專題5.3函數(shù)的單調(diào)性（舉一反三講義）【蘇教版】TOC\o"13"\h\u【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明】 3【題型2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】 6【題型3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值】 8【題型4根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性】 10【題型5利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 13【題型6利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 15【題型7求函數(shù)的最值或值域】 18【題型8根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)】 20【題型9復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值】 23知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時(shí)，我們就稱它是增(減)函數(shù).②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)a>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；a<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減.a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,0)和(0,+∞)；a<0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,0)和(0,+∞).二次函數(shù)y=a(xm)2+n(a≠0)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,+∞)；a<0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,m].(4)單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.②若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減⑥當(dāng)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)·g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)·g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定：對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，設(shè)t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增2．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.3．函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明】【例1】（2425高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間0,+∞上是減函數(shù)的是（

）A．y=?3x+2 B．y=x3 C．y=x【答案】A【解題思路】用函數(shù)單調(diào)性定義可判斷得結(jié)果.【解答過程】選項(xiàng)A：任取x1>x又x2?x1<0，所以y1?選項(xiàng)B：任取x1>x又x1?x2>0,x12+選項(xiàng)C：任取x1>x又x1?x2>0,x1+x選項(xiàng)D：任取x1>x又x1?x2>0,x1x2故選：A.【變式11】（2025高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

A．y=1fxB．y=fx在C．y=?1fxD．y=?fx在R【答案】D【解題思路】通過舉反例即可判斷A、B、C選項(xiàng)，可以借助單調(diào)性的定義證明D選項(xiàng).【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，若fx=x，則y=1對(duì)于B選項(xiàng)，若fx=x，則y=f對(duì)于C選項(xiàng)，若fx=x，則y=?1對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)fx在R上為增函數(shù)，則對(duì)于任意的x1,x2∈R對(duì)于y=?fx，則有則y=?fx在R故選：D.【變式12】（2425高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+bx2(1)求a和b的值；(2)判斷fx在2,+【答案】(1)a=1,b=0(2)fx在2,+【解題思路】（1）由f1（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性.【解答過程】（1）因?yàn)閒1所以a+b5=1（2）由（1）知：fx=xx2證明如下：在2,+∞上任取x1,fx∵2≤x∴x2?x1>0∴fx∴fx1>fx2【變式13】（2425高一上·福建福州·期中）給定fx=x2?3x+2+1x?4，g(1)求fx,gx(2)判斷?x在區(qū)間3,+∞上的單調(diào)性，gx【答案】(1)答案見解析(2)?x在區(qū)間3,+∞上單調(diào)遞減，gx【解題思路】（1）利用二次根式的性質(zhì)和分式的性質(zhì)求解定義域，結(jié)合給定條件利用待定系數(shù)法求解解析式即可.（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用定義法證明即可.【解答過程】（1）令x2?3x+2≥0，解得令x?4≠0，解得x≠4，則fx的定義域?yàn)??因?yàn)間x=2a?1x2因?yàn)間0+3g2解得a=2，得到gx=4?1x2則gx的定義域?yàn)??（2）判斷：?x在區(qū)間3,+我們?nèi)稳1,x則?x=4因?yàn)閤1<x因?yàn)閤1,x2∈即?x1>?x2判斷：gx在區(qū)間1,+我們?nèi)稳1,x則gx=x=(x1+x因?yàn)閤1,x2∈得到gx1?g故gx在區(qū)間1,+【題型2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】【例2】（2425高一上·湖南·階段練習(xí)）函數(shù)fx=1?xA．4,+∞ B．0,4 C．4,8 D．【答案】B【解題思路】先求出函數(shù)定義域，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需求解t=?x2+8x【解答過程】由題意得?x2+8x>0，解得0<x<8，故f由于y=1t在故只需求解t=?x2+8xt=?x2+8x開口向下，對(duì)稱軸為x=4故選：B.【變式21】（2425高一上·福建泉州·階段練習(xí)）函數(shù)gx=xx+1A．?∞,12 B．?1,?12【答案】B【解題思路】利用分段函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性求解.【解答過程】當(dāng)x≥?1時(shí)，gx則g(x)在?1,?12單調(diào)遞減，當(dāng)x<?1時(shí)，g則g(x)在?∞所以gx=x故選：B.【變式22】（2425高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)y=1x2A．(?∞,1) B．(?∞,0) C．【答案】D【解題思路】現(xiàn)根據(jù)解析式有意義的條件求的定義域，然后在定義域內(nèi)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則求得結(jié)果.【解答過程】要使函數(shù)y=1x2即x(x?2)>0，解得x<0或x>2，∴函數(shù)定義域?yàn)??∞令t=x2?2x，則y=1tt=x2?2x在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則，可知y=1x2故選：D.【變式23】（2324高一上·湖北十堰·期中）函數(shù)y=1??x2A．0,3 B．?∞,3 C．3,6 【答案】C【解題思路】先求出函數(shù)的定義域，令t=?x2+6x【解答過程】解：由?x2+6x≥0所以函數(shù)y=1??x2令t=?x2+6x該函數(shù)在3,6上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=1??x2故選：C.【題型3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值】【例3】（2425高一上·湖北·期末）若函數(shù)fx=ax2+2x?1在1,+A．?1,+∞ B．C．[0,+∞) 【答案】C【解題思路】要考慮函數(shù)有意義，即根號(hào)下的式子恒大于等于0.然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法來確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過程】當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)f(x)=2x?1，令t=2x?1，則t是一次函數(shù)，所以t=2x?1在[1,+且當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，t=2x?1≥2×1?1=1>0，滿足f(x)=t的定義域要求，所以f(x)=當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)t=ax所以t=ax2+2x?1要使f(x)=ax2+2x?1有意義，則當(dāng)x=1時(shí)，t=a×12+2×1?1=a+1，因?yàn)閍>0，所以a+1>0當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)t=ax那么t=ax2+2x?1在(?∞,?1a)上單調(diào)遞增，在綜合以上三種情況，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,+∞故選:C.【變式31】（2425高三上·福建漳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+ax+5,x≤1A．?3≤a≤?2 B．?3≤a≤0 C．a(chǎn)≤?2 D．a(chǎn)<0【答案】A【解題思路】根據(jù)分段函數(shù)y=fx在R上的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)a【解答過程】由于函數(shù)fx=x所以，函數(shù)y=x2+ax+5在區(qū)間?∞,1上為減函數(shù)，函數(shù)y=?即?a≤1+a+5a<0?a因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?3≤a≤?2.故選：A.【變式32】（2425高一上·上?！ふn堂例題）（1）函數(shù)fx=?x2+2（2）已知函數(shù)fx=x+mx?1【答案】（1）a≥5；（2）m≤4【解題思路】（1）利用二次函數(shù)的圖象與開口方向可求a的范圍；（2）任取x1、x2∈2,+∞【解答過程】（1）根據(jù)題意得函數(shù)圖像開口向下，對(duì)稱軸為x=a?1．函數(shù)在區(qū)間?∞,4上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以a?1≥4，∴（2）任取x1、x2∈所以x1+m整理得mx∵x1<x2，∴x2?x1>0【變式33】（2425高一上·云南昭通·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2+2kx?k(1)若fg?1=?(2)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)k=(2)[?2,0)【解題思路】（1）由已知可得g?1=k，進(jìn)而可得（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性和反例函數(shù)的單調(diào)性可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解答過程】（1）因?yàn)間x=k又fx=?x又fg?1=?k2解得k=12或k=0（舍去），所以（2）對(duì)于函數(shù)fx=?x因?yàn)閒x在區(qū)間?3,?2上是增函數(shù)，所以k≥?2對(duì)于函數(shù)gx=k當(dāng)k>0時(shí)，gx在?∞,?2當(dāng)k<0時(shí)，gx在?∞,?2由gx在區(qū)間?3,?2上是增函數(shù)，所以k<0綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍為?2,0．【題型4根據(jù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性】【例4】（2526高一上·山東德州·開學(xué)考試）若函數(shù)fx的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是（

A．?4,?1∪1,4 C．?2,2 D．?4,?1【答案】D【解題思路】利用函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可求解.【解答過程】由函數(shù)fx的圖象可知，fx單調(diào)遞增區(qū)間是又由圖知f?3=0>f1故選：D.【變式41】（2425高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)r=fp的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間分別是（

A．?5,0,2,6和?5,0∪2,6 C．?5,0,2,6和?5,0∪2,6 【答案】D【解題思路】根據(jù)函數(shù)定義域和單調(diào)區(qū)間的定義，即可由圖象判斷.【解答過程】定義域是函數(shù)自變量p的取值范圍，為?5,0∪函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有2個(gè)，不能用并集，并且單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，即?5,0,故選：D.【變式42】（2425高一上·四川德陽·期中）已知函數(shù)fx(1)在如圖給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出fx(2)根據(jù)圖象寫出fx【答案】(1)圖象見解析(2)答案見解析【解題思路】（1）分析得到x∈?1,2時(shí)，y=3?x2，為二次函數(shù)，開口向下，x∈（2）數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間和函數(shù)單調(diào)性.【解答過程】（1）當(dāng)x∈?1,2時(shí)，y=3?x2當(dāng)x=?1時(shí)，y=3??12=2，當(dāng)x=2當(dāng)x∈2,5時(shí)，y=x?3，為一次函數(shù)，當(dāng)x=5時(shí)，y=2當(dāng)x=2時(shí)，y=2?3=?1，畫出圖象如下：（2）由圖象可知，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?1,0,2,5故fx在?1,0,2,5【變式43】（2425高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知y=fx為二次函數(shù)，且滿足：對(duì)稱軸為x=1,f

(1)求函數(shù)fx的解析式，并求y=f(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出y=fx的圖象，并直接寫出函數(shù)【答案】(1)fx=x(2)圖象見解析，函數(shù)的增區(qū)間為：[?1,1]和[3,+∞【解題思路】（1）設(shè)出二次函數(shù)解析式，根據(jù)條件得到方程組，解得解析式，再計(jì)算頂點(diǎn)即可.（2）確定函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到單調(diào)區(qū)間.【解答過程】（1）設(shè)函數(shù)為fx所以x=?b2a=1所以fx=x2?2x?3（2）y=f圖象如圖所示：

則函數(shù)y=fx的單調(diào)增區(qū)間為：[?1,1]和【題型5利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例5】（2425高一上·江蘇宿遷·期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(?x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則f(?3)，f(52A．f(52)<f(?3)<f(C．f(72)<f(?3)<f(【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件可得f(?3)=f(3)，再利用單調(diào)性比較大小即得.【解答過程】依題意，f(?3)=f(3)，由f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，52所以f(7故選：C.【變式51】（2425高一上·江蘇蘇州·期中）設(shè)a=20222+1A．c>b>a B．a(chǎn)>b>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【答案】B【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx【解答過程】設(shè)fx=x2+1x2?1=所以fx在1,+∞單調(diào)遞減，所以f2022故選：B.【變式52】（2425高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上單調(diào)遞減，則f1，fA．f52<fC．f72<f【答案】A【解題思路】根據(jù)f2?x=fx+2得到f【解答過程】因?yàn)閒2?x=fx+2，所以f因?yàn)閒x在0,2上單調(diào)遞減，所以f故選：A.【變式53】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=4?x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【答案】C【解題思路】構(gòu)造gx=fxx【解答過程】設(shè)gxy=x為0,+∞上為增函數(shù)，y=4根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得gx=f若0<x則fx故選：C．【題型6利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例6】（2425高一上·山西·期中）已知定義域?yàn)?,+∞的增函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fyA．?3,?2∪2,+∞C．?3,?2 D．?3,?2【答案】A【解題思路】利用函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式.【解答過程】因?yàn)閒x+y=fx令x=y=12，得又因?yàn)閒x+3所以fx+3+f因?yàn)閒x在0,+所以x+3>0x2?4>0x2即不等式的解集為?3,?2∪故選：A.【變式61】（2425高一上·江西鷹潭·期中）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足對(duì)?x1,x2∈0,+A．2023,+∞ B．2024,+∞ C．2025,+∞【答案】C【解題思路】依題意根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可得gx=fx?2x在【解答過程】由fx2?f令gx=fx?2x，則gx由f1=2024，得由fx?2024>2x?1013即gx?2024>g1，則x?2024>1所以原不等式的解集為2025,+∞故選：C.【變式62】（2425高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，滿足(1)求f(1)和f(9)的值(2)解關(guān)于x的不等式f(3x+6)+f(x)<2．【答案】(1)f1=0(2)0,1【解題思路】（1）利用賦值法直接求解即可；（2）轉(zhuǎn)化不等式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性直接求解.【解答過程】（1）由題知，f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞且f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1，令x=y=1，則f1=f1令x=y=3，則f9即f1=0，（2）因?yàn)閒(x)是定義在區(qū)間(0,+∞且f(9)=2，f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(3x+6)+f(x)<2，等價(jià)于f3所以0<3x2+6x<9即該不等式解集為0,1.【變式63】（2425高一上·廣東清遠(yuǎn)·期中）已知函數(shù)fx(1)用定義法證明函數(shù)fx在區(qū)間1,+(2)若函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，且fm【答案】(1)證明見解析(2)?4<m≤?1或2≤m<3【解題思路】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件和（1）結(jié)果，得到不等式組m2【解答過程】（1）任取x1<x2，且則f=x又x1<x2，x1，x所以x1?x得到fx1?f所以函數(shù)fx在區(qū)間1,+（2）因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)?,+且在區(qū)間1,+∞上是增函數(shù)，由f得到m2?m?1<11?2mm2?m?1≥1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為?4<m≤?1或2≤m<3.知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的最值1．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（小）值：名稱定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)?x∈1，都有f(x)≤M；(2)?x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)?x∈1，都有f(x)≥m；(2)?x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.2．求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【題型7求函數(shù)的最值或值域】【例7】（2425高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）函數(shù)y=x+9x+1在區(qū)間?∞,?1A．?6 B．?7 C．5 D．6【答案】B【解題思路】將y=x+9x+1變形為【解答過程】函數(shù)y=x+9x+1在區(qū)間?∞x+1<0，所以y=x+1+9當(dāng)且僅當(dāng)?x+1=9故選：B.【變式71】（2425高一上·云南紅河·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=xA．3,+∞ B．C．?∞,?5∪【答案】C【解題思路】結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解答過程】化簡(jiǎn)可得：f(x)=x+4設(shè)g(x)=x+4x,則由對(duì)勾函數(shù)的性值可知：函數(shù)g(x)=x+4x是奇函數(shù)，在(0,2]上單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時(shí)，在x=2處取得最小值g2=4，當(dāng)x→0或x→+∞時(shí)，所以g(x)的值域?yàn)??∞,?4]∪[4,+∞)，所以函數(shù)f(x)=g(x)?1值域?yàn)?∞故選：C.【變式72】（2425高一上·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)fx在?1,+(2)求函數(shù)fx在區(qū)間1,4【答案】(1)證明見解析(2)最大值為1，最小值為?1【解題思路】（1）任取x1,x2∈（2）由（1）知fx在區(qū)間1,4【解答過程】（1）證明：任取x1,x則fx1因?yàn)閤1,x2∈?1,+∞，x所以fx1?f所以fx在?1,+（2）由（1）知fx在區(qū)間1,4所以fxmin=f所以函數(shù)fx在區(qū)間1,4上的最大值為1，最小值為?【變式73】（2425高一上·河南·期末）已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)+f(x)=2x2(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)?2(m?1)x，x∈[?1,2]，求g(x)的最小值.【答案】(1)f(x)=(2)g【解題思路】（1）設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)（2）由（1）可得g(x)=(x?m)2?m2【解答過程】（1）設(shè)f(x)=ax因?yàn)閒(x+2)+f(x)=a=2ax所以2a=24a+2b=04a+2b+2c=?2?，解得a=1（2）g(x)=f(x)?2(m?1)x=x2?2mx?1=當(dāng)m≤?1時(shí)，g(x)在[?1,2]上單調(diào)遞增，g(x)當(dāng)?1<m<2時(shí)，g(x)當(dāng)m≥2時(shí)，g(x)在[?1,2]上單調(diào)遞減，g(x)綜上，g(x)【題型8根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)】【例8】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx=x+ax+1在區(qū)間0,1內(nèi)的最大值為3，則a=A．3 B．4 C．5 D．3或5【答案】A【解題思路】先分離變量，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，分類研究即可.【解答過程】fx=x+ax+1=1+當(dāng)a?1>0，即a>1時(shí)，fx在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，f當(dāng)a?1<0，即a<1時(shí)，fx在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，f解得a=5，與a<1矛盾，舍去．綜上所述，a=3．故選：A.【變式81】（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知a∈R，函數(shù)fx=x+4x?aA．2,92 B．?∞,92【答案】B【解題思路】由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得x+4x∈4,5，分a≥5，【解答過程】因?yàn)閤∈1,4，y=x+4x在1,2所以x+4當(dāng)a≥5時(shí)，fx函數(shù)的最大值2a?4=5，所以a=9當(dāng)a≤4時(shí)，fx當(dāng)4<a<5時(shí)，fx則4?a+a≥5?a+a解得a=92或綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞故選：B.【變式82】（2425高一上·內(nèi)蒙古·期中）已知函數(shù)fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在?1,5上單調(diào)，求a(3)求fx在1,3上的最小值為?54【答案】(1)2(2)?(3)a=?4或5【解題思路】（1）由一元二次不等式恒成立，結(jié)合圖象推得Δ≤0（2）先求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間，依題使?1,5（3）由函數(shù)fx【解答過程】（1）由題意得x2?ax+2≥0恒成立，則解得?22所以a的最大值為22（2）由題意得fx圖象的對(duì)稱軸為直線x=所以fx在(?∞,因?yàn)閒x在?1,5上單調(diào)，所以a2≤?1解得a≤?2或a≥10，即a的取值范圍為?∞（3）當(dāng)a2≥3，即a≥6時(shí)，fx在1,3解得a=36當(dāng)a2≤1，即a≤2時(shí)，fx在1,3解得a=?4<2，符合題意；當(dāng)1<a2<3，即2<a<6時(shí)，fx在fxmin=fa2故a=?4或5.【變式83】（2425高一上·寧夏吳忠·期中）已知f(x)=2x+1(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞(2)若函數(shù)g(x)=2x+1x?2,x∈[3,a]（a>3【答案】(1)證明見解析(2)a=【解題思路】（1）?x1,x2（2）由（1）求出函數(shù)的最值，再根據(jù)題意即可得解.【解答過程】（1）?x1,則f(x因?yàn)?x1,又因?yàn)閤1<x因此f(x所以f(x)在(2,+∞（2）由（1）可知，g(x)是減函數(shù)，所以x=3時(shí)，g(x)取得最大值為g(3)=7，x=a時(shí)，g(x)取得最小值為g(a)=2a+1因?yàn)樽畲笾蹬c最小值之差為1，所以7?2a+1a?2=1【題型9復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值】【例9】（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2024?axa?1在[0,1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a