2026屆吉林省遼源市東遼縣一中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關(guān)系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交2．經(jīng)過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則A. B.C. D.3．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，，直線與y軸交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．設(shè)，為雙曲線的上，下兩個焦點(diǎn)，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（）A.與雙曲線的實(shí)軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線8．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.9．青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國瓷器的主流品種之一．如圖，是一青花瓷花瓶，其外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面．若該花瓶的瓶口直徑為瓶身最小直徑的2倍，花瓶恰好能放入與其等高的正方體包裝箱內(nèi)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為（）A.-5 B.-3C.1 D.711．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S7＝28，則a4＝（）A.4 B.7C.8 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在公差不為0的等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則正整數(shù)______14．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.15．已知曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則的值為______16．曲線在處的切線斜率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對稱（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前10項(xiàng)和；（2）等比數(shù)列滿足，，求和：19．（12分）已知數(shù)列滿足各項(xiàng)均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令，，求.20．（12分）在中，已知，，，，分別為邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn).（1）求直線方程；（2）求直線的方程.21．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點(diǎn)．過MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線PB與平面PAC所成角的正弦值22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，取.，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】由題意，得，解得；故選A考點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率3、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當(dāng)時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C4、B【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B5、B【解析】由題意可設(shè)且，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，，，又，P為雙曲線C上一點(diǎn)，∴，又，為的中點(diǎn)，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.6、A【解析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計(jì)算得，然后在，再由勾股定理列式，計(jì)算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，，因?yàn)?，所以，得，所以，在中，，?故選：A【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)7、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進(jìn)而可得A不正確，計(jì)算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因?yàn)椋钟深}意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B8、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B9、C【解析】由題意作出軸截面，最短直徑為2a，根據(jù)已知條件點(diǎn)（2a，2a）在雙曲線上，代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系可求得離心率e的值【詳解】由題意作出軸截面如圖：M點(diǎn)是雙曲線與截面正方形的交點(diǎn)之一，設(shè)雙曲線的方程為：最短瓶口直徑為A1A2＝2a，則由已知可得M是雙曲線上的點(diǎn)，且M（2a，2a）故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），化簡后得，解得故選：C10、C【解析】根據(jù)，可知向量建立方程求解即可.【詳解】由題意根據(jù)，可知向量，則有，解得.故選：C11、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知其導(dǎo)數(shù)在R上恒成立，分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當(dāng)時，取最小值-1，故，故選：D12、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，那么，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及可求k.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.14、－.【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，又，即，所以?shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列，所以，所以考點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)定知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中得到，，確定數(shù)列是首項(xiàng)和公差都為的等差數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生靈活變形能力和推理與論證能力，平時應(yīng)注意方法的積累與總結(jié)，屬于中檔試題15、11【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接計(jì)算作答.【詳解】因曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則，，所以.故答案為：1116、##【解析】首先求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）圓關(guān)于直線對稱，半徑不變，只需求出圓心對稱的坐標(biāo)即可.（2）將四邊形面積分成兩個全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，一條直角邊不變時，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關(guān)，從而得到面積的最小值與最大值.【小問1詳解】由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關(guān)于對稱，設(shè)的圓心為，故可根據(jù)中點(diǎn)在對稱的直線上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，所以圓心坐標(biāo)為，且半徑為，故的方程為【小問2詳解】連接，將四邊形分割成兩個全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉(zhuǎn)化為MP長度的范圍，在中，根據(jù)勾股定理可知，因?yàn)榘霃介L度不變，所以最大時最大；所以最小時最?。划嫵鋈缦聢D，當(dāng)動點(diǎn)P移動至在時面積最小，時面積最大；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以18、（1），175（2）【解析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出公差，然后結(jié)合通項(xiàng)公式及求和公式即可求解；（2）結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)先求出，然后結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式可求【小問1詳解】解：等差數(shù)列滿足，，所以，，；【小問2詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，所以或（舍去），由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，所以19、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，，①，②①-②得，故.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)D，E坐標(biāo)，再求出直線DE方程作答.(2)求出直線AH的斜率，再借助直線的點(diǎn)斜式方程求解作答.【小問1詳解】在中，，，，則邊中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，直線DE斜率，于是得，即，所以直線的方程是：.【小問2詳解】依題意，，則直線BC的斜率為，又，因此，直線的斜率為，所以直線的方程為：，即.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，取BC中點(diǎn)O，則平面ABC，可得，由條件可得，以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镸，N分別為AB，AP的中點(diǎn)，所以，又平面PBC，所以平面PBC，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，取BC中點(diǎn)O，連接PO，AO，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以平面ABC，故，又因，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得：，，，，，所以，，，設(shè)平面PAC的法向量為，則,則，令，得，，所以，所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為22、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】