2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（安徽卷）

2025年安徽中考數(shù)學(xué)穩(wěn)中求新，凸顯核心素養(yǎng)與能力導(dǎo)向及“三會”能力；試題延續(xù)“立足

基礎(chǔ)、強化思維、聯(lián)系實際”的命題風格，緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》，延

續(xù)“基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”命題原則，全面考查“四基”“四能”。試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定（10選擇+4

填空+9解答），總分150分，難度梯度設(shè)計科學(xué)，兼顧學(xué)業(yè)水平檢測與選拔功能。

一、基礎(chǔ)為本，覆蓋全面

基礎(chǔ)題：選填題前6題（如第1題有理數(shù)比較、第2題科學(xué)記數(shù)法、第3題三視圖）及解

答題前4題（如第15題分式化簡、第17題解直角三角形）考查單一知識點或基礎(chǔ)應(yīng)用，要求

概念清晰、運算準確。核心考點高頻重現(xiàn)：試題考查了實數(shù)的有關(guān)概念、科學(xué)記數(shù)法、二次根

式的性質(zhì)、幾何體的三視圖、乘法公式、一元二次方程根的判別式、數(shù)據(jù)分析觀念與概率、函

數(shù)圖象與性質(zhì)，數(shù)式變化規(guī)律、格點作圖、三角函數(shù)的應(yīng)用、圓等近五年必考內(nèi)容占比達70%。

強化文化浸潤：第3題“陽馬”（古代幾何體）、第21題“圖形的密鋪”融合數(shù)學(xué)與勞動實踐，

體現(xiàn)“數(shù)學(xué)眼光觀察世界”。

二、能力立意，強化思維

幾何分析重本質(zhì)：第10題（旋轉(zhuǎn)最值）、第22題（正方形垂直平分線綜合）需構(gòu)造輔助線

轉(zhuǎn)化條件。突出高階思維：第14題“變換操作”、第23題“函數(shù)無關(guān)定值”要求抽象推理與符號表

達，落實“數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實”。對考生思維的深度和廣度要求較高，全方位發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科

中考的區(qū)分甄別功能。

三、創(chuàng)新融合，貼近現(xiàn)實

情境真實性增強：工業(yè)用電量（第2題）、天平平衡問題（第13題）、組件密鋪（第21

題）等取材于生產(chǎn)生活，呼應(yīng)“用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題”的課標要求。跨學(xué)科整合深化：第21題“密

鋪項目實踐”融合勞動教育，第19題“景區(qū)服務(wù)質(zhì)量評估”滲透統(tǒng)計學(xué)與經(jīng)濟學(xué)思維。第13題

（天平平衡概率）、第17題（測距）整合物理、現(xiàn)實情境，考查“數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實”。

通過對2025年與近年安徽中考數(shù)學(xué)試題的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)一些值得關(guān)注的新變化和

命題趨勢。

一、創(chuàng)新題型涌現(xiàn)

定義新運算（第14題）：通過“正整數(shù)變換”規(guī)則（余數(shù)分類→新數(shù)生成），考查抽象思

維和遞歸思想，需理解“變換鏈”邏輯。項目式學(xué)習(xí)（第21題）：以“圖形的密鋪”為背景，整

合數(shù)學(xué)建模、成本計算、方案優(yōu)化，體現(xiàn)“做中學(xué)”理念。跨學(xué)科融合（第13題）：天平平衡

問題結(jié)合物理杠桿原理，需從10g,20g,30g,40g物品中隨機選兩件使質(zhì)量之和為50g求概率。

二、綜合性與應(yīng)用性并重

幾何壓軸題（第22題）：2024年第22題：平行四邊形背景下的幾何綜合，考查全等、

相似的判定與性質(zhì)；2025年第22題：正方形背景下的幾何變換，融合垂直平分線、等腰直角

三角形等知識點，增設(shè)探究性設(shè)問。

函數(shù)題創(chuàng)新：2024年第23題：含參數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析，考查頂點坐標變化；2025

年第23題：兩條拋物線上點的坐標關(guān)系探究，引入定值條件，考查函數(shù)與方程思想

統(tǒng)計題升級：2024年第21題：簡單的頻數(shù)分布直方圖分析；2025年第21題：真實情境

下的柑橘品質(zhì)調(diào)查項目，包含數(shù)據(jù)收集、整理、分析與決策全過程。

題號分值題型考查點

有理數(shù)大小比較、科學(xué)記數(shù)法、三視圖、二次根

式的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式判斷根的情

1-10每題4分，共40分選擇況、勾股定理、一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象、平行四

邊形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋

轉(zhuǎn)最值動態(tài)分析

11-14每題4分，共20分填空有理數(shù)的減法、圓的性質(zhì)、概率、新定義變換

158分解答分式化簡、求值

168分解答位似圖形做法和性質(zhì)

178分解答直角三角形的實際應(yīng)用、仰角和俯角

188分解答一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合

1910分解答中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)

2010分解答圓周角定理，勾股定理，垂徑定理等知識

2112分解答平面鑲嵌、成本計算規(guī)律歸納

正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比

2212分解答

例，

勾股定理，三角形的中位線定理

2314分解答二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

2025年安徽中考數(shù)學(xué)試題在傳承中創(chuàng)新，凸顯“素養(yǎng)立意、文化浸潤、實踐育人”三大特

征。備考需立足課標，強化“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗），聚焦

核心素養(yǎng)，尤其注重數(shù)學(xué)建模與邏輯推理能力的培養(yǎng)。考生應(yīng)避免機械刷題，深入理解數(shù)學(xué)本

質(zhì)，方能在變革中穩(wěn)操勝券。

1.夯基固本，構(gòu)建體系

回歸教材：重點梳理教材“核心概念”：有理數(shù)運算、三視圖、勾股定理、平行四邊形判定、

二次函數(shù)圖象性質(zhì)、垂徑定理等。

2.情境遷移與思維進階

情境題專項訓(xùn)練：提取實際問題數(shù)學(xué)骨架（如第21題“密鋪”→拼接單元數(shù)量與長度關(guān)

系）；建立數(shù)學(xué)模型優(yōu)化決策。

3.考場應(yīng)對技巧

基礎(chǔ)題：死磕選擇題1-7題、填空題11-12題，確保計算0失誤（如題1有理數(shù)、題11

絕對值）。壓軸題：分步搶分（第23題直接將(4,0)代入拋物線，能夠得到a與b的關(guān)系，然

后利用對稱軸的公式，就能化去參數(shù)a和b，得到對稱軸的方程）；每日精練1道函數(shù)綜合+1

道幾何探究，注重步驟書寫規(guī)范性。對比2024、2025年真題，總結(jié)安徽卷“重代數(shù)推理、輕復(fù)

雜計算”的命題趨勢。

2025年安徽省中考數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．

2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．

3．請務(wù)必在“答．題．卷．”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．

4．考試結(jié)束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個

選項，其中只有一個是符合題目要求的．

1．在2，0，2，5這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A．2B．0C．2D．5

【答案】A

【分析】解題思路為：依據(jù)有理數(shù)大小比較規(guī)則，即負數(shù)小于0，0小于正數(shù)，來比較這四個數(shù)的大小，

找出最小數(shù)．本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握“負數(shù)小于0，0小于正數(shù)”的大小比較規(guī)則是解

題的關(guān)鍵．

【詳解】解：有理數(shù)大小比較規(guī)則：負數(shù)0正數(shù)．

對于2、0、2、5這四個數(shù)，

2是負數(shù)，0是零，2、5是正數(shù)，

2025，

即最小的數(shù)是2．

故選：A．

2．安徽省2025年第一季度工業(yè)用電量為521.7億千瓦時，其中521.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．521.7108B．5.217109C．5.2171010D．0.52171011

【答案】C

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵；科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n

的形式，其中1a10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的

絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于或等于10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，

n是負整數(shù)．

【詳解】解：將數(shù)據(jù)521.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為5.2171010；

故選C．

3．“陽馬”是由長方體截得的一種幾何體，如圖水平放置的“陽馬”的主視圖為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】本題主要考查了簡單幾何體的主視圖，熟練掌握主視圖的定義（從物體正面觀察得到的平面

圖形）是解題的關(guān)鍵．主視圖是從幾何體正面觀察得到的平面圖形，據(jù)此分析該“陽馬”正面看到的形狀．

【詳解】解：主視圖是從物體正面看所得到的圖形．觀察水平放置的“陽馬”，從正面看，看到的是一個

三角形．對比四個選項，只有選項A符合從正面看到的圖形特征，其他三項都不符合題意．

故選：A．

4．下列計算正確的是（）

23

A．a(chǎn)aB．3aa

23

C．a(chǎn)3aa4D．a(chǎn)2a6

【答案】B

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，求一個數(shù)的立方根，冪的乘方計算，同底數(shù)冪乘法計算，根

據(jù)相關(guān)計算法則求出對應(yīng)選項中式子的結(jié)果即可得到答案。

2

【詳解】解；A、aa，原式計算錯誤，不符合題意；

3

B、3aa，原式計算正確，符合題意；

2

C、a3aa3a2a32a5，原式計算錯誤，不符合題意；

3

D、a2a6，原式計算錯誤，不符合題意；

故選；B

5．下列方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（）

A．x210B．x22x10

C．x2x10D．x2x10

【答案】D

【分析】解題思路為利用一元二次方程根的判別式b24ac，分別計算四個選項方程的值，根據(jù)

與0的大小關(guān)系判斷根的情況．本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式b24ac

及根據(jù)判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：選項A：x210

a1，b0，c1，

Δ0241140，無實數(shù)根，不符合題意；

選項B：x2-2x10

a1，b-2，c1，

2

Δ2411440，有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；

選項C：x2x10

a1，b1，c1，

Δ124111430，無實數(shù)根，不符合題意；

選項D：x2x10

a1，b1，c-1，

Δ124111450，有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；

故選：D．

6．如圖，在VABC中，A120，ABAC，邊AC的中點為D，邊BC上的點E滿足EDAC．若

DE3，則AC的長是（）

A．43B．6C．23D．3

【答案】B

【分析】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、含30角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)

定理，通過設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出C的度數(shù)，

再利用中點得到線段關(guān)系，最后在RtEDC中，結(jié)合含30角的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出AC的長．

【詳解】解：∵在ABC中，ABAC，A120，

180120

C30．

2

D是AC中點，

∴設(shè)AC2x，則CDx．

∵EDAC，

EDC是直角三角形，且C30，

EC2DE，

∵DE3，則EC23．在RtEDC中，根據(jù)勾股定理EC2DE2CD2，

∴(23)2(3)2x2，

123x2，

x29，

解得x3（x0）．

AC2x，

AC6．

故選：B．

7．已知一次函數(shù)ykxbk0的圖象經(jīng)過點M1,2，且y隨x的增大而增大．若點N在該函數(shù)的

圖象上，則點N的坐標可以是（）

A．2,2B．2,1C．1,3D．3,4

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)過點M1,2得出b與k的關(guān)系，再結(jié)合y隨x增大而增大得k0，然后將各選

項坐標代入函數(shù)，判斷k是否符合條件．本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象上點的坐標特征，熟練掌握

一次函數(shù)ykxb中k的意義及點坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【詳解】∵一次函數(shù)ykxbk0過M1,2，

把1,2代入ykxb得2k1b，即b2k．

又y隨x的增大而增大，

k0．

選項A：點2,2，代入ykxb得2k2b，

把b2k代入得22k2k，

化簡得3k0，解得k0，不滿足k0，舍去．

選項B：點2,1，代入ykxb得1k2b，

把b2k代入得12k2k，

化簡得k1，不滿足k0，舍去．

選項C：點1,3，代入ykxb得3k1b，

把b2k代入得3k2k，

化簡得2k1，解得k0.5，不滿足k0，舍去．

選項D：點3,4，代入ykxb得4k3b，

把b2k代入得43k2k，

化簡得2k2，解得k1，滿足k0．

綜上，只有選項D符合條件，

故選：D．

8．在如圖所示的ABCD中，E，G分別為邊AD，BC的中點，點F，H分別在邊AB，CD上移動

（不與端點重合），且滿足AFCH，則下列為定值的是（）

A．四邊形EFGH的周長B．EFG的大小

C．四邊形EFGH的面積D．線段FH的長

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形

對邊平行且相等的性質(zhì)，通過全等三角形轉(zhuǎn)化面積關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)，通過證

明三角形全等分析四邊形EFGH各邊、角、面積等是否為定值，重點關(guān)注面積能否通過轉(zhuǎn)化為平行四邊形

面積的一部分來判斷．

【詳解】解：連接EG，

在ABCD中，E，G分別為AD，BC中點，

11

ADBC且ADBC，AEAD，BGBC，

22

AEBG且AEBG，

四邊形ABGE是平行四邊形，

ABEG，

同理EGCD，且EGABCD．

AFCH，AC，AECG（E、G為中點，ADBC），

在AEF和CGH中，

AFCH

AC，

AECG

AEF≌CGHSAS，

同理可證DEH≌BGFSAS．

四邊形EFGH的面積ABCD的面積2SAEF2SDEH，

由全等可知SAEFSCGH，SDEHSBGF，

且AEF與DEH的面積和為ABCD面積的一半（因E是中點等關(guān)系），

四邊形EFGH的面積始終為ABCD面積的一半，是定值．

選項A：EF、FG等邊長隨F、H移動變化，周長不定，錯誤．

選項B：EFG隨F位置改變，錯誤．

選項D：FH長度隨F、H移動改變，錯誤．

綜上，四邊形EFGH的面積是定值，

故選：C．

9．已知二次函數(shù)yax2bxca0的圖象如圖所示，則（）

A．a(chǎn)bc0B．2ab0C．2bc0D．a(chǎn)bc<0

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置、與y軸交點及特殊點的函數(shù)值，結(jié)合二次函數(shù)

性質(zhì)，逐一分析選項．本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)中a（開口方向）、b（對

稱軸與a共同決定）、c（與y軸交點）的意義及特殊點函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：二次函數(shù)yax2bxca0圖像中，開口向上，

a0．

b

對稱軸x0，又a0，

2a

b0，即b0．

拋物線與y軸交點在負半軸，

c0．

選項A：abc，a0，b0，c0，

兩負一正相乘得正，

abc0，該選項錯誤．

bb

選項B：對稱軸x，由圖象知對稱軸x1，即1，

2a2a

又a0，兩邊乘2a得b2a，2ab0，該選項錯誤．

選項C：當x1時，yabc，由圖象知x1時，y0，即abc0；

b121

對稱軸x，

2a22

b1

，化簡得ab；

2a2

把ab代入abc0得bbc0，即c2b，移項得2bc0，該選項正確．

選項D：當x1時，yabc，由圖象知x1對應(yīng)的函數(shù)值y0，

abc0，該選項錯誤．

綜上，答案選C．

10．如圖，在四邊形ABCD中，AABC90，AB4，BC3，AD1，點E為邊AB上的動點．將

線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段DF，連接FB，F(xiàn)C，EC，則下列結(jié)論錯．誤．的是（）

A．ECED的最大值是25B．FB的最小值是10

C．ECED的最小值是42D．FC的最大值是13

【答案】A

【分析】本題主要圍繞四邊形中的動點問題展開，解題思路是先通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相關(guān)線段和角的

關(guān)系，再利用勾股定理建立線段之間的聯(lián)系，最后根據(jù)點與點之間的位置關(guān)系以及幾何性質(zhì)來分別判斷各

個結(jié)論的正確性．

【詳解】解：∵將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段DF，

∴DEDF，EDF90．

又∵AABC90，AB4，BC3，AD1，

過點D作DGBC于點G，在DG上取一點H，使得DHAD1,延長FH交AB于點I，則四邊形

ABGD是矩形，

∴GDAADEEDG90EDGHDF．

∴ADEHDF，

∴DHF≌DAE（SAS），

∴DHFDAE90,

∴FHDG，即點F在FH上運動，

∴四邊形DAIH和四邊形BGHI是矩形，

∴HIADBG1，AIDH1，BI413，

∵AABC90，AB4，BC3，AD1，

2

∴DE124BE,CE32BE2,

2

∴ECED32BE2124BE，

∴BE最大時，ECED最大，

,

當點E與點A重合時，F(xiàn)與H重合時，BF最小此時EC42325，ED1,ECED51425，

,

故A錯誤，符合題意；BFHI2BI2123210故B正確，不符合題意；

作點D關(guān)于AB的對稱點M，連接MC,則EDEM，ADAM1，BAMBAD90,過M作

MNCB于點N，此時ECEDCM,當C、E、M三點共線時，ECED最小，

∵MNCB,ABN1809090,

∴四邊形AMNB是矩形，

∴BNAM1，CN314，ABMN4,

,

∴ECED的最小值A(chǔ)C424242故C正確，不符合題意；

2222,

當E與A重合時，CFGHCG314113

當E與B重合時，過C作CQFH，則四邊形CQIB是矩形，如下圖，

∴CQIB413，QIBC3，

∵DHF≌DAE，

∴FHAE4，

∴QFFHHIQI4132,

∴FCCQ2FQ2223213，

綜上，F(xiàn)C最大值為13．故D項正確，不符合題意；

故選：A．

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理以及

幾何最值問題，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，并能根據(jù)幾何圖形的特點準確分析線段之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11．計算：51．

【答案】6

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的減法計算，求一個數(shù)的絕對值，先計算絕對值，再根據(jù)減去一個數(shù)

等于加上這個數(shù)的相反數(shù)求解即可．

【詳解】解：51516，

故答案為：6．

12．如圖，AB是O的弦，PB與O相切于點B，圓心O在線段PA上．已知P50，則PAB的

大小為．

【答案】20

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，連接OB，由切線的性質(zhì)可得

PBO90，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得BOP的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到答案．

【詳解】解；如圖所示，連接OB，

∵PB與O相切于點B，

∴OBPB，

∴PBO90，

∵P50，

∴∠BOP90∠P40，

1

∴PAB∠BOP20，

2

故答案為：20．

13．在一個平衡的天平左、右兩端托盤上，分別放置質(zhì)量為20g和70g的物品后，天平傾斜（如圖所示）．現(xiàn)

從質(zhì)量為10g，20g，30g，40g的四件物品中，隨機選取兩件放置在天平的左端托盤上，則天平恢復(fù)平衡

的概率為．

1

【答案】

3

【分析】本題考查概率的應(yīng)用，通過畫樹狀圖或列表羅列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件

的情況數(shù)，最后利用概率公式求解．

【詳解】解：要使天平恢復(fù)平衡，則選取兩件物品的質(zhì)量和為702050g，

列表如下：

10203040

10304050

20305060

30405070

40506070

∴共有12種可能結(jié)果，其中使天平恢復(fù)平衡的有4種，

41

∴天平恢復(fù)平衡的概率為．

123

1

故答案為：．

3

n

14．對于正整數(shù)n，根據(jù)n除以3的余數(shù)，分以下三種情況得到另一個正整數(shù)m：若余數(shù)為0．則m；

3

若余數(shù)為1，則m2n；若余數(shù)為2，則mn1．這種得到m的過程稱為對n進行一次“變換”．對所得的

數(shù)m再進行一次變換稱為對n進行二次變換，依此類推．例如，正整數(shù)n4，根據(jù)4除以3的余數(shù)為1，

由428知，對4進行一次變換得到的數(shù)為8；根據(jù)8除以3的余數(shù)為2，由819知，對4進行二次變

換得到的數(shù)為9；根據(jù)9除以3的余數(shù)為0，由933知，對4進行三次變換得到的數(shù)為3．

（1）對正整數(shù)15進行三次變換，得到的數(shù)為；

（2）若對正整數(shù)n進行二次變換得到的數(shù)為1，則所有滿足條件的n的值之和為．

【答案】211

【分析】本題主要考查了新定義，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)15除以3的余數(shù)為0可得第一次變換后的數(shù)為5，再根據(jù)5除以3的余數(shù)為2可得第二次變

換后的數(shù)，同理可得第三次變換后的數(shù)；

1

（2）第二次變換后的結(jié)果為1，那么第一次變換后的結(jié)果為3或或0，再驗證這三個數(shù)是否可經(jīng)過

2

變換后得1即可確定第一次變換后得到的數(shù)，據(jù)此根據(jù)第一次變換得到的數(shù)可推出n的三個值，再同理可

驗證符合題意的n，據(jù)此可得答案．

【詳解】解；（1）∵15350，

15

∴15進行一次變換后得到的數(shù)為5；

3

∵5312，

∴15進行二次變換后得到的數(shù)為516；

∵6320，

∴15進行三次變換后得到的數(shù)為2，

故答案為：2；

（2）當對正整數(shù)n進行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為0時，則第一次變換后的數(shù)為133，

此時符合題意；

1

當對正整數(shù)n進行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為1時，則第一次變換后的數(shù)為，此時不

2

符合題意；

當對正整數(shù)n進行第一次變換后，所得的數(shù)除以3的余數(shù)為2時，則第一次變換后的數(shù)為110，此

時不符合題意；

綜上所述，第一次變換后所得的數(shù)為3，

當n除以3的余數(shù)為0時，則n339，符合題意；

3

當n除以3的余數(shù)為1時，則n，不符合題意；

2

當n除以3的余數(shù)為2時，則n312，符合題意；

∴符合題意的n的值是9或2，

∴所有滿足條件的n的值之和為2911，

故答案為；11．

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

21

15．先化簡，再求值：，其中x3．

x22x1x21

2x2

【答案】，1

x1

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把兩個分式的分母分解因式，再把除法變成乘法后約分

化簡，最后代值計算即可得到答案．

21

【詳解】解：

x22x1x21

21

2

x1x1x1

2

2x1x1

x1

2x1

x1

2x2

，

x1

2324

當x3時，原式1．

314

16．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系xOy，VABC的頂

點和A1均為格點（網(wǎng)格線的交點）．已知點A和A1的坐標分別為1,3和2,6．

(1)在所給的網(wǎng)格圖中描出邊AB的中點D，并寫出點D的坐標；

(2)以點O為位似中心，將VABC放大得到△A1B1C1，使得點A的對應(yīng)點為A1，請在所給的網(wǎng)格圖中畫

出△A1B1C1．

【答案】(1)圖見解析；2,1

(2)圖見解析

【分析】本題主要考查了中點坐標公式，坐標系中畫位似圖形，熟知中點坐標公式，位似圖形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)兩點中點坐標公式可確定點D的坐標，進而描出點D即可；

、、、

（2）根據(jù)點A和點A1的坐標可知，把B、C的橫縱坐標都乘以2即可得到B1C1的坐標，描出A1B1C1，

、、

并順次連接A1B1C1即可．

【詳解】（1）解：如圖所示，點D即為邊AB的中點，

∵A1,3，B3,1，

∴點D的坐標為2,1．

（2）解：如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形．

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17．某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和

乙樓分別用與水平地面垂直的線段AB和CD表示，彩帶用線段AD表示．工作人員在點A處測得點C的俯

角為23.8，測得點D的仰角為36.9．已知AB13.20m，求AD的長（精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：

sin23.80.40，cos23.80.91，tan23.80.44，sin36.90.60，cos36.90.80，tan36.90.75．

【答案】37.5m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，過點A作AECD，垂足為點E，則四邊形ABCE

為矩形，可得CEAB13.20m，解RtACE求出AE的長，再解RtADE求出AD的長即可得到答案．

【詳解】解：過點A作AECD，垂足為點E．

∵線段AB和CD都與地面垂直，

∴四邊形ABCE為矩形，

∴CEAB13.20m．

CE

在RtACE中，tanCAE，

AE

CE13.2013.20

∴AE30.0m．

tanCAEtan23.80.44

AE

在RtADE中，cosDAE，

AD

AE30.030.0

AD37.5m．

cosDAEcos36.90.80

答：AD的長為37.5m．

k

18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)yax4a0與反比例函數(shù)yk0的圖象交于

x

A，B兩點．已知點A和B的橫坐標分別為6和2．

(1)求a與k的值；

(2)設(shè)直線AB與x軸、y軸的交點分別為C，D，求△COD的面積．

1

【答案】(1)a，k6

2

(2)16

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出a、k的值解題

的關(guān)鍵．

（1）把A、B橫坐標分別代入兩個函數(shù)解析式，根據(jù)同一個橫坐標下，兩個函數(shù)的函數(shù)值相同建立方

程組求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求可得直線AB的解析式，則可求出點C和點D的坐標，坐標可得OC，OD的長，

據(jù)此根據(jù)三角形面積計算公式求解即可．

k

6a4

6

【詳解】（1）解：由題意得，，

k

2a4

2

1

解得a，k6．

2

1

（2）解：由（1）知直線AB對應(yīng)的一次函數(shù)表達式為yx4．

2

1

在yx4中，令y0，得x8，令x0，得y4，

2

∴C8,0，D0,4，

∴OC8．OD4．

11

∴△COD的面積為OCOD8416．

22

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19．某景區(qū)管理處為了解景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從該景區(qū)5月份的游客中隨機抽取50人對景區(qū)的服務(wù)質(zhì)

量進行評分，評分結(jié)果用x表示（單位：分），將全部評分結(jié)果按以下五組進行整理，并繪制統(tǒng)計表，部分

信息如下：

組別ABCDE

分組45x5555x6565x7575x8585x95

人數(shù)3315a10

請根據(jù)以上信息，完成下列問題：

(1)a________；

(2)這50名游客對該景區(qū)服務(wù)質(zhì)量評分的中位數(shù)落在________組；

(3)若游客評分的平均數(shù)不低于75，則認定該景區(qū)的服務(wù)質(zhì)量良好．分別用50，60，70，80，90作

為A，B，C，D，E這五組評分的平均數(shù)，估計該景區(qū)5月份的服務(wù)質(zhì)量是否良好，并說明理由．

【答案】(1)19；

(2)D；

(3)該景區(qū)5月份的服務(wù)質(zhì)量良好，理由見解析．

【分析】本題主要考查了中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)中位數(shù)的定義確定中位數(shù)在哪

一組，利用加權(quán)平均數(shù)的公式求出平均數(shù)．

（1）根據(jù)抽查的總?cè)藬?shù)和其余4組的人數(shù)計算出D組的人數(shù)，即為a的值；

（2）根據(jù)中位數(shù)的定義可知，把這50人的評分結(jié)果按照從小到大的順序排列，第25和26個評分結(jié)果

的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)A，B，C組的人數(shù)和D組的人數(shù)判斷中位數(shù)在D組；

（3）利用加權(quán)平均數(shù)的公式可以求出50名游客評分的平均數(shù)為76分，所以該景區(qū)5月份的服務(wù)質(zhì)量

良好．

【詳解】（1）解：a5033151019，

故答案為：19；

（2）解：一共抽查了50人，

把這50人的評分結(jié)果按照從小到大的順序排列，第25和26個評分結(jié)果的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

又331521，33151940，

第25和26個評分結(jié)果在D組，

這50名游客對該景區(qū)服務(wù)質(zhì)量評分的中位數(shù)落在D組，

故答案為：D；

1

（3）解：x35036015701980109076，

50

7675，

該景區(qū)5月份的服務(wù)質(zhì)量良好．

20．如圖，四邊形ABCD的頂點都在半圓O上，AB是半圓O的直徑，連接OC，DAB2ABC180．

(1)求證：OC∥AD；

(2)若AD2，BC23，求AB的長．

【答案】(1)詳見解析

(2)6

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，熟知圓周角定理和

垂徑定理是解題的關(guān)鍵．

（1）由圓周角定理可得∠AOC2∠ABC，則可證明DABAOC180，據(jù)此可證明OC∥AD．

（2）連接BD，交OC于點E．由題意知，由直徑所對的圓周角是直角得到ADB90，即ADBD，

則可證明OCBD，由垂徑定理可得點E為BD的中點，則OE是△ABD的中位線，即可得到

122

OEAD1．設(shè)半圓的半徑為r，則CEr1．由勾股定理知r2123r1，解方程即可得到

2

答案．

【詳解】（1）證明：∵∠AOC2∠ABC，DAB2ABC180，

∴DABAOC180，

∴OC∥AD．

（2）解：連接BD，交OC于點E．由題意知，

∵AB是O的直徑，

∴ADB90，即ADBD，

∵OC∥AD，

∴OCBD，

∴點E為BD的中點，

又∵O是AB的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

1

∴OEAD1．

2

設(shè)半圓的半徑為r，則CEr1．

由勾股定理知，OB2OE2BE2BC2CE2，

22

即r2123r1，

解得r13，r22（舍去）．

∴AB2r6．

六、（本題滿分12分）

21．綜合與實踐

【項目主題】

某勞動實踐小組擬用正三角形和正六邊形兩種環(huán)保組件改善小區(qū)幼兒園室內(nèi)活動場地．

【項目準備】

（1）密鋪知識學(xué)習(xí)：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，使圖形之間既沒有空隙

也沒有重疊地鋪成一片，叫做圖形的密鋪．

（2）密鋪方式構(gòu)建：運用密鋪知識得到圖1、圖2所示的兩種拼接方式，其中正六邊形和正三角形組

件的邊長均為20cm．

（3）密鋪規(guī)律探究：為方便研究，稱圖3、圖4分別為圖1、圖2的“拼接單元”．

觀察發(fā)現(xiàn)：自左向右拼接圖1時，每增加一個圖3所示的拼接單元，則增加1個正六邊形和2個正三

角形，長度增加40cm，從而x個這樣的拼接單元拼成一行的長度為40x10cm．

自左向右拼接圖2時，每增加一個圖4所示的拼接單元，則增加①個正六邊形和②個正三角形，長度

增加③cm，從而y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為④cm．

【項目分析】

（1）項目條件：場地為長7.4m、寬6m的矩形；正三角形和正六邊形組件的單價分別為1元和5元．

（2）基本約定：項目成本僅計算所需組件的費用．

（3）方式確定：

（i）考慮成本因素，采用圖1方式進行密鋪；

（ii）每行用正六邊形組件頂著左墻開始，從左向右用一個正六邊形與兩個正三角形組件按圖1所示方

式依次交替拼接，當不能繼續(xù)拼接時，該行拼接結(jié)束；

（iii）第一行緊靠墻邊，從前往后按相同方式逐行密鋪，直至不能拼接為止．

（4）方案論證：按上述確定的方式進行密鋪，有以下兩種方案．

方案一：第一行沿著長度為6m的墻自左向右拼接（如圖5）．

根據(jù)規(guī)律，令40x10600，解得x14.75，所以每行可以先拼14塊拼接單元，即共用去14個正六邊

形和28個正三角形組件，由401410570知，所拼長度為570cm，剩余30cm恰好還可以擺放一個正六

邊形組件（如圖5所示的陰影正六邊形）．最終需用15個正六邊形和28個正三角形組件，由515128103

知，方案一每行的成本為103元．

373

由于每行寬度為203cm（按31.73計算），設(shè)拼成s行，則203s740，解得s21.34，

3

故需鋪21行．由103212163知，方案一所需的總成本為2163元．

方案二：第一行沿著長度為7.4m的墻自左向右拼接．

類似于方案一的成本計算，令40x10740

方案二每行的成本為⑤元，總成本為⑥元．

【項目實施】

根據(jù)以上分析，選用總成本較少的方案完成實踐活動（略）．

請將上述材料中橫線上所缺內(nèi)容補充完整：

________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．

【答案】①1；②6；③60；④60y10；⑤126；⑥2142

【分析】本題主要考查了平面鑲嵌，通過觀察圖4所示的拼接單元，數(shù)出增加的正六邊形和正三角形

的數(shù)量，再根據(jù)邊長計算出長度的增加量，進而得出y個拼接單元拼成一行的長度．涉及根據(jù)給定的拼接

條件進行不等式計算，以確定拼接單元數(shù)量、組件數(shù)量，

進而計算每行成本和總成本．方案二的計算方法與方案一類似．

【詳解】解：項目主題：

觀察圖4可知，每增加一個圖4所示的拼接單元，增加1個正六邊形和6個正三角

形；

由正六邊形和正三角形組件的邊長均為20cm，觀察圖4可得

增加的長度為3個邊長，即32060cm

計算y個拼接單元拼成一行的長度第一個拼接單元有一個正六邊形左邊的10cm，每增加一個拼接單元

長度增加60cm，所以y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為60y10cm

項目分析：

計算方案二每行可拼接的單元數(shù)量令40x10740，

移項可得40x74010，即40x730，

兩邊同時除以40，解得x18.25，

每行可以先拼18塊拼接單元．

計算方案二每行所需的正六邊形和正三角形組件數(shù)量

拼18塊拼接單元，

共用去18個正六邊形和21836個正三角形組件．

由401810730知，所拼長度為730cm，

剩余74073010cm，無法再擺放組件．

由5181369036126知，方案二每行的成本為126元．

由于每行寬度為203cm（按31.73計算），設(shè)拼成s行，

則203s600，

600

兩邊同時除以203，s10317，

203

故需鋪17行．

計算方案二的總成本126172142．

方案二所需的總成本為2142元．

項目實施：

兩種方案比較可知：21632142．

選方案二完成實踐活動．

故答案為：①1；②6；③60；④60y10；⑤126；⑥2142．

七、（本題滿分12分）

22．已知點A在正方形ABCD內(nèi)，點E在邊AD上，BE是線段AA的垂直平分線，連接AE，AB．

(1)如圖1，若BA的延長線經(jīng)過點D，AE1，求AB的長；

(2)如圖2，點F是AA的延長線與CD的交點，連接CA．

①求證：CAF45；

②如圖3，設(shè)AF，BE相交于點G，連接CG，DG，DA．若CGCB，判斷ADG的形狀，并說明

理由．

【答案】(1)12

(2)①詳見解析；②ADG為等腰直角三角形，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AEAE，BABA，證明△EAB≌△EAB，得出

EABEAB90，結(jié)合正方形的性質(zhì)可判斷ADE是等腰直角三角形，求出AEAE1，然后根據(jù)

勾股定理求出DE，即可求解；

（2）①由正方形的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì)得出BABABC，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)

角和定理可求出AAC135，即可求解；

②（方法一）作CNBG交BG于點M，交AB于點N．根據(jù)三線合一的性質(zhì)得出M為BG的中點．可

1

證CN∥AF，根據(jù)平行線分線段成比例判斷出N是AB的中點，根據(jù)三角形中位線定理得出BNAB．根

2

11

據(jù)AAS證