2/2第十一章不等式與不等式組單元重難點題型歸納與訓練題型歸納題型歸納題型講解題型講解一.不等式及不等式組定義【題型解讀】此種題主要是根據(jù)不等式與一元一次不等式定義解題例1．下列數(shù)學表達式中，不等式有（

）①-3<0；②a+b；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠2；A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例2．下列式子①5>4；②3x≥2π+1；③x+y>1；④x2+3>2x；⑤1A．4個 B．3個 C．2個 D．1個對應練習：1.下列式子中，①2x=7；②3x+4y；③-3<2；④2y-3≥0；⑤b≠1；⑥x-y>1．不等式有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．1個2.下列式子中：①3>0；②5x-4<8；③2x+4y；④m=-1；⑤t2+2t≥-1．其中不等式有（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知m-3x|m|-2-2>6是關于x4.已知k+3k-2+5<-4是關于x【解法提煉】根據(jù)定義，通過未知數(shù)的次數(shù)為1，未知數(shù)系數(shù)不等于0，建立方程求字母的取值二.不等式的性質【題型解讀】此種題型主要考查不等式的性質例1．已知a<b，則下列式子中不正確的是（

）A．a(chǎn)-2<b-2 B．a(chǎn)+3<b+3C．2a<2b D．-3a<-3b例2.比較大小，用“>”或“<”填空：若x<y，且(a-b)x>(a-b)y，則ab．對應練習：1.若a>b，則下列不等式中，一定成立的是（

）A．a(chǎn)-3<b-3 B．-12a>-12b C2.設a>b>0，有下列不等式：①a-b>0；②-4+a>-4+b；③-3a>-3b；④-12a-1<-12b-1A．1 B．2 C．3 D．43.設x<y，用“＜”或“＞”號填空（1）x+3y+3；

（2）23x（3）-2x-2y；

（4）x-ny-n．4.若x＜y，且(a+5)x＞(a+5)y，則a的取值范圍()A．a(chǎn)>-5 B．a(chǎn)≥-5 C．a(chǎn)<-55．（24-25八年級下·江西南昌·階段練習）如果關于x的不等式a-2x>5的解集是x<5a-2，那么a6．（24-25七年級下·安徽蚌埠·階段練習）若不等式a-3x>2a-3的解集為x<2，則a的取值范圍是【解法提煉】①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或整式，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.(易錯點)三.解不等式及不等式組【題型解讀】此種題型主要考查利用不等式的性質求解集例1．（24-25八年級下·河北唐山·階段練習）解下列不等式(1)4(x+1)<x-5(2)1-例2.解不等組：5x+4<3對應練習：1.求不等式2(x-1)>3x-1的最大整數(shù)解．2．解不等式：2x-13．解不等式組2x+7>3(x+1)24．求不等式組4(x+1)≤7x-8x-5<5．求不等式組2x-6>016．求不等式組2x-1>x+1x+8≥4x-1【解法提煉】①解題步驟去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1；②易錯點去分母和系數(shù)化為1，注意不等號是否變號；③求不等式組解集口訣：大大取大，小小取小，大小小大中間找，小小大大無處找。四.求含參不等式(組)中字母的取值【題型解讀】此種題型考查解集相同例1.若關于x的不等式-3x+a≤2的解集是x≥1,求a的值．例2.如果不等式組x+2a≥42x-b3<1的解集是0≤x＜1，那么a+b對應練習：1．若關于x的不等式3x+2>5x+2(m+x)的解集與不等式2x+53-1<2-x的解集相同，則m2.已知不等式mx+n＞0的解集為x＜2，則mn+n3．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習）若關于x的不等式2x-a<0的解集和不等式2x-4<0的解集相同，則a的值為4．（24-25七年級下·全國·期末）已知不等式組x+1<2ax-b>1的解集是2<x<3，則關于x的方程ax+b=0的解為5．（24-25七年級下·全國·單元測試）若不等式組x+m>2n-x>-4的解集為1<x<2，則m+n20256.關于x的不等式組2x+1>3a-x>1的解集為1＜x＜4，則a的值為【解法提煉】求解不等式再根據(jù)已知的解集建立方程求字母的取值五.求含參不等式(組)中字母的取值范圍【題型解讀】此種題型主要考查不等式的性質例1．若關于x的不等式2x-2a≤0的正整數(shù)解是1、2、3，則a的取值范圍是（

）A．3<a<72 B．3<a<4 C．3≤a<7例2.若不等式x≤m的解都是不等式2-3x≥5的解，則m的取值范圍是（

）A．m≤-1 B．m<-1 C．m≥-1 D．m>-1例3.已知關于x的不等式組x-a<0,2x+3>0的解集中至少有5個整數(shù)解，則整數(shù)a的最小值為（

A．2 B．3 C．4 D．5例4.（22-23九年級下·河南洛陽·期末）如果關于x的一元一次不等式組-3x+5<-4x-m>-1的解集是x>3，求m的取值范圍對應練習：1．若數(shù)a使關于x的不等式5x-2≥x+a的最小正整數(shù)解是x=1，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)>-2 B．a(chǎn)<2 C．-2<a<2 D．a(chǎn)≤22．已知不等式x-a<0的正整數(shù)解有3個，那么a的取值范圍是（）A．3<a<4 B．3<a≤4 C．3≤a≤4 D．3≤a<43．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）若關于x的不等式2x-a>0的解集中存在負數(shù)解，但不存在負整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≥-2 B．a(chǎn)<0 C．-2≤a<0 D．4.若不等式組1+3x≥2x-3x+m≤1無解，求m的取值范圍5.若關于x的不等式組x-2(x+1)≤1x-m2≤x-226.若關于x的不等式組4+x3>x+22x+a2<07.關于x的不等式組2x+1＞mx＜-38．已知關于x，y的二元一次方程組x+y=a+22x-y=2a+1的解均為正數(shù)，且不等式組x-3x-2≥4a1+2x3>x-1的解集為9.已知關于x、y的二元一次方程組x-y=a+32x+y=5a的解滿足x>y，且關于x的不等式組2x+1<2a2x-11410．關于x的一元一次不等式組3x2-m≤x+12x-4≤x的解集為x≤4，且關于y且的方程my-2y=4有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m【解法提煉】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識點，能求出字母的取值范圍是解此題的關鍵．求不等式組的解集的規(guī)律：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．六.求含參不等式的解集【題型解讀】此種題型考查不等式的解集例1.已知關于x的不等式a-bx>a+b的解集是x>2，求不等式ax>b對應練習：1．已知ax-b>0的解集為x<-25，則不等式bx+a>0的解集為（A．x>52 B．x<52 C．2．設關于x的不等式2a-bx+a-5b>0的解集為x<65，求關于x3.已知關于x的不等式（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜18，則6ax＞7b的解集是【解法提煉】利用不等式的解集確定字母的取值范圍以及兩字母之間的數(shù)量關系．七.含參二元一次方程組與不等式【題型解讀】本題考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，解題的關鍵是把參數(shù)作已知數(shù)表示出x+y的值，再得到關于參數(shù)的不等式．例1.若關于x、y的二元一次方程組x-3y=2a+3x+5y=3的解滿足x+y≤0，求對應練習：1．（23-24七年級下·廣西賀州·階段練習）已知關于x,y的方程組x-3y=m-1x+y=-3m+7．若方程組的解滿足x-y<5，則m的最小整數(shù)值為（

A．-1 B．-2 C．0 D．12.已知二元一次方程組{x+y=3t+1x-y=3t-3，xy≥2，則A．1 B．23 C．0 D．3．已知x、y滿足2x+y=53x-4y=11m+2和x+y≤0，求m4．已知關于x，y的方程組2x+y=-10x+2y=-3k-11的解滿足x≤0，y<0，若k為整數(shù)，且關于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集為t>1，則k的值為5．（22-23七年級下·江蘇南通·期中）已知關于x,y的方程組&&2x-y=3a-5x+2y=5-a的解都為非負數(shù)，若a+b=4,W=2a-3b，則W的最小值為【解法提煉】本題考查了解二元一次方程組和一元一次不等式，正確解方程組和不等式是解題的關鍵．八.不等式(組)與盈虧問題【題型解讀】本題考查了一元一次不等式組的應用，準確理解題意，找出數(shù)量關系是解題的關鍵．例1.若干名學生住宿舍，若每間住4人，則2人無處住；若每間住6人，則還有一間不空也不滿，若設有x間宿舍，則可列不等式組為（

）A．4x+2-6x-1>04x+2-6C．4x+2-6x-2>04x+2-6對應練習：1．（24-25九年級上·貴州銅仁·期中）將一些書分給九（1）班的所有學生，若每人分4本，則還剩77本書；若每人分6本，則有一名學生能分到書但少于5本，求這些書的本數(shù)與九（1）班學生的人數(shù)，設九（1）班有學生x人，則列出的不等式組是（

）A．4x+77-6x>04x+77-6x<5 B．C．4x+77-6x-1>04x+77-62．（22-23八年級下·四川達州·期中）八年級某班級部分同學去植樹，若每人平均植樹8棵，還剩7棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學植樹的棵數(shù)不到8棵．若設同學人數(shù)為x人，則下列各項能準確的求出同學人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是（

）A．8x+7≤8+9(x-1) B．8x+7≥9(x-1)C．8x+7<8+9x-18x+7≥9x-13.將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數(shù)為x，則下列正確的是（）A．0≤5x+12-8(x-1)<8 B．0<5x+12-8(x-1)≤8C．1≤5x+12-8(x-1)<8 D．1<5x+12-8(x-1)≤8【解法提煉】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，根據(jù)各數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式組是解題關鍵九.不等式(組)與方案設計【題型解讀】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用例1.（24-25八年級下·陜西西安·階段練習）為貫徹執(zhí)行“德，智，體，美，勞”五育并舉的教育方針，某中學組織8名教師，247名學生前往勞動實踐基地開展勞動實踐活動，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的客車，它們的載客量和租金如下表所示：甲型客車乙型客車載客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320(1)學校計劃此次勞動實踐活動共租8輛車，為了保障安全，每位師生都要有座位，但租金總費用不超過3100元，請問有幾種租車方案？(2)學校應該如何租車才能使費用最少，最少費用是多少元？例2.（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）小紅家開了一家糕點店，現(xiàn)有11kg面粉，9.4kg雞蛋，計劃加工一般糕點和精制糕點兩種產(chǎn)品共50盒．已知加工1盒一般糕點需0.3kg面粉和0.1kg雞蛋；加工1盒精制糕點需0.1kg面粉和0.3kg雞蛋．(1)有哪幾種加工方案？(2)如果銷售1盒一般糕點和1盒精制糕點的利潤分別為3元和4元，那么按哪一種方案加工小紅家可獲得最大利潤？最大利潤是多少？對應練習：1．（24-25八年級下·山西·階段練習）某小區(qū)計劃購買10臺健身器材供小區(qū)居民鍛煉使用，了解到購買1臺B型健身器材比購買1臺A型健身器材貴200元，購買2臺A型健身器材和5臺B型健身器材共花8000元．(1)A型健身器材和B型健身器材的單價各是多少元？(2)該小區(qū)計劃購買B型健身器材的數(shù)量不得超過A型健身器材，購買資金不低于10800元．請通過計算說明共有幾種購買方案？2.暑期臨近，學生們也可輕松逛逛商場，選擇自己心儀的衣服.安岳上府街一服裝店老板打算不錯失這一良機，計劃購進甲、乙兩種T恤.已知購進甲T恤2件和乙T恤3件共需310元；購進甲T恤1件和乙T恤2件共需190元1求甲、乙兩種T恤每件的進價分別是多少元？2為滿足市場需求，服裝店需購進甲、乙兩種T恤共100件，要求購買兩種T恤的總費用不超過6540元，并且購買甲T恤的數(shù)量應小于購買甲乙兩種T恤總數(shù)量的14，請你通過計算，確定服裝店購買甲乙兩種T3．為保護環(huán)境，我縣公交公司計劃購買甲型和乙型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，若購買甲型公交車1輛，乙型公交車3輛，共需380萬元；若購買甲型公交車2輛，乙型公交車2輛，共需360萬元．(1)求購買甲型和乙型公交車每輛各需多少萬元？(2)預計在某線路上甲型和乙型公交車每輛年均載客量分別為50萬人次和60萬人次，若該公司購買甲型和乙型公交車的總費用不超過880萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于520萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？(3)在（2）的條件下，哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少萬元？4．在畢節(jié)市中小學標準化建設工程中，某學校計劃購進一批電腦和一體機，經(jīng)過市場考察得知，購進3臺筆記本電腦和2臺一體機需要4.5萬元，購進2臺筆記本電腦和3臺一體機需要5.5萬元．(1)求筆記本電腦和一體機的單價？(2)根據(jù)學校實際，需購進筆記本電腦和一體機共30臺，總費用不超過30萬元，但不低于28萬元，請你通過計算求出有幾種購買方案．哪種方案費用最低．5．某街道積極響應垃圾分類號召，決定在街道內的所有小區(qū)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱已知購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，購買3個溫馨提示牌和2個垃圾箱共需450．（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？（2）該街道至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案．6．快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀．已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元．(1)甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元？(2)已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數(shù)量分別是1400件和1200件，該公司計劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人2臺，如何購買才能使每小時的分揀量最大？7．（24-25八年級上·重慶·期末）隨著科技的飛速發(fā)展，新能源汽車將我們帶入一個新的出行時代，新能源汽車無疑將成為交通領域的主角．某電車生產(chǎn)車間現(xiàn)有A、B兩個工種的工人，其中A工種有300人，B工種有200人，且同類工種工人月工資相同．已知6個A種工人的月工資與5個B種工人的月工資相同，該生產(chǎn)車間每月共付工資總額540萬元．(1)A、B兩個工種工人的月工資分別為多少萬元；(2)由于市場部訂單數(shù)量增多，該生產(chǎn)車間計劃再招聘A、B兩個工種工人共60人．其中，再招聘的B工種工人不超過再招聘的A工種工人的73，且最終車間所有A工種工人的數(shù)量與車間所有B工種工人的數(shù)量之差不高于80人．那么該車間有幾種招聘方案，哪種方案可使每月付給這60個工人工資總【解法提煉】通過題意列不等式組確定取值范圍，從而確定最優(yōu)方案十.不等式(組)與利潤問題【題型解讀】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的應用，弄清題意找準等量關系列出方程組、找準不等關系列出不等式組、找準各量之間的數(shù)量關系列出函數(shù)解析式是解題的關鍵；例1某市場假期對兒童服裝進行促銷活動，某套童裝套裝的標價為375元，已知該套裝的進價為240元，若要保證利潤率不低于25%例2某班級社會實踐小組組織“義賣活動”，計劃從批發(fā)店購進甲、乙兩類益智拼圖，已知甲類拼圖每盒進價比乙類拼圖多5元，若購進甲類拼圖20盒，乙類拼圖30盒，則費用為600元．(1)求甲、乙兩類拼圖的每盒進價分別是多少元？(2)甲、乙兩類拼圖每盒售價分別為25元和18元．該班計劃購進這兩類拼圖總費用不低于2100元且不超過2200元．若購進的甲、乙兩類拼圖共200盒，且全部售出，則甲類拼圖為多少盒時，所獲得總利潤最大？最大利潤為多少元？對應練習：1.（24-25八年級上·廣西貴港·期末）蘋果的進價是1.5元/千克，香梨的進價是2元/千克；李老板購進蘋果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花費420元；為方便銷售，定價均為7元/千克．(1)李老板購進蘋果和香梨各多少千克？(2)若平均每天賣出蘋果和香梨共50千克，每天利潤不少于268元，則每天賣出的蘋果至少是多少千克？(3)由于天氣炎熱，當蘋果還剩余60千克時，為盡快清倉，李老板決定對剩下的蘋果進行打折銷售，為確保銷售蘋果的總利潤不低于1016元，最低可以打多少折？2．（24-25八年級下·江西九江·階段練習）某商場購進A,B兩種商品，已知購進3件A商品比購進4件B商品費用多60元；購進5件A商品和2件B商品總費用為620元．(1)求A,B兩種商品每件進價各為多少元？(2)該商場計劃購進A,B兩種商品共60件．若A商品按每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，為滿足銷售完A,B兩種商品后獲得的總利潤不低于1700元，則購進A商品的件數(shù)最少為多少？3．（2025·廣東東莞·一模）在東莞市全力推進“百縣千鎮(zhèn)萬村高質量發(fā)展工程”的背景下，荔枝產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，鮮果暢全國．某商販看準商機，購進了一批桂味和糯米糍荔枝．已知購進桂味3千克、糯米糍1千克共需90元，購進桂味1千克、糯米糍2千克共需60元．(1)每千克桂味和糯米糍的進價分別是多少元？(2)該商販決定購進桂味和糯米糍荔枝共100千克，投入資金不超過2040元，請問桂味最多可購進多少千克？將桂味的售價定為每千克40元，糯米糍的售價定為每千克30元，按照桂味的最大購進量，請算出該商販把全部荔枝售出時獲得的總利潤．4．2019年“雙11期間”，某天貓網(wǎng)店銷售甲、乙兩種羽毛球，已知甲種羽毛球每筒的售價比乙種羽毛球多15元，王老師從該網(wǎng)店購買了2筒甲種羽毛球和1筒乙種羽毛球，共花費165元．（1）該網(wǎng)店甲、乙兩種羽毛球每筒的售價各是多少元？（2）根據(jù)消費者需求，該網(wǎng)店決定用不超過8780元購進甲、乙兩種羽毛球共200筒，且甲種羽毛球的數(shù)量大于乙種羽毛球數(shù)量的35，已知甲種羽毛球每筒的進價為50元，乙種羽毛球每筒的進價為40①若設購進甲種羽毛球m筒，則該網(wǎng)店有哪幾種進貨方案？②若所購進羽毛球均可全部售出，請求出最大利潤是多少？5.小圓玩具工廠生產(chǎn)男孩玩具和女孩玩具，若生產(chǎn)男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成本3600元；若生產(chǎn)男孩玩具12件，女孩玩具10件，需要成本6400元．（1）男孩玩具和女孩玩具每件成本多少元？（2）根據(jù)市場調查，銷售一件男孩玩具可獲利100元，銷售1件女孩玩具可獲利240元，小圓玩具工廠計劃投入不超過21萬資金生產(chǎn)兩種玩具，且男孩玩具產(chǎn)量是女孩玩具產(chǎn)量的3倍，預計全部銷售后利潤不少于11萬元，請通過計算說明有幾種生產(chǎn)方案．6．（24-25七年級下·全國·單元測試）某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共10件，其生產(chǎn)成本和利潤如下表：A種產(chǎn)品B種產(chǎn)品成本（萬元/件）25利潤（萬元/件）13(1)若工廠計劃獲利14萬元，則A、B兩種產(chǎn)品應分別生產(chǎn)多少件？(2)若工廠計劃投入資金不多于35萬元，且獲利多于14萬元，則工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？【解法提煉】（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組：（2）根據(jù)數(shù)量關系，正確列出一元一次不等式組十一.不等式與方案選擇【題型解讀】此種題型主要考查分類討論思想例1．某超市采用線下、線上兩種方式銷售A,B兩種款式的公仔紀念品，且線下、線上商品標價相同，在無促銷活動時，購買2個A款和1個B款公仔紀念品共需50元，購買1個A款和2個B款公仔紀念品共需55元．超市為促銷提供以下方案：①線下促銷方案：顧客花費66元辦理會員，憑會員卡購買超市內任何商品都可以打8折．②線上促銷方案：顧客購買超市內任何商品，都可享受9折且包郵的優(yōu)惠．(1)該超市在無促銷活動時，A款公仔紀念品和B款公仔紀念品的標價各是多少元？(2)某班級計劃在超市促銷期間購買A,B兩款公仔紀念品共40個，其中購買A款公仔紀念品m0<m<40個