2025年東京大學(xué)數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.$(-\infty,-1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-1,1)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.5B.10C.11D.133.拋物線$y=2x^2$的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(0,\frac{1}{4})$C.$(0,\frac{1}{8})$D.$(0,\frac{1}{16})$4.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_2=3$，$a_5=9$，則公差$d$為（）A.1B.2C.3D.45.若函數(shù)$y=\sin(2x+\varphi)$為偶函數(shù)，則$\varphi$的值可以是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{4}$D.$\frac{\pi}{6}$6.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程為（）A.$y=x+1$B.$y=2x+1$C.$y=x$D.$y=2x$7.已知集合$A=\{x|x^2-2x-3\leq0\}$，$B=\{x|x>1\}$，則$A\capB$等于（）A.$(1,3]$B.$(1,+\infty)$C.$[-1,+\infty)$D.$[-1,3]$8.若復(fù)數(shù)$z$滿足$z(1+i)=2i$，則$z$等于（）A.$1+i$B.$1-i$C.$-1+i$D.$-1-i$9.一個正方體的棱長為$2$，則該正方體的外接球體積為（）A.$4\sqrt{3}\pi$B.$8\sqrt{3}\pi$C.$12\sqrt{3}\pi$D.$16\sqrt{3}\pi$10.函數(shù)$y=\log_2(x^2-4x+3)$的定義域為（）A.$(1,3)$B.$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$C.$(-3,-1)$D.$(-\infty,-3)\cup(-1,+\infty)$答案：1.D2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.A9.B10.B二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.$y=x^-\frac{1}{3}$B.$y=3^x$C.$y=x^3$D.$y=\log_3x$2.已知直線$l$過點(diǎn)$(1,2)$，且與直線$2x-y+1=0$垂直，則直線$l$的方程可以是（）A.$x+2y-5=0$B.$2x+y-4=0$C.$x-2y+3=0$D.$2x-y-3=0$3.下列說法正確的是（）A.若事件$A$與$B$互斥，則$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$B.若事件$A$與$B$對立，則$P(A\cupB)=1$C.若事件$A$與$B$獨(dú)立，則$P(AB)=P(A)P(B)$D.$P(A)+P(\overline{A})=1$4.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+1$，在區(qū)間$[1,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍可以是（）A.$a\leq1$B.$a<1$C.$a\geq1$D.$a>1$5.已知圓$C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=4$，直線$l$：$x+ay-1=0$，則（）A.直線$l$恒過定點(diǎn)$(1,0)$B.當(dāng)$a=1$時，直線$l$與圓$C$相切C.當(dāng)$a=\frac{3}{4}$時，直線$l$被圓$C$截得的弦長為$2\sqrt{3}$D.直線$l$與圓$C$相交時，弦長的最小值為$2\sqrt{3}$6.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=2a_n+1$，$a_1=1$，則（）A.$a_2=3$B.$a_3=7$C.$a_4=15$D.$a_5=31$7.若函數(shù)$y=\sin(\omegax+\varphi)$的圖象向右平移$\frac{\pi}{6}$個單位后與原圖象重合，則$\omega$的值可以是（）A.$6$B.$-6$C.$12$D.$-12$8.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的離心率為$2$，則（）A.$b=\sqrt{3}a$B.漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$C.過焦點(diǎn)且垂直于實軸的弦長為$\frac{2b^2}{a}$D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為$b$9.已知向量$\vec{a}=(m,1)$，$\vec=(1,n)$，$\vec{c}=(2,-4)$，且$\vec{a}\perp\vec{c}$，$\vec\parallel\vec{c}$，則（）A.$m=2$B.$n=-2$C.$\vec{a}+\vec=(3,-1)$D.$\vec{a}\cdot\vec=5$10.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x-1,x\leq0\\\log_2(x+1),x>0\end{cases}$，則（）A.$f(0)=0$B.$f(1)=1$C.若$f(x)=2$則$x=3$D.函數(shù)$f(x)$的值域為$(-1,+\infty)$答案：1.C2.A3.ABCD4.A5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABC10.ABD三、判斷題1.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$上單調(diào)遞增，則$f^\prime(x)>０$在$(a,b)$上恒成立。（）2.若向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\vec{a}=0$或$\vec=0$。（）3.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率越大，橢圓越圓。（）4.若數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，則其通項公式一定是$a_n=a_1q^{n-1}$。（）5.函數(shù)$y=\sinx$與$y=\cosx$的圖象在區(qū)間$[0,2\pi]$上有兩個交點(diǎn)。（）6.若函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，則$f(0)=0$。（）7.直線$x=a$與函數(shù)$y=f(x)$的圖象至多有一個交點(diǎn)。（）8.若集合$A\subseteqB$，則$A\capB=A$。（）9.復(fù)數(shù)$z=a+bi$（$a,b\inR$）的模為$\sqrt{a^2+b^2}$。（）10.若函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有最大值$M$，最小值$m$，則$M-m$就是函數(shù)在該區(qū)間上的振幅。（）答案：1.錯2.錯3.錯4.錯5.對6.錯7.對8.對9.對10.對四、簡答題1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,3]$上的最值。先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f^\prime(x)=0$得$x=0$或$x=2$。分別計算$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$。所以最大值為$2$，最小值為$-2$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$a_3=5$，$S_5=25$，求數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式。設(shè)公差為$d$，由$a_3=5$得$a_1+?ert2d=5$，由$S_5=25$得$5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25$，即$a_1+2d=5$，聯(lián)立解得$a_1=1$，$d=2$，所以$a_n=1+2(n-1)=2n-1$。3.求曲線$y=x^2$與直線$y=2x$所圍成圖形的面積。聯(lián)立方程得$x^2=2x$，解得$x=0$或$x=2$。所求面積$S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)dx=(x^2-\frac{1}{3}x^3)\vert_{0}^{2}=\frac{4}{3}$。4.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,1)$，求向量$\vec{a}+\vec$與$\vec{a}-\vec$夾角的余弦值。$\vec{a}+\vec=(4,3)$，$\vec{a}-\vec=(-2,1)$。設(shè)夾角為$\theta$，則$\cos\theta=\frac{(\vec{a}+\vec)\cdot(\vec{a}-\vec)}{\vert\vec{a}+\vec\vert\vert\vec{a}-\vec\vert}=\frac{-8+3}{\sqrt{16+9}\sqrt{4+1}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。五、討論題1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$在區(qū)間$(-2,+\infty)$上的單調(diào)性。$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$。當(dāng)$1-2a>0$即$a<\frac{1}{2}$時，在$(-2,+\infty)$上單調(diào)遞減；當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，$f(x)=\frac{1}{2}$無單調(diào)性；當(dāng)$a>\frac{1}{2}$時，在$(-2,+\infty)$上單調(diào)遞增。2.討論橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）與直線$y=kx+m$的位置關(guān)系。聯(lián)立方程得$(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0$，判別式$\Delta=