn)分隔的區(qū)間上函數(shù)值變化情況，在x=0,π,2π附近函數(shù)值增加或下降快一些，曲線“陡”一些，在附近，函數(shù)值變化慢一些，曲線變得”平緩".A.7B.6【知識點(diǎn)】五點(diǎn)法畫余弦(型)函數(shù)的圖象由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè).【真題實(shí)戰(zhàn)2】(2025-河南鄭州·二模)函數(shù).與函數(shù)g(x)=log?x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3【知識點(diǎn)】函數(shù)圖象的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、五點(diǎn)法畫正弦(型)函數(shù)的圖象【分析】利用五點(diǎn)法作出三角型函數(shù)圖象，再用兩點(diǎn)法作出對數(shù)函數(shù)圖象，即可通過圖象觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】通過五點(diǎn)法作出周期函數(shù)f(x)的圖象，再通過兩點(diǎn)法(1,0),(4,2)作出單調(diào)函數(shù)g(x)=log?x的圖象，因?yàn)?所以通過圖象可判斷它們有3個(gè)交點(diǎn)，故選：A.3.余弦函數(shù)的圖象3.余弦函數(shù)的圖象將正弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可以得到余弦函數(shù)的圖象Ⅱ2平4.函數(shù)的周期性余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象叫做余弦曲線.它是與正弦曲線具有相同形狀，但位置不同的"波浪起伏"的連續(xù)光滑曲線.4.函數(shù)的周期性知識延伸類似于正弦函數(shù)圖象的作法，要作出y=coSx在[0,2π]上的圖象，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是(0,,(2π,1).描出這五個(gè)點(diǎn)，然后用光滑的曲線連接就得到了y=cosx在的圖象.(1)周期函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對每一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.今后本書中所涉及的周期，如果不加特別說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期。(3)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，周期都是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期都是2π.(4)函數(shù)y=Asin(wx+4)及y=Acos(wx+φ)(其中A,w,φ為常數(shù)，且A≠0,w>0,x∈R)的最小正周期為T=2數(shù)都存在最小正周期，如常數(shù)函數(shù)f(x)=c(C為常數(shù))沒有最小正周期.函數(shù)定義域RR在Z)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減x=2kπ(k∈Z)時(shí)，yma=1;x=π+2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin=-1對稱軸：直線x=kπ,k∈Z;【真題實(shí)戰(zhàn)1】(2025·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測)如圖，A,B是直線與函數(shù)f(x)=cos(wx+φ)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，若|,則f(π)=()【答案】D【知識點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值、由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式,利用【分析】設(shè)求出φ,得到f(x),再求f(π),利用【分析】設(shè)求出φ,得到f(x),再求f(π)即可.,,;得得得所以,k∈Z,當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，所以由圖知f(0)<0,而所以不符合題意；當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，由圖知，f(0)<0,所以符合題意，所以綜上，在(0,π)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極值點(diǎn)，則①的取值范圍是()【答案】A【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用【分析】先求出整體角的范圍，根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)y=sint的圖象，即可確定的范圍，繼而求出①的取值范圍.【詳解】300作出函數(shù)y=sint在上的圖象，要使原函數(shù)在(0,π)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極值點(diǎn)，需使5.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正、余弦函數(shù)的周期是2kπ(k∈Z,k≠0),因此，只要記住它們在[0,2π]內(nèi)的圖象形狀，就可以1)兩相鄰對稱軸(對稱中心)之間的水平距離為半個(gè)周期；2)對稱軸與相鄰對稱中心之間的水平距離為個(gè)周期.3.對稱軸過最高點(diǎn)或最低點(diǎn).4.單調(diào)性與周期的關(guān)系：單調(diào)增區(qū)間(減區(qū)間)的長度占所在周期的一半，反之不成立.【真題實(shí)戰(zhàn)1】(2025北京·三模)已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,則函數(shù)g(x)=[f(x)]2()【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦(型)函數(shù)的最小正周期、求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】先利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式化簡函數(shù)g(x)=1+sin2x,,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算【詳解】函數(shù)f(x)=sinx+cosx,則函數(shù)g(x)=[f(x)]2=(sinx+cosx)2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x對于B,因?yàn)?,∴2x∈(-π,對于C,根據(jù)周期公式C錯(cuò)誤；當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)g(x)=1+sin2x對稱中心為(0,1),D正確；取值范圍為【知識點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【分析】在指定區(qū)間內(nèi)求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性列式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，,依題意，,@>0,解得所以①的取值范圍為.故答案為：6.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)6.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)定義域R22y0TT22最小正周期π奇函數(shù)(k=Z上單調(diào)遞增;沒有對稱軸1.y=tanx無單調(diào)遞減區(qū)間.2.y=tanx在每段開區(qū)間k∈Z內(nèi)單調(diào)遞增，不能寫成閉區(qū)間，也不能說在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增。3.直線,k∈Z為y=tanx的圖象的漸近線，y=tanx的圖象與直線,k∈Z無限接近，但不相交.【答案】2【知識點(diǎn)】求正切(型)函數(shù)的對稱中心【分析】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)的對稱性列式求出@的關(guān)系，進(jìn)而求出最小值.【詳解】由曲線的一個(gè)對稱中心為,得,k∈N,故答案為：2所以@的最小值為2.1.探索④對函數(shù)1.探索④對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像的影響函數(shù)y=sin(x+φ)φ≠0)的圖象可以看作是把正弦曲線y=sinx上的所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或個(gè)單位長度而得到的(可簡記為”左加右減").如圖：1.y=sin(x+φ)與y=sinx的圖象形狀是完全一樣的，y=sin(x+φ)的圖象可由y=sinx的圖2.左右平移是對X本身而言的，如果X前面有系數(shù)，那么應(yīng)提取系數(shù)，然后進(jìn)行左右平移.一般地，函數(shù)y=sin(wx+φ)(w>0,且w≠1)的周期是,把y的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)w>1時(shí))或伸長=sin(x+φ)圖象上所有點(diǎn)1.@(w>0)影響函數(shù)y=sin(wx+φ)的周期.2.y=sin(wx+φ)(w≠1)與y=sin(x+φ)的圖象形狀不同，此變換稱為橫向伸縮變3.推廣到一般：函數(shù)y=f(wx)(w>0)的圖象可以由函數(shù)f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(@>1)或伸長(0<w<1)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.從而，函數(shù)y=Asin(wx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.9知識剖析縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.途徑1先平移后伸縮途徑2先伸縮后平移各點(diǎn)向左或向右平移個(gè)單位長度y=sin(wx+φ)的圖像兩種途徑的區(qū)別這兩種途徑的關(guān)鍵差別在”相位變換”這一步驟上，其實(shí)質(zhì)是要看自變量X的變化情況.第一種途徑，在相位變換這一步中是由X變到x+4,故應(yīng)為“將函數(shù)y=sin有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移lφl個(gè)單位長度得到函數(shù)y=sin(x+φ)(x∈R)的圖象";第二種途徑，在相位變換這一步中是由wx變到,實(shí)質(zhì)是X變到,故應(yīng)為“將函數(shù)y=sinwx(x∈R)的圖象上所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移個(gè)單位長度得到函數(shù)y=sin(wx+φ)(x∈R)的圖象”.且f(x)在上單調(diào)遞增，則下列選項(xiàng)中不正確的是()B.為奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)圖像向左平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來的得到函數(shù)g(x)【知識點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦(型)函數(shù)的最小正周期、求圖象變化前(后)的解析式【分析】由題意先求@,再逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)閷θ我鈞∈R,恒有.,所以為f(x)的一條對稱軸，由為奇函數(shù)，故B正確；由函數(shù)f(x)圖像向左平移,再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來的得到函數(shù)5.函數(shù)5.函數(shù)y=Asin(wx+φ)和y=Acos(wx+φ)(A≠0,w≠0)的性質(zhì)函數(shù)定義域RR單調(diào)性當(dāng)A>0且w>0時(shí)，將wx+φ視為一個(gè)整體，利用y=sinx或y=cosx奇偶性當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；將wx+φ視為一個(gè)整體，利用y=sinx或y=cosx圖象的對稱軸、對稱中心函數(shù)y=Asin(wx+φ)(A≠0,w≠0)圖象的對稱問題1.過函數(shù)圖象中的波峰或波谷且與X軸垂直的直線為圖象的對稱軸.2.函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)是圖象的對稱中心，即平衡位置點(diǎn).區(qū)間上單調(diào)遞增，且是圖象的對稱軸，再從下面給出的條件①、中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)f(x)存在，并求解下列問題.條件②:當(dāng)時(shí)，f(x)取到最小值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求【知識點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)、二倍角的余弦公式、三角恒【分析】(1)借助二倍角公式化簡f(x),根據(jù)不成立說明不能選擇條件①.若選條件②或③,結(jié)合函數(shù)的對稱性及特殊點(diǎn)的函數(shù)值可得結(jié)果.(2)結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】(1)由題意得，f(x)=sin2oxcosφ+2cos2oxsinφ-sinφ=sin2oxcosφ+(2=sin2wxcosφ+cos2wxsinφ=sin(2wx+φ).若選條件①:因?yàn)槭莊(x)圖象的對稱軸，所以,不可能滿足因?yàn)?所以w=1,因?yàn)?所以若選條件③:因?yàn)閒(x)在區(qū)間上單調(diào)遞因?yàn)?所以w=1,所以f(x)=sin(2x+),故因?yàn)?所以(2)由(1)知，因?yàn)?所以所以,解得故實(shí)數(shù)m的最大值為破重點(diǎn)難點(diǎn)由由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)的圖象的方法：變換方法一1.畫出y=sinx的圖象2.向左(右)平移|φ|個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象3.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin(wx+φ)的圖象4.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=Asin(wx+φ)的圖象變換方法二1.畫出y=sinx的圖象2.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sinwx的圖象3.向左(右)平移個(gè)單位長度，得到y(tǒng)=sin(wx+4)的圖象4.縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=Asin(wx+φ)的圖象兩種方法核心都是通過”平移、伸縮"變換，依據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，分步實(shí)現(xiàn)從y=sinx到y(tǒng)=Asin(wx+φ)的圖象推導(dǎo)，實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)w,φ等參數(shù)特點(diǎn)靈活選擇。長度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對稱，則W【答案】【分析】將平移后的圖象解析式寫出來，利用圖象關(guān)于y軸對稱，從而當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取最值，得到化簡為即可求出@的最小值.【詳解】記曲線C對應(yīng)的函數(shù)為g(x),則因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以(k∈Z),得因?yàn)閣>0,所以の的最小值為故答案為：【典例2】(2025·江蘇南通·三模)已知函,將f(x)的圖象向左平移θ(θ>0)個(gè)單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則θ的最小值為()【答案】C【分析】利用三角恒等變換化簡f(x),根據(jù)圖象變換求出g(x)的解析式，進(jìn)而根據(jù)f(-x)=g(x)即可代入化簡得)求解.【詳解】因?yàn)?θ>0,所以θ的最小值為【典例3】(2025·山東·二模)將函數(shù)f(x8(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則|φ的最小值為()【答案】B【分析】首先用到函數(shù)圖象平移的規(guī)律，求出g(x)的表達(dá)式.然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，則g(x)在x=0處取得對稱軸，由此可列出關(guān)于4的方程，進(jìn)而求出φl的最小值.重難點(diǎn)突破02根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式(2)@由最小正周期T確定，即由求出，T的值的判斷：(1)當(dāng)k=0時(shí)，相鄰的零點(diǎn)與極值點(diǎn)低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為(4)相鄰的兩個(gè)最的第一個(gè)點(diǎn)(x?,0)(初始點(diǎn))作為突破口，由"第一個(gè)點(diǎn)"(圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))可得等式@x?+4=2kπ(k∈Z);由"第三個(gè)點(diǎn)"(圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))可得等式wx?+4=π+2kπ(k∈Z)。再由已知條件中4的具體范圍確定相應(yīng)的4值.【典例1】(2025-福建泉州模擬)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，【分析】根據(jù)B、D點(diǎn)橫坐標(biāo)可確定周期得出@,再把D(5,0)代入可求⑨的值，利用BC·CD=0得到A即可求解.【詳解】由題干圖象可知?jiǎng)tT=12,所以,所以,解得A=2√10(負(fù)根舍去),【典例2】(2025·河北邢臺模擬)若函數(shù)(w>0)的部分圖象如圖所示，且OC=①(OA+OB),則f(x)的最小正周期為,f(x)在(0,100π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【分析】對于求函數(shù)y=Asin(wx+φ)的最小正周期T,有公式,我們需要根據(jù)已知條件求出@的值.再令y=0,即sin(@x+φ)=0,解出x,再根據(jù)區(qū)間確定個(gè)數(shù).令,得.,則因?yàn)镺C=①(OA+OB),所以解得所以,f(x)的最小正周期為所以f(x)在(0,100π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為350.故答案為：【典例3】(2025·黑龍江大慶模擬)函數(shù)y=f(x)的部分圖象如圖所示，已知,若其【答案】B【分析】利用圖象可得一條對稱軸，再利用圖象可得對應(yīng)相位的取值，再通過一個(gè)函數(shù)值，再結(jié)合圖象再得到對應(yīng)相位的取值，最后聯(lián)立可解得,從而問題得以解決.【詳解】由圖可得，是y=f(x)的一條對稱軸，所以則根據(jù)圖象可取,則根據(jù)圖象可取【典例4】(2025-安徽·階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=sin(wx+4){@>0,φ<2的部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則【答案】B【分析】根據(jù)圖象求出f(x)的解析式，再由圖象平移確定g(x)的解析式，進(jìn)而求函數(shù)值.【詳解】由圖知由則由題意故選：B重難點(diǎn)突破03三角函數(shù)的周期性核心方法：求三角函數(shù)周期的方法(2)公式法：y=Asin(wx+φ)和y=Acos(wx+φ)的最小正周期,y=tan(wx+φ)的最小正周期(3)圖象法：作出函數(shù)圖象，通過觀察圖象得到最小正周期.A.2πB.6π【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式即可求解.【詳解】函數(shù)的最小正周期【典例2】(多選)(2025·四川雅安·二模)已知函數(shù).下列說法正確的是()A.f(x)的最小正周期為B.f(x)的圖象關(guān)于直線對稱D.將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到g(x)的圖象，則g(x)=-sin3x【分析】對于A選項(xiàng)：用周期公式計(jì)算判斷.對于B選項(xiàng)：先求f(x)對稱軸方程，令解出,再看k取整數(shù)時(shí)能否得到,判對于C選項(xiàng)：先找出余弦函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)k=1時(shí)，該范圍包含|,判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A,在函數(shù).中，f(x)的最小正周期故選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B,對于余弦函數(shù)y=cosx,其對稱軸方程為x=kπ(k∈Z).令,解得).令,解得故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C,對于余弦函數(shù)y=cosx,其單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ一π≤x當(dāng)k=1時(shí)，,所以f(x)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確.(2)若時(shí)，f(x)的最小值為4,求m的值.(2)由已知找到f(x)取最小值為4時(shí)的x值，得到關(guān)于m的方程.【詳解】(1)(2)由時(shí)，解得m=5.核心方法：求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)求形如y=Asin(wx+φ)+k(w>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理"同增異減".①先觀察解析式，分清內(nèi)函數(shù)t=Wx+φ,外函數(shù)y=Asint+k,其中內(nèi)函數(shù)t=wx+4為增函數(shù)；減區(qū)間可通過求得；若A<0,增區(qū)間可通過注意兩者的不同之處.(2)在函數(shù)y=Asin(wx+φ)+k中，若w<0,則需要利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為y=-Asin(-wx-φ)+k,則y=Asin(-wx-φ)+k的增區(qū)間為原相應(yīng)函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原相應(yīng)函數(shù)的增區(qū)間.(3)對于函數(shù)y=Acos(wx+φ)+k和y=Atan(wx+φ)+k,其單調(diào)區(qū)間的討論與(1)(2)類似.的圖象，則下列結(jié)論正確的是()A.g(x)是奇函數(shù)B.g(x)的圖象關(guān)于直線對稱C.g(x)在上的值域?yàn)閇-2,4]D.g(x)在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】首先根據(jù)平移規(guī)律求函數(shù)g(x)的解析式，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，判斷A,利用代入法，判斷BCD.【詳解】由題意知.8(x)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤.≠±4.g(x)不關(guān)于直線對稱，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，,而y=cOSx在上不單調(diào)，【典例2】(2025·云南昆明·一模)下列函數(shù)中，最小正周期為π,且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A.y=|sinx|B.y=cosxC.y=tanx【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)對選項(xiàng)中的函數(shù)周期、單調(diào)性逐一判斷可得結(jié)論.【詳解】對于A,易知y=|sinx|的最小正周期為π,但在區(qū)間上單調(diào)遞減，即A錯(cuò)誤；對于B,易知y=coSx的最小正周期為2π,所以B錯(cuò)誤；對于C,y=tanx的最小正周期為π,且在區(qū)間上單調(diào)遞增，即C正確；對于D,顯然的最小正周期為4π,即D錯(cuò)誤.故選：C【典例3】(2025·陜西安康·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=asinbx-cosbx(a>0,b>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且.若將f(x)的圖象向左平移φφ>0)個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值為()于y軸對稱，得到k?∈Z,從而求得⑨的最小值.【詳解】由題意，知f(x)=asinbx-cosbx=√a2+1sin(bx+θ),其中!因?yàn)閒(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以為f(x)圖象的一條對稱軸，所以,k∈Z.所以.將f(x)的圖象向左平移φφ>0)個(gè)單位長度后，得到的圖象.由f(x+φ)的圖象關(guān)于y軸對稱，得,k?∈Z,所以,k?∈Z,所以4的最小值為【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，然后列不等式，按照k>0、k討論求解.即且且a>0,若k=0,則則a的最大值為8故答案為：重難點(diǎn)突破05三角函數(shù)的最值與值域求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型：(1)形如y=Asin(wx+φ)的函數(shù)，使用換元法，設(shè)t=wx+φ,根據(jù)X的范圍確定t的范圍，然后(2)形如y=asinwx+bcoswx+C的函數(shù)，化為y=Asin(wx+φ)+C的形式，此時(shí)可設(shè)t=Wx+φ,而得到值域(最值)。(3)形如y=f(sinx)的函數(shù)，即y=f(t)與t=sinx的復(fù)合函數(shù)，通常可先將解析式化簡為一個(gè)角再求出值域即可，如求形如函數(shù)y=asin2x+bsinx+c的值域(最值)。(4)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】若則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即M=1,所以故選：B【答案】B【分析】利用平移思想，結(jié)合正切函數(shù)平移·都是奇函數(shù)，可得の的取值可能，從而可得最小值.因?yàn)閣>0,所以①的最小值是1,【典例3】(2025·四川三模)將函數(shù)的圖象向右平移a個(gè)單位長度(a為常數(shù)，且0<a<2),得到函數(shù)的圖象，若f(x)在區(qū)間(m,n)(0<m<n<π)上單調(diào)遞增，g(x)在區(qū)間(m,n)上【答案】C【分析】平移調(diào)區(qū)間，可得【詳解】將函數(shù)得,結(jié)合誘導(dǎo)公式得.分別求f(x)、g(x)單|由此可求得最大值.的圖象向右平移a(0<a<2)個(gè)單位長度，得到的因?yàn)閒(x)在區(qū)間(m,n)(0<m<n<π)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)k=0時(shí)，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,所以則關(guān)于實(shí)數(shù)a的取值，以下不可能的是().A.2024B.2025C.2026D.2027對于A,若a=2024,當(dāng)k=169時(shí)，最大值點(diǎn)為2026,最小時(shí)，最大值點(diǎn)為2026,最小值點(diǎn)為2032,此時(shí)位于區(qū)間[2025,2034]內(nèi)，時(shí)，最大值點(diǎn)為2026,最小值點(diǎn)為2032,此時(shí)位于區(qū)間[2026,2035]內(nèi)，故C正確；對于D,若a=2027,時(shí)，最大值點(diǎn)為2026,當(dāng)k=170時(shí)，最大值點(diǎn)為2038,此時(shí)不位于區(qū)間[2027,2036]內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：D重難點(diǎn)突破06三角函數(shù)的零點(diǎn)問題求三角函數(shù)的零點(diǎn)問題的三種方法：1.利用三角函數(shù)圖象步驟：先將三角函數(shù)化為y=Asin(wx+4)+B(或余弦、正切等形式)的標(biāo)準(zhǔn)式，確定其振幅A、周期(正切函數(shù)周期、相位Wx+4等特征，畫出函數(shù)大致圖象，根據(jù)圖象與X軸交點(diǎn)確定零點(diǎn)。2.利用三角函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化方程步驟：對于y=Asin(wx+φ)+B,令y=0,(余弦、正切類似),然后利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性等性質(zhì)求解x。先確定Wx+φ的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)y=sint(t=wx+φ)的圖象與性質(zhì)，求解t,進(jìn)而得到x。3.結(jié)合導(dǎo)數(shù)(針對涉及極限、切線斜率等情況)步驟：導(dǎo)數(shù)的定義為所以典例1中B選項(xiàng)就是求。先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=Awcos(wx+φ),再代入計(jì)算。這需要先根據(jù)函數(shù)圖象求出f(x)的【典例1】(多選)(2025-浙江·二模)已知函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)+B(A>0,w>0,的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是()C.函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對稱中心D.函數(shù)f(x)在x∈(0,a)上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【分析】對于A,首先求得f(x)=2sin(2x+φ)+1,由結(jié)合求出⑨即可判斷；對于B,求導(dǎo)代入即可判斷；對于C,由對稱中心的縱坐標(biāo)為1即可判斷；對于D,通過換元法即可判斷.【詳解】對于A,由圖可知，所以f(x)=2sin(2x+φ)+1,解得又因?yàn)?所以只能,k=0,對于B,對求導(dǎo)得對于C,的對稱中心的縱坐標(biāo)應(yīng)該是2×0+1=1,故不是函數(shù)f(x)的對稱中心，故C錯(cuò)誤；對于D,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x∈(0,a)上恰有5個(gè)零點(diǎn)，【答案】3得出答案.【詳解】根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與y?=log?x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，x=5時(shí)，函數(shù)x=5時(shí)，函數(shù)取最大值x=4√2時(shí)函數(shù)y=log?x的值為又因?yàn)?<4√2<6,結(jié)合圖象可知，兩函數(shù)圖象具有3個(gè)交點(diǎn).所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè).故答案為：3.【典例3】(多選)(2025-江西·模擬預(yù)測)已知f(x)=sinx+cosx,則()D.在(-2π,2π)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】由三角恒等變換化簡即可判斷AB,由平移變換得和求出零點(diǎn)即可判斷CD.【詳解】對于A,由,顯然不恒等于f(x),即π不是f(x)的周期，故A錯(cuò)誤；則由sinx=0可得x=—π,0,π,即零點(diǎn)有3個(gè)，故C正確；則由cosx=0有.,即零點(diǎn)有4個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.重難點(diǎn)突破07三角函數(shù)的極值點(diǎn)問題三角函數(shù)用導(dǎo)數(shù)確定極值點(diǎn)的解題步驟三角函數(shù)用導(dǎo)數(shù)確定極值點(diǎn)的解題步驟1.求導(dǎo)化簡：根據(jù)求導(dǎo)公式((sinx)'=cosx,(cosx)=-sinx,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則并利用三角恒等變換(如二倍角、兩角和差公式)化簡導(dǎo)數(shù)表達(dá)式.2.找導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)：令f'(x)=0,求解方程的根x=x?(即可能的極值點(diǎn)).3.判斷極值類型：若在x?左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則x?是極大值點(diǎn)；若在x?左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則x?是極小值點(diǎn).4.求極值：將極值點(diǎn)x?代入原函數(shù)f(x),計(jì)算f(x。)即為極值.【典例1】(2025-河北·模擬預(yù)測)函數(shù)在區(qū)間(0,2π)上所有極值點(diǎn)的和為()A.2πB.3πC.4π【答案】C【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)為0得再根據(jù)余弦值相等的角的關(guān)系求得x的值，利用二階導(dǎo)驗(yàn)證所求x是否都是極值點(diǎn)，再加和即可得解.①對于當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)符合題意.②對于k=1,2,3時(shí)符合題意，此時(shí)是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).【典例2】(2025-湖南長沙·三模)已知函(@>增，且圓x2+y2=r2(r>0)解析式，由圖像得到距離最大和距離最小的點(diǎn)，則可以求出半徑的范圍.【詳解】由已知f(x)在x=2處取得最小值，,解得由圖像知y軸右側(cè)包含兩個(gè)極值對應(yīng)的點(diǎn)，左側(cè)包含一個(gè)極值對應(yīng)的點(diǎn)，∴r的取值范圍是大于原點(diǎn)右側(cè)第二個(gè)極值對應(yīng)的點(diǎn)(2,-1)到原點(diǎn)的距離，小【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與三角函數(shù)有界性分段討論f'(x)的符號，由此得函數(shù)f(x)的單調(diào)性結(jié)合(1)結(jié)論可證.【詳解】(1)所以設(shè),則且e<1,,則g'(x)<0,故存在,使得g(x?)=0,即f'(x?)=0,即e?+sinx+cosx-ax-2≥0(a∈R).令h(x)=e-sinx+cosx-2,h'(x)=e-cosx-sinx=又f(-π)=e?"+1>0,且f(O)=0,(2)代入化簡得到2sinθ=3cosθ,得到1,再利用二倍角公式，化弦為切，代入求值.【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=2√3sinoxcos@x-2cos2ox+2=√3sin2wx-cos2@x+1由題意得f(x)的最小正周期為π,w>0,所以,即w=1,由y=sinx的單調(diào)減區(qū)間可知：,解得所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為易混易錯(cuò)01利用圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)選點(diǎn)不當(dāng)在利用圖象求三角函數(shù)的解析式時(shí)，選點(diǎn)不當(dāng)是一個(gè)常見的易錯(cuò)點(diǎn)。為了避免優(yōu)先選擇圖象上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，若無法選取最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，則選取函數(shù)零點(diǎn)求解，此時(shí)務(wù)必注意零點(diǎn)所在的單調(diào)區(qū)間，如果忽視其所在的單調(diào)區(qū)間，直接根據(jù)公式求φ,則容易錯(cuò)選.【分析】根據(jù)振幅可確定A,根據(jù)周期可確定@,進(jìn)而根據(jù)最高點(diǎn)2確定t【典例2】(多選)(2025-湖北·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)的部分圖象如圖所示，則()【分析】由正弦函數(shù)圖象求正弦函數(shù)解析式的方法可判斷A;利用三角函數(shù)的圖象變換可判斷B;根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心的求法可判斷C;利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A:由圖知A=2,所以w=2,f(x)過點(diǎn),所以將f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得對于C:由A知.,所以則t,t?∈(0,π),因?yàn)閒(x)=f(x?)(x≠x?),所以,故D正確.故選：AD.B,C是直線y=m(m>0)與函數(shù)f(x)圖象的從左至右相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且A.1B.√2【答案】B【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)得出f(x)的周期，求出@的值，再根據(jù)題意代入自變量求解【詳解】由題意可得所以最小正周期T=4π,所以,解得所以,由圖象過點(diǎn),所以所以所以所以因?yàn)锳,B,C是直線y=m(m>0)與函數(shù)f(x)圖象的從左至右相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且故答案為：B.×易錯(cuò)警示三角函數(shù)圖象平移時(shí)，確定平移方向和單位長度遵循以下核心規(guī)保證X的系數(shù)為1,此時(shí)平移單位為質(zhì)是根據(jù)y=Asin(wx+φ)與y=Asinwx(或y=Asinx)的關(guān)系，通過調(diào)整X的取值，實(shí)現(xiàn)圖象在水平方向的移動，平移方向由”加“(左)或”減”(右)決定，單位長度由確定。下平移則函數(shù)值減平移量，平移方向和單位長度直觀對應(yīng)“加”“減”及所加減的數(shù)值。【分析】先根據(jù)平移得出函數(shù)g(x)的解析式，再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且0<φ<π即可求出.【詳解】函數(shù)f(x)=sin(3x+φ因?yàn)間(x)是奇函數(shù)，所以又因?yàn)?<φ<π,所以【分析】首先根據(jù)變換規(guī)律得到圖象變換后的函數(shù)解析式，再結(jié)合偶函數(shù)的特征，列式求解.【詳解】將f(x)圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來倍，得y=sin(2x-φ)又因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以,k?Z,當(dāng)k=1時(shí)，象關(guān)于V軸對稱，則@的值可以為()【答案】B【分析】利用三角函數(shù)平移規(guī)律得到函數(shù),由函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，推出函數(shù)為偶函數(shù)，求得@=1+6k(k∈Z),結(jié)合選項(xiàng)即得.【詳解】函數(shù).的圖象向左平移個(gè)單位得到的函數(shù)為：依題意，函數(shù)是偶函數(shù)，故解得@=1+6k(k∈Z),又w>0,結(jié)合選項(xiàng)，可得@可以取1.×易錯(cuò)警示三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間解題方法(核心：整體代換法)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間解題方法(核心：整體代換法)|1.化形：用輔助角公式將"和角型"(如asinwx+bcoswx)化為Asin(wx+φ)或Acos(wx+φ)(單一三角函數(shù)可直接用)。2.代換：令U=wx+φ,轉(zhuǎn)化為y=Asinu或y=Acosu的單調(diào)區(qū)間問題。3.套公式：依據(jù)正弦、余弦的單調(diào)區(qū)間列不等式：①若為y=Asinu,遞減區(qū)間滿足②若為y=Acosu,遞減區(qū)間滿足2kπ≤u≤2kπ+π(k∈Z)。4.限范圍：解不等式得X通式，結(jié)合題目定義域或選項(xiàng)篩選有效區(qū)間?！镜淅?】(2025·天津?yàn)I海區(qū)模擬)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()【答案】A【分析】將函數(shù)f(x)=√3sinx-cosx用輔助角公式化簡為.然后根據(jù)正弦函數(shù)y=sinu的單調(diào)遞減區(qū)間,k∈Z,,求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.最后結(jié)合給定的這個(gè)區(qū)間，確定最終的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】對于f(x)=√3sinx-cosx,根據(jù)輔助角公式，得到,因?yàn)閥=sinu的單調(diào)遞減區(qū)間得,keZ.解這個(gè)不等式：得到f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是|],k∈Z.而,即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故選：A.【典例2】(2025·陜西漢中·三模)函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為()【答案】C【分析】利用整體代入法結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求單調(diào)減區(qū)間.【詳解】由,k∈Z,故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z,對比各選項(xiàng)，只有C符合.對一切的x∈R恒成立，且則函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為()【答案】D【分析】利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得,再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得解. 【詳解】根據(jù)題意，可得f(x)=asin2x+bcos2x=√a2+b2sin(2x+0),其中! 對一切x∈R恒成立，因此，,解得,k∈Z,從而取k=-1,得,k∈Z,當(dāng)k=0時(shí)，可得f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是方法技巧一、"w"的求解1.正弦型函數(shù)的性質(zhì)對于正弦型函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)(A,w,φ(1)函數(shù)的零點(diǎn)(圖象的對稱中心):①函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為;②函數(shù)圖象的對稱中心為(k∈Z).(2)函數(shù)圖象的對稱軸(最值點(diǎn)或極值點(diǎn))滿足,因此可得函數(shù)f(x)的最(極)大值點(diǎn)為：(4)函數(shù)的最(極)小值點(diǎn)：滿足,因此可得函數(shù)f(x)的最(極)小值2."W"的求解問題的通法對于三角函數(shù)中"@"的求解問題，我們一般采用以下方法進(jìn)行處理：第一步：根據(jù)題目的條件，將WX+4看作整體，得到函數(shù)f(x)圖象的對稱軸、對稱中心(零點(diǎn))或的取值進(jìn)行分類討論，從而求得@的取值范圍.【典例1】(2025-江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=√3sinwx-coswx(@>0),若集合【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡解析式，解三角方程可得前四個(gè)正數(shù)解，再根據(jù)集合有三個(gè)元素列不等式求解即可.解得①或②①②中，分別取k=1,2,因?yàn)閣>0,從小到大排列得因?yàn)榧蟵x|f(x)=-1,x∈(0,π)}恰有3個(gè)元素，所以需滿足：,解得：故選：D.【典例2】(2025·遼寧·二模)將函數(shù)f(x)=sinx的圖像先向右平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)g(x)的圖像.已知函數(shù)g(x)在有兩個(gè)零點(diǎn)，則@的取值范圍為()【答案】A【分析】先根據(jù)平移伸縮得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式組，解出取值范圍即可.【分析】先根據(jù)題意求出,再根據(jù)求出,再根據(jù)の的范圍約束出和范圍，最后結(jié)合正弦函數(shù)圖象即可求出の的范圍.結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得,解得故@的取值范圍是方法技巧二、整體代入法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對稱軸和對稱中心心方法是整體代換+性質(zhì)復(fù)用，按以下步驟解題：.函數(shù)化簡：用輔助角公式，將”和角型”(如acoswx+bsinwx)化為單一正弦/余弦型(Asin(wx+φ)或Acos(wx+φ)),簡化分22.整體代換：把OX+看作整體，套正弦、余弦、正切的對稱中心、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為含k∈Z的方程/不等式。3.結(jié)合條件求解：依據(jù)題目給的X范圍、參數(shù)限制(如a>0),代入k(0,1,-1…)篩選，解出對稱中心、單調(diào)區(qū)間等；涉及圖象變換，用”左加右減”(注意提取@)驗(yàn)證；零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)方程解的個(gè)數(shù)，結(jié)合區(qū)間列不等式求參數(shù)。【知識點(diǎn)】求正切(型)函數(shù)的對稱中心、正切函數(shù)對稱性的應(yīng)用【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標(biāo)滿足,k∈Z,【典例2】(24-25高三上河北石家莊·階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=cosox-√3sinwx(w>0)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)不正確的是()B.函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間C.函數(shù)f(x)的圖象可由y=2sinox的圖象向左平移個(gè)單位長度得到D.函數(shù)g(x)=f(tox)(t>0)在(0,π)上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍【知識點(diǎn)】求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求圖象變化前(后)的解析式、求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】利用輔助角公式及函數(shù)圖象先化簡計(jì)算得出函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】由圖可知，,可得所以函數(shù)在(k∈Z)單調(diào)遞增，故B正確；函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長度得A.f(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)B.f(x)與g(x)有相同的最大值C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，令f(x)=sin2x=0,解得,k∈Z,,即為f(x)零點(diǎn)，顯然f(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；①①A.最小正周期是πB.最大值是2求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根據(jù)二倍角余弦公式和輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的周期求解判斷A;根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B;利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C;由正弦函數(shù)的對稱中心判斷D.【詳解】則f(x)的最小正周期是故選項(xiàng)A正確；由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,即f(x)的最大值是故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故f(x)是區(qū)間上的減函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；得故f(x)的圖象的對稱中心為,keZ,令得所以f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.方法技巧三、代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)的對稱軸和對稱中心代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)對稱軸和對稱中心的特殊值代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)對稱軸和對稱中心的特殊值1.對稱軸關(guān)鍵值對于y=Acos(wx+φ),對稱軸處函數(shù)取最值±A。代入x=x?,若f(x。)=±A,則x=x?是對稱軸。是對稱軸.從”整體代換"看，令wx+φ=kπ(k∈Z)(余弦對稱軸條件),常用k=0時(shí)的值結(jié)合題目區(qū)間找特殊值驗(yàn)證.2.對稱中心關(guān)鍵值f(x?+h)+f(x?-h)=0”(中心對稱性質(zhì))驗(yàn)證.比如驗(yàn)證是否為對稱中心，可代入算再取看與是否互為相反數(shù).作為優(yōu)先驗(yàn)證的特殊值，快速判斷對稱中心特殊值，快速判斷對稱中心.3.周期性關(guān)聯(lián)值三角函數(shù)周期,常用周期的倍。比如驗(yàn)證對稱軸，可代入,看函數(shù)值是否對稱；驗(yàn)證對稱中心，代入利用周期性簡化計(jì)算。像T=π(w=2)時(shí)，代入后結(jié)合函數(shù)值快速判斷對稱性質(zhì)后結(jié)合函數(shù)值快速判斷對稱性質(zhì).題目給X區(qū)間如時(shí)，區(qū)間中點(diǎn)、端點(diǎn)是特殊值。比如判斷區(qū)間內(nèi)單調(diào)性，代入端點(diǎn)和,看函數(shù)值變化；驗(yàn)證對稱軸，若區(qū)間中點(diǎn)代入后取最值，大概率是對稱軸。這些特殊值圍繞"三角函數(shù)性質(zhì)(最值、零點(diǎn)、周期性)"和“題目區(qū)間限制”設(shè)計(jì)，記住它們，代入檢驗(yàn)時(shí)能直接抓關(guān)鍵，不用盲目試值，大幅提升解題效率，遇到余弦、正弦型函數(shù)對稱問題，直接套這些值驗(yàn)證，又快又準(zhǔn)接套這些值驗(yàn)證，又快又準(zhǔn).【典例1】已知函數(shù)則()A.是偶函數(shù)B.f(x)在單調(diào)遞增C.f(x)的一條對稱軸為.D.f(x)在(0,π)存在唯一零點(diǎn)【答案】BC【知識點(diǎn)】求cosx(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求余弦(型)函數(shù)的奇偶性、求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】利用奇偶性定義可判斷A;利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B;求出可判斷C;令f(x)=0求出x可判斷D.【詳解】對于A,令x∈R,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于B,當(dāng)時(shí)，對于C,,故f(x)的一條對稱軸為,C正確；【典例2】(2025·廣西柳州·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=Asin(wx+4)(A>0,w>0,0<φ<π)的部分圖像如圖A.w=2B.C.直線是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸D.f(x)在的值域?yàn)閇-1,2]【答案】ACD【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式、求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定A,w的值，利用特殊點(diǎn)代入函數(shù)解析式確定φ,即可得到函數(shù)解析式，判斷A,B;將.代入驗(yàn)證，可判斷C;利用正弦函數(shù)的值域可判斷D.【詳解】由圖象知A=2,解得@=2,A正確；因?yàn)?<φ<π,,B錯(cuò)誤；將代入f(x)中得直線是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，C正確；因?yàn)?所以【典例3】(25-26高三上·云南·階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=2sinx·(sinx+cosx)-1,則下列正確的是()B.是f(x)圖象的一條對稱軸D.f(x)在區(qū)間[0,2π]上有6個(gè)【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)、求圖象變化前(后)的解析式、【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡f(x),整體代換法求值域判斷A;代入檢驗(yàn)法判斷B;利用平移變換求出解析式判斷C;求出所有零點(diǎn)，再根據(jù)范圍即可求出個(gè)數(shù).【詳解】由題意得，f(x)=2sinx·(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2sin2x-對于A,,則對于B,故B正確；則f(x)在區(qū)間[0,2π]上有4個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.示，下列說法正確的是_.(寫出下列選項(xiàng)的序號即可)①.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線對稱②.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對稱【答案】①③【知識點(diǎn)】求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前(后)的解析式、求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求出函數(shù)f(x)的解析式，然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由圖可知A=2,設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,則,所以T=π,由w>0及又,所以所以對①:由,即(k∈Z),令k=-1,則為函數(shù)f(x)的一條對稱軸；故①正確；對②:由,即故函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故②不正確；,故③正確；對④:因?yàn)?所以-,由函數(shù)y=sint在[-π,0]上不單調(diào)，所以函數(shù)f(x)在上不單調(diào)；故④不正確；故答案為：①③.方法技巧四、圖像法求三角函數(shù)最值或值域|1.化簡函數(shù)：用輔助角公式將函數(shù)化為|1.化簡函數(shù)：用輔助角公式將函數(shù)化為Asin(wx+φ)或Acos(wx+φ)形式，明確振幅、周期等.2.繪制或分析圖像：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)(周期、最值、單調(diào)性),結(jié)合給定區(qū)間，確定關(guān)鍵點(diǎn)(零|3.求最值/值域：利用圖像的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定最值；結(jié)合區(qū)間內(nèi)函數(shù)單調(diào)性，判斷值域范圍，驗(yàn)證選項(xiàng)時(shí)代入特殊值(如區(qū)間端點(diǎn)、極值點(diǎn))快速判斷.【典例1】函數(shù)f(x)=sinx-√3cosx在[0,π]上的最大值是【答案】2【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、輔助角公式【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，f(x)=-2.故答案為：2【典例2】(2025·云南玉溪·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)8(x)=sin2x+√3cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，則()析D選項(xiàng)，y=f(x)的最小正周期為最大值為2,最小值為-2,又y=f(x)在圍成的矩形內(nèi)部(或邊界),且將此矩形平均分為全等的兩部分，【典例3】(2025-河北衡水·階段練習(xí))已知函的部分圖象如圖所示，則()C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上有2個(gè)極值點(diǎn)【答案】ACD【知識點(diǎn)】求正弦(型)函數(shù)的最小正周期、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正(余)弦型函數(shù)解析式、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)【分析】根據(jù)f(x)=Asin(wx+4)中A,@,φ的幾何意義，結(jié)合圖象，求得f(x)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的點(diǎn)斜式方程，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由圖可知，A=2,f(0)=2sinφ=1,即又有,因此,即最大值為2,B錯(cuò)誤；故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上有2個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)是一個(gè)是,C正確；對于D,,斜率根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y-1=2√3×(x-0),即y=2√3x+1,故D正方法技巧五、換元法求三角函數(shù)最值或值域1.換元轉(zhuǎn)化：觀察函數(shù)，令t=sinθ±cosθ等(結(jié)合sin20等倍角，利用t2=1±sin2θ關(guān)聯(lián)),將原函數(shù)化為關(guān)于t的代數(shù)函數(shù).2.確定新元范圍。由θ范圍(加,求t的取值區(qū)間(利用三角函數(shù)值域或單調(diào)性).3.求函數(shù)值域：將新函數(shù)(如分式、二次函數(shù))結(jié)合t范圍，用項(xiàng)時(shí)，代特殊值(如對稱軸、區(qū)間端點(diǎn))快速判斷.【典例1】已知函數(shù)求函數(shù)的值域.【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、二倍角的正弦公式、復(fù)雜(根式型、分式型等)函數(shù)的值域、三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系【分析】通過換元法，將sinθ+cosθ設(shè)為新變量t,從而將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，再通過進(jìn)一步換元轉(zhuǎn)化為關(guān)于z的函數(shù)，最后利用函數(shù)性質(zhì)求出值域.即,所以(sinθ+cos0)2=sin2θ+cos2θ=1+則sin2θ=2sinθcosθ=t2-1,所以再令2-t=z,則z∈(2-√2,1),對于函數(shù),根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)：對于,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在(0.√3)上單調(diào)遞減，在[√3,+]上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，所以,則縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列結(jié)論正確的為()A.函數(shù)為偶函數(shù)B.直線是函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸C.若,則g(x)的值域D.是函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間【答案】BC【知識點(diǎn)】求cosx(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心、求圖象變化前(后)的解析式、求cosx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求cosx(型)函數(shù)的值域【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，所以對于A:因?yàn)閔(-x)=3sin(-2x)=-3sin2x=-h(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A不正確；所以當(dāng)π時(shí)，函數(shù)g(x)有最小值，所以直線是函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C:,由,則故于D:當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=3cosx在[-π,0]上單調(diào)遞增，所以在[-3π,-2π]上也單調(diào)遞增，所以是函數(shù)g(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故D不正確.A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)一個(gè)周期是πC.f(x)的最大值是2D.f(x)的最小值是0【知識點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、二倍角的正弦公式、函數(shù)的周期性的定義與求解、函數(shù)奇偶性又f(-x)=sin(-2x)·tan(-x)=-sin2x.(-tanx)=sin2x·tanx=f(x),故f(x)取不到2,C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由C可知，當(dāng)x=kπ,k∈Z時(shí)，f(x)取得最小值0,D正確.(2)若時(shí)，f(x)的最小值為4,求m的值.(2)由已知找到f(x)取最小值為4時(shí)的x值，得到關(guān)于m的方程.【詳解】(1)∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為解得m=5.方法技巧六、利用三角函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性求參數(shù)值利用三角函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)解題策略利用三角函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)解題策略1.性質(zhì)與參數(shù)的關(guān)聯(lián)：周期性：最值點(diǎn)間距(如相鄰最大、最小值點(diǎn)距為)、對稱軸與對稱中心間距(為奇數(shù)倍)可構(gòu)建T與@的關(guān)系。單調(diào)性：單調(diào)區(qū)間長度不超結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間范圍，列不等式限制W。一對稱性：對稱軸滿足對稱中心滿足wx+φ=mπ(k,m∈Z),聯(lián)立方程解@、。第一步：分析條件，關(guān)聯(lián)性質(zhì)：判斷題目涉及的性質(zhì)(周期、對稱、單調(diào)),從最值點(diǎn)、對稱點(diǎn)間距找T,或從單調(diào)區(qū)間長度限制。第二步：列方程(組)求解：用周期公式、對稱條件列關(guān)于@、④的方程(組),結(jié)合w>0、④范第三步：驗(yàn)證參數(shù)：將求得參數(shù)代回原函數(shù)，驗(yàn)證單調(diào)性、對稱性是否符合題意，確保解的準(zhǔn)確性。通過”抓性質(zhì)一列方程一驗(yàn)參數(shù)”,利用三角函數(shù)特殊點(diǎn)、間距與周期的關(guān)聯(lián)，精準(zhǔn)求解W、④等參數(shù)。A.1B.2【答案】B【知識點(diǎn)】由正弦(型)函數(shù)的值域(最值)求參數(shù)、由正弦(型)函數(shù)的周期性求值【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：x?為f(x)的最小值點(diǎn)，x?為f(x)的最大值點(diǎn)，且w>0,所以【答案】A【知識點(diǎn)】利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)、利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由正(余)弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象(解析式)【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性得出w=4n+2,根據(jù)單調(diào)性得出0<w≤2,從而確定@,結(jié)合對稱軸與對稱中心再求出φ,得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)f(x)的最小正周期為T,根據(jù)題意有,(m,k∈Z),由正弦函數(shù)的對稱性可知【知識點(diǎn)】由正弦(型)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、輔助角公式【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù),利用偶函數(shù)性質(zhì)f(-x)=f(x),可得【詳解】函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，需滿足f(-x)=f(x).即(舍去，因?yàn)椴缓愠闪?,【典例4】(2025-江西新余·模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=sinwx-√3cosox,其中0<@<3,若將其圖象向左平移個(gè)單位，此時(shí)圖象正好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則以下結(jié)論正確的是()所以@=6k+2,k∈Z,又0<@<3,解得w=2.當(dāng)時(shí)，,所以又方程f(x)=a有兩個(gè)不同的解，所以a∈(-2,-√3),,故D錯(cuò)誤.1.明確”五點(diǎn)”:正弦型函數(shù)y=Asin(wx+φ)+k(A>0,w>0)的”五點(diǎn)”為：零點(diǎn)(與X軸交點(diǎn)):wx+φ=0,π,2π(對應(yīng)圖象上升、下降過X軸的點(diǎn));第一步：求A、k:A是振幅(最