答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)山西省山西現(xiàn)代雙語(yǔ)學(xué)校南校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．集合的子集的個(gè)數(shù)是（

）A．7 B．3 C．4 D．82．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則共軛復(fù)數(shù)A． B． C． D．3．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸5．若，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)為自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)），若，，，則A． B．C． D．7．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，且，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知的定義域?yàn)?，其函?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．關(guān)于對(duì)稱 D．二、多選題9．已知a，b，c表示不同的直線，表示平面，下列四個(gè)命題中不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則10．在邊長(zhǎng)為2的正中，滿足相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為11．在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．為的中點(diǎn)B．與所成的角為C．平面D．三棱錐與四棱錐的體積之比等于三、填空題12．已知某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近5場(chǎng)比賽中的得分的折線圖如圖所示，則該運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差為.13．如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是．

14．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則（其中為的倒數(shù)）的最小值為．四、解答題15．某城市戶居民的月平均用電量（單位：千瓦時(shí)）以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求直方圖中的值；(2)求月平均用電量的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(3)在月平均用電量為，，的三組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，并從抽取的戶中任選戶參加一個(gè)訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的戶來自不同組的概率．16．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）證明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求點(diǎn)D到平面PBE的距離；（3）求平面PAD和平面PBE所成銳二面角的余弦值.《山西省山西現(xiàn)代雙語(yǔ)學(xué)校南校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案DBABCDBBABCAD題號(hào)11答案ACD1．D【分析】求出集合，再由子集個(gè)數(shù)為即可求解.【詳解】由題意，1，，有三個(gè)元素，其子集有8個(gè)．故選：D．2．B【詳解】，故選B.3．A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，由求得，進(jìn)而由求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：；.故選：A.4．B【分析】根據(jù)題意先求積水深9寸的水面半徑，求出盆中水的體積，根據(jù)平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積即可求解.【詳解】由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，所以盆中水的體積為（立方寸）．所以平地降雨量等于（寸），故選：B.5．C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．6．D【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較，，大小關(guān)系，利用單調(diào)性求出．【詳解】解：，故，而顯然為減函數(shù)，所以，故選：．7．B【分析】根據(jù)題意，，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D，可得，由可得，，在，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可知：，可求得，判斷出為銳角，即可求得答案.【詳解】，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D

又，解得在中，由正弦定理可知：即，為銳角，故.故選：B.8．B【分析】由可得函數(shù)的周期性，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性即可得到函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)在的函數(shù)解析式判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，最后根據(jù)周期性與奇偶性求出即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋浜瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又，所以，所以，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，即，所以函?shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D：，又時(shí)，，所以，故D正確；故選：B9．ABC【分析】在A中，a與b相交、平行或異面；在B中，或；在C中，a與b相交、平行或異面；在D中，由線面垂直的性質(zhì)定理得.【詳解】由題意知，A：若，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；B：若，則或，故B錯(cuò)誤；C：若，則a與b相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；D：若，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故D正確.故選：ABC10．AD【分析】根據(jù)給定條件，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，是上的點(diǎn)，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖：

則，又因?yàn)椋礊檫吷系囊粋€(gè)靠近的三等分點(diǎn)，于是，設(shè)，則，而，由三點(diǎn)共線得，解得，即，因此是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)?，，B錯(cuò)誤；顯然，，因此，C錯(cuò)誤；又因?yàn)椋栽诜较蛏系耐队跋蛄?，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及幾何圖形中的向量運(yùn)算，根據(jù)圖形特征建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.11．ACD【分析】在A中，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，推導(dǎo)出，由四邊形是正方形，從而，進(jìn)而；在B中，由，得（或其補(bǔ)角）為與所成角，推導(dǎo)出，從而與所成角為；在C中，推導(dǎo)出，，由此能證明平面；在D中，設(shè)，則，．由此能求出三棱錐與四棱錐的體積之比等于．【詳解】解：在A中，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面平面，∵平面，平面，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，故A正確；在B中，∵，∴（或其補(bǔ)角）為與所成角，∵平面，平面，∴，在中，，∴，∴與所成角為，故B錯(cuò)誤；在C中，∵四邊形為正方形，∴，∵平面，平面，∴，∵，、平面，∴平面，故C正確；在D中，設(shè)，則，．∴，故D正確．故選：ACD．12．2【分析】由折線圖寫出每場(chǎng)比賽的分值并求，由求方差，進(jìn)而可得標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】由圖知，該運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽的得分分別為10，13，12，14，16，則平均數(shù)為，∴方差為，所以標(biāo)準(zhǔn)差為2.故答案為：2.13．【詳解】如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

考點(diǎn)：異面直線的夾角.14．3【分析】先運(yùn)用三角函數(shù)的兩角和公式、二倍角公式，將原式化簡(jiǎn)為，結(jié)合均值不等式，即可求解．【詳解】，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，的最小值為3，故答案為：3．15．(1)(2)中位數(shù)是，平均數(shù)是(3)【分析】（1）根據(jù)頻率之和為，可得解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的中位數(shù)及平均數(shù)公式計(jì)算；（3）利用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【詳解】（1）由，得，所以直方圖中的值是；（2）中位數(shù)：因?yàn)?，且，所以月平均用電量的中位?shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，由，解得，所以月平均用電量的中位數(shù)是．

平均數(shù)：；（3）月平均用電量在的用戶有戶，月平均用電量在的用戶有戶，月平均用電量在的用戶有戶．抽樣方法為分層抽樣，在，，中的用戶比為，所以在，，中分別抽取戶、戶和戶．設(shè)參加節(jié)目的戶來自不同組為事件，將來自的用戶記為，，，來自的用戶記為，，來自的用戶記為，在戶中隨機(jī)抽取戶，，共包含個(gè)樣本點(diǎn)，其中，包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故參加節(jié)目的戶來自不同組的概率．16．（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】(1)利用面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明平面.(2)在三棱錐中，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.(3)先作出所求二面角并證明，再用解三角形知識(shí)求解.【詳解】(1)證明：連接BD，由四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又AB//CD，所以因?yàn)镻A⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.又平面PAB，平面PAB，AB∩PA=A，所以BE⊥平面PAB，又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB.又PA=2，AB=1，所以.因?yàn)檎切蜝CD中，BC=1，E是CD的中點(diǎn)，所以.因?yàn)锽E⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB，所以因?yàn)椋琍A⊥底面ABCD，設(shè)點(diǎn)D到平面PBE的距離為d，所以，而所以，即點(diǎn)D到平面PBE的距離為.(3)延長(zhǎng)BE、AD，交于點(diǎn)F，連PF，則PF為平面PAD和平面PBE的交線.取AD中點(diǎn)H，連BH，過B作，垂足為I，連HI.由四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形，因?yàn)镠是AD的中點(diǎn)，所以.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥BH.又平面PAD，平面PAD，AD∩