/山東省德州市實驗中學2025-2026學年第一學期高一年級10月份月考數(shù)學試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】并集的概念及運算、補集的概念及運算【分析】根據(jù)并集和補集的概念求出答案.【詳解】，又，故，又，所以.故選：D2．已知命題：，，則?是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知識點】全稱命題的否定及其真假判斷【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定得到命題的否定為，.故選：C.3．已知集合，若，則a的取值是（

）A． B．C．或 D．或或0【答案】D【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】對進行分類討論，根據(jù)來求得的所有可能的取值.【詳解】當時，，滿足.當時，，要使，則需或，解得或，綜上所述，的所有可能的取值為或或0故選：D4．下列各式中，正確的是（

）①

②

③

④

⑤

⑥⑦

⑧A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦【答案】A【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個集合的包含關(guān)系、空集的概念以及判斷【分析】利用集合中元素的性質(zhì)，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系依次判斷即可.【詳解】對于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正確，余者不正確，故①③錯誤，②正確；對于④⑤，元素與集合之間的關(guān)系用“”或“”表示，故不正確，成立，故④錯誤，⑤正確；對于⑥⑦，集合與集合之間是包含或不包含的關(guān)系，故不正確，正確，故⑥錯誤，⑦正確；對于⑧，由集合中元素的無序性，可知，故正確，故⑧正確；綜上：正確的命題有②⑤⑦⑧.故選：A.5．已知條件或，則使得條件p成立的一個充分不必要條件是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【知識點】判斷命題的充分不必要條件【分析】根據(jù)充分不必要的定義判斷即可.【詳解】使得條件p成立的一個充分不必要條件應為或的真子集，只有或滿足要求.故選：.6．下列選項中兩個集合相等的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【知識點】判斷兩個集合是否相等【分析】根據(jù)集合的含義、集合相等的定義逐一判斷可得選項.【詳解】解：對于A選項，，，，故A不正確；對于B選項，，，故B正確；對于C選項，，，，故C不正確；對于D選項，與中的元素不同，，故D不正確.故選：B.7．已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．8 D．7【答案】D【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、求集合的子集（真子集）【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系確定集合的元素，再根據(jù)集合的元素個數(shù)分類判斷可得.【詳解】由，再由，得，.由CB，根據(jù)集合C中的元素個數(shù)分3類：①集合C中有2個元素時，集合C只能是，共1個；②集合C中有3個元素時，集合C可以是，，，共3個；③集合C中有4個元素時，集合C可以是，，，共3個；所以滿足且CB的集合的個數(shù)為個.故選：D.8．關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和為4，則實數(shù)的值為（）A．4 B．-10 C．2 D．-10或2【答案】C【知識點】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【解析】用韋達定理得出根與系數(shù)的關(guān)系，然后計算可得．【詳解】方程有實根，則，解得或，設(shè)方程的兩根為，則，，∴，解得（舍去）．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題中利用韋達定理得，然后利用去化簡求值，這里有一個前提條件：方程有實解，因此有個隱含條件：由此求出參數(shù)的范圍，只有在這個范圍內(nèi)的參數(shù)值才是所求解．二、多選題（本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．下列四個命題中正確的是（

）A．已知集合，若，則或B．函數(shù)的最小值為2C．設(shè)，若，則D．不等式成立的一個充分不必要條件是或【答案】CD【知識點】集合的性質(zhì)、基本不等式、不等式的性質(zhì)及充分不必要條件【分析】對于選項A，根據(jù)集合中元素的互異性來判斷；對于選項B，利用基本不等式求最值時需要注意等號成立的條件；對于C選項，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷；對于D選項，先求出不等式的解集，再根據(jù)充分不必要條件的定義判斷.【詳解】選項A：已知集合，若，則或。當時，，此時集合A中兩個元素相同，不滿足集合中元素的互異性，舍去。當時，即，解得或(舍去），所以，故選項A錯誤。選項B：函數(shù)，令，則，函數(shù)可化為，而根據(jù)基本不等式，當且僅當，即時取到等號，故原函數(shù)取不到最小值2，故選項B錯誤。選項C：已知，若，因為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式兩邊同時除以同一個正數(shù)，不等號方向不變，所以，即，故選項C正確。選項D：解不等式，則解，得或；又，即，所以不等式的解集為.因為真包含于，所以是不等式成立的一個充分不必要條件，故選項D正確.綜上，答案是CD.故選：CD10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】ABD【知識點】解含有參數(shù)的一元二次不等式、一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系、韋達定理【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程解得關(guān)系，可以確定參數(shù)的關(guān)系，然后進一步求解【詳解】由題設(shè)條件知：，且方程的兩根分別為與，，整理得：，故選項A正確；又不等式可化為：，，故選項B正確；，∴選項C不正確；不等式可化為：，又，∴原不等式可化為：，解得：，故選項D正確.故選：ABD.11．設(shè)正實數(shù)m，n滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為1C．的最大值為2 D．的最小值為【答案】ABC【知識點】基本（均值）不等式的應用【分析】A項先用乘1法變形，再用均值不等式逐項判斷即可.【詳解】因為，所以當且僅當即時等號成立，故A正確；因為所以，當且僅當時等號成立，故B正確；因為所以當且僅當時等號成立，故C正確；當且僅當時等號成立，故D錯誤；故選：ABC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．比較大小：（填：>、<、=）．【答案】【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，即可求解.【詳解】要比較與的大小關(guān)系，即比較與的大小關(guān)系，，即，所以.故答案為：13．已知全集，，，求.【答案】{2，7，11，13}【分析】解題的關(guān)鍵在于明確全集U，然后根據(jù)已知的集合運算結(jié)果，逐步分析集合A和B的元素情況，從而確定集合A.【知識點】本題考查集合的運算，涉及補集、交集的概念.【詳解】已知全集，質(zhì)數(shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù).所以U={2，3，5，7，11，13，17，19}.已知，這表示19和17屬于B，但不屬于A.已知，這表示11和7屬于A，但不屬于B.已知，根據(jù)德摩根定律，這表示5和3既不屬于A也不屬于B.由上述分析可知，19和17不屬于A，11和7屬于A，5和3不屬于A.那么剩下的元素2、13需要進一步分析。因為，，所以2和13既不屬于B也不屬于，即2和13屬于A。綜上，A={2，7，11，13}故答案為：A={2，7，11，13}.14．命題：，使得是真命題，則的取值范圍是．【答案】（2，+∞）【分析】本題可先將特稱命題轉(zhuǎn)化為全稱命題的否定，然后根據(jù)一元二次不等式恒成立的條件，結(jié)合判別式來確定a的取值范圍.【知識點】本題考查特稱命題以及一元二次不等式的求解【詳解】已知命題：，使得是真命題，根據(jù)特稱命題與全稱命題的關(guān)系，其否定“”是假命題.令，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為.當，即a≤0時：函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，此時恒成立，不滿足題意.當，即a>0時：要使，使得成立，即在（0，+∞）上存在小于0的值.因為f（x）的圖象開口向上，所以只需△=a24>0，解得a>2或a<-2.又因為a>0，所以a>2.綜上，a的取值范圍是（2，+∞）.故答案為：（2，+∞）.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．（本題13分）已知集合，實數(shù)集R為全集.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【知識點】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、補集的概念及運算、解含有參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）解不等式，得到集合，利用并集和補集的概念進行求解；（2）根據(jù)交集結(jié)果得到包含關(guān)系，并根據(jù)包含關(guān)系得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）已知，則，解得，所以，已知，則，解得，則，，.綜上，，（2）因為，所以.當C=?時，，解得.當C≠?時，則，解得，綜上，的取值范圍是.16．（本題15分）(1)當時，求的最大值；(2)已知正數(shù)滿足，求的最小值，并求出此時的值；(3)已知正數(shù)滿足，求的最小值，并求出此時的值．【答案】(1)當時，取得最大值(2)當時，取得最小值(3)當時，取得最小值4.【詳解】（1）已知，則，那么.根據(jù)基本不等式（當且僅當時等號成立），對于，其中，因為，所以，當且僅當時等號成立.那么，所以.由，即，解得或（舍去，因為）.因此，當時，取得最大值.（2）已知，則.故原式=根據(jù)基本不等式（當且僅當時等號成立），對于，其中，因為，所以，當且僅當時等號成立.那么由且，聯(lián)立方程組，解得因此，當時，取得最小值.（3）因為已知，則.根據(jù)基本不等式（當且僅當時等號成立），對于，其中，因為，所以，當且僅當時等號成立.那么由且，聯(lián)立方程組，解得.因此，當時，取得最小值4.17．（本題15分）已知，命題，；命題，．(1)若p是真命題，求a的最大值；(2)若p、q中有且只有一個是真命題，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)或【知識點】已知命題的真假求參數(shù)、根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、根據(jù)特稱（存在性）命題的真假求參數(shù)【分析】（1）命題p為真得出不等式恒成立利用二次函數(shù)求給定區(qū)間上的最值即可求出a的最大值.（2）先求出命題q為真時a的取值范圍，q為假時a的取值范圍，然后利用集合的運算求a的取值范圍.【詳解】（1）若p是真命題，即恒成立，時，的最小值為，所以，即a的最大值為.（2）若q是真命題，，解得或，若q是假命題，，解得，由已知p、q一真一假，若p真q假，則，若q真p假，則，綜上：或18．（本題17分）(1)關(guān)于的不等式在實數(shù)范圍內(nèi)恒成立，求的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式：.【答案】(1)的取值范圍是(2)當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為【知識點】含參一元二次不等式的恒成立問題、求解含參一元二次不等式【分析】（1）一元二次不等式大于零恒成立，只需要二次項系數(shù)大于零，即可；（2）先將不等式進行因式分解，找到對應一元二次方程的根，再討論根的大小關(guān)系，寫出不等式的解集.【詳解】（1）當，即時，不等式化為，對于任意實數(shù)恒成立，所以滿足條件.當，即時，不等式是一元二次不等式，要使其在實數(shù)范圍內(nèi)恒成立，則二次函數(shù)的圖象開口向上，且與軸無交點.所以，即，且化簡得.解不等式，可得.結(jié)合，取交集得綜上兩種情況，取和得并集，可得.因此，的取值范圍是（2）當時，不等式化為，解得.當時，不等式左邊因式分解，可得.方程的兩根為.當時，不等式的解集為.當時，比較與1的大小：由（因為），可得，所以不等式的解集為.因此，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.19．（本題17分）已知n元有限集，若，則稱集合A為“n元和諧集”.(1)若集合是“二元和諧集”，求m的值；(2)若正數(shù)集是“二元和諧集”，試證明：元素，中至少有一個大于2；(3)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在，1個，理由見解析【知識點】放縮法、集合新定義、一元二次