專(zhuān)題02分式（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律分式的概念與性質(zhì)能識(shí)別分式并確定定義域（分母≠0）高頻易錯(cuò)：忽略隱含條件（如xx?3需同時(shí)滿(mǎn)足x≥0且x冪的運(yùn)算法則熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算公式進(jìn)行分式化簡(jiǎn)（新增內(nèi)容）命題趨勢(shì)：與分式乘除、科學(xué)記數(shù)法結(jié)合考查（如(2分式的約分與通分能結(jié)合因式分解和冪的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：約分時(shí)漏掉負(fù)指數(shù)（如6x分式的四則運(yùn)算能熟練進(jìn)行分式的加減乘除及混合運(yùn)算，規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算順序錯(cuò)誤（如先乘除后加減）、通分時(shí)漏乘分子（如1x分式方程的解法與應(yīng)用會(huì)解分式方程并驗(yàn)根，能建立分式方程解決實(shí)際問(wèn)題（工程、行程等）跨學(xué)科題型：與物理、化學(xué)中的濃度問(wèn)題結(jié)合考查（如溶液混合問(wèn)題）知識(shí)點(diǎn)01分式的概念及其基本性質(zhì)分式的概念:一般地，如果A，B都表示整式，且B中含有字母，那么稱(chēng)AB為分式.其中A叫做分式的分子，B為分式的分母分式有意義的條件:對(duì)于分式AB,分式值為零的條件：當(dāng)A=0且B≠0時(shí)，分式AB分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì):A分式的約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.最簡(jiǎn)分式的定義：分子與分母沒(méi)有公因式的式子，叫做最簡(jiǎn)分式注意:分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得的結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或整式約分的基本步驟:1）若分子、分母都是單項(xiàng)式，則約去系數(shù)的最大公約數(shù)，并約去相同字母的最低次冪.2）若分子、分母含有多項(xiàng)式，則先將多項(xiàng)式分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式示例：判斷是否為分式：x+1x?32π易錯(cuò)點(diǎn)：誤認(rèn)為所有含分母的式子都是分式（如xx忽略取值范圍：xx?2需同時(shí)滿(mǎn)足x≥0且知識(shí)點(diǎn)02分式的加法和減法同分母的分式的加減法1.同分母的分式加、減法運(yùn)算法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.2.同分母的分式相加減的一般步驟：（1）分母不變，把分子相加減；（2）分子相加減時(shí)，應(yīng)先取括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)；（3）結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式.3.特別注意：分子相加減就是把各個(gè)分子整體相加減，在計(jì)算時(shí)，各分子都應(yīng)用括號(hào)括起來(lái)，若分子是系數(shù)為正的單項(xiàng)式，括號(hào)可以省略；若分子是多項(xiàng)式，且分子相減時(shí)，括號(hào)不能省略，否則容易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.4.警示誤區(qū)1）當(dāng)分母不相同而是相反數(shù)時(shí)，不能直接相加減，需將分母變?yōu)橄嗤瑫r(shí)，中間的運(yùn)算符號(hào)隨之改變；2）當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，在對(duì)分子進(jìn)行加減時(shí)，要帶括號(hào)，后去括號(hào)運(yùn)算；3）加減運(yùn)算后，對(duì)運(yùn)算的結(jié)果要化簡(jiǎn)，最后的結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式分式的通分1.分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式化成同分母的分式的過(guò)程，叫做分式的通分.2.最簡(jiǎn)公分母：通分時(shí)，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母稱(chēng)為最簡(jiǎn)公分母.3.通分的一般步驟：（1）確定最簡(jiǎn)公分母；（2）用最簡(jiǎn)公分母分別除以各分母求商；（3）用所得的商分別乘相應(yīng)分式的分子、分母得出同分母分式.4.確定最簡(jiǎn)公分母的一般方法：如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡(jiǎn)公分母就是由①各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②各分母相同字母的最高次冪；③各分母所有不同字母及其指數(shù)的乘積這三部分組成.如果各分母中有多項(xiàng)式，就先把分母是多項(xiàng)式的分解因式，再按照分母都是單項(xiàng)式時(shí)求最簡(jiǎn)公分母的方法，從系數(shù)，相同因式、不同因式三個(gè)方面去確定.異分母的分式的加減法1.異分母的分式的加、減法運(yùn)算法則：異分母的分式進(jìn)行加、減法運(yùn)算時(shí)，要先化為同分母的分式，然后再加減.2.異分母的分式相加減的一般步驟：（1）通分：將異分母的分式化為同分母的分式；（2）加減：按照同分母的分式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)的一般步驟進(jìn)行計(jì)算；注意：異分母的分式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)的關(guān)鍵是通分.3.特別提醒（1）通分時(shí)，若要改變某個(gè)因式的符號(hào)，可利用分式的符號(hào)變化規(guī)律進(jìn)行變換；（2）類(lèi)似同分母的分式相加減，分子是多項(xiàng)式的注意帶上括號(hào)；（3）最后運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式.（4）在通分時(shí)，整式看成分母是1，整式作為分子的“分式”，若是多項(xiàng)式時(shí)，則看成一個(gè)整體；通分時(shí)要帶上括號(hào).示例：計(jì)算1x需通分：y易錯(cuò)點(diǎn)：異分母加減時(shí)直接相加分母（如1x漏乘分子：通分時(shí)未對(duì)分子整體乘因式（如1x+1+1x?1漏乘知識(shí)點(diǎn)03分式的乘法和除法分式的乘法法則：則：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分別作為積的分子、分母.即：b法則的運(yùn)用方法：（1）若分子、分母都是單項(xiàng)式，可直接利用乘法運(yùn)算法則運(yùn)算后再約分；（2）若分子、分母有多項(xiàng)式，可先對(duì)分子、分母因式分解，約分后，再進(jìn)行乘法運(yùn)算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母為1的“分式”進(jìn)行運(yùn)算.（4）運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式.分式乘法運(yùn)算的基本步驟：第一步：確定積的符號(hào)，寫(xiě)在積中分式的前面.第二步：運(yùn)用法則，將分子與分母分別相乘，多項(xiàng)式要帶擴(kuò)號(hào)；第三步：約分，將結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式或正式.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即b法則的運(yùn)用方法：（1）分式的除法需轉(zhuǎn)化成乘法，再利用分式乘法運(yùn)算法則計(jì)算；（2）當(dāng)除式是整式時(shí)，可以將整式看成分母是1的“分式”進(jìn)行運(yùn)算.分式除法運(yùn)算的基本步驟：第一步：將分子、分母是多項(xiàng)式的進(jìn)行因式分解，并約分；第二步：將除法轉(zhuǎn)化成乘法；第三步：利用分式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算。分式的乘方法則：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)n，有(分式乘方法則的運(yùn)用方法：（1）分式乘方時(shí)，確定乘方結(jié)果符號(hào)的方法與有理數(shù)乘方確定結(jié)果符號(hào)的方法相同.（2）分式乘方時(shí)，一定要將分式的分子、分母分別乘方，不能將(ba（3）分式乘方時(shí)，若分式的分子與分母是多項(xiàng)式，應(yīng)把分子、分母分別看做一個(gè)整體乘方，避免出現(xiàn)(f?g示例：計(jì)算x2轉(zhuǎn)化為乘法：(x+1)(x?1)易錯(cuò)點(diǎn)：未顛倒除式直接相乘（如ab÷c約分不徹底：4x2y6x知識(shí)點(diǎn)04分式的混合運(yùn)算1.分式的混合運(yùn)算順序：分式與分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算有相同的運(yùn)算順序，即先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)時(shí)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按照小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行，對(duì)于同級(jí)運(yùn)算，按從左到右的順序進(jìn)行。2.分式的混合運(yùn)算的方法：（1）進(jìn)行分式混合運(yùn)算時(shí)，可以根據(jù)需要合理運(yùn)用運(yùn)算律來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，此時(shí)需將分式的乘除法統(tǒng)一變成乘法，分式的加減法統(tǒng)一成加法，才能使用乘法運(yùn)算律、加法運(yùn)算率簡(jiǎn)化運(yùn)算.（2）運(yùn)算過(guò)程中及時(shí)約分簡(jiǎn)化，有時(shí)可使解題過(guò)程簡(jiǎn)單.（3）運(yùn)算結(jié)果是最簡(jiǎn)分式或整式.3.方法點(diǎn)撥（1）分式的計(jì)算應(yīng)先分清運(yùn)算數(shù)學(xué)，再按分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)某一項(xiàng)是整式時(shí)，可將此項(xiàng)看成分母為1的式子；（2）分式的混合運(yùn)算中要注意對(duì)各分式中的分子、分母符號(hào)的處理，結(jié)果中分子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)的，要把“”號(hào)提到分式的前面；（3）所有的分式運(yùn)算，結(jié)果必須化到最簡(jiǎn).示例：計(jì)算(x通分括號(hào)內(nèi)：x(x+2)?x(x?2)除法轉(zhuǎn)乘法：4x易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算順序錯(cuò)誤：先算加減后乘除（如ab符號(hào)錯(cuò)誤：提取負(fù)號(hào)時(shí)未變號(hào)（如?x?1知識(shí)點(diǎn)05整數(shù)指數(shù)冪同底數(shù)冪相除的運(yùn)算法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.用字母表示為aman=a特別解讀（1）運(yùn)用法則的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是底數(shù)相同，二是除法運(yùn)算，二者缺一不可.（2）底數(shù)a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但底數(shù)a不能為0.（3）同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，而不是相除零次冪:任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1；零次冪要把握三點(diǎn)：①底數(shù)不為0；②指數(shù)為零；③結(jié)果是1.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：任何不等于零的數(shù)的n（n為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù).即a?n=1由于1an=(1用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)時(shí)，10的指數(shù)時(shí)負(fù)數(shù)，一定不要忘記指數(shù)n前面的“”號(hào).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則示例：計(jì)算(2a冪的運(yùn)算：8易錯(cuò)點(diǎn)：混淆公式：(am負(fù)指數(shù)變形錯(cuò)誤：1(2x)知識(shí)點(diǎn)06可化為一元一次方程的分式方程分式方程的概念1.分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.2.判斷一個(gè)方程是分式方程的條件：（1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知數(shù).以上三者缺一不可.注意：分式方程的分母中含有未知數(shù)，而不是一般的字母參數(shù)。3.特別注意：（1）分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)分分式方程和整式方程的依據(jù)；（2）識(shí)別分式方程時(shí)，不能對(duì)方程進(jìn)行約分或通分變形，更不能用等式的基本性質(zhì)變形.分式方程的解法1.解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程化為整式方程2.解分式方程的一般步驟：(1)分式方程去分母:方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母;(2)解整式方程：去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)型等；(3)檢驗(yàn)：①最簡(jiǎn)公分母不為0，是分式方程的解；②最簡(jiǎn)公分母為0，不是分式方程的解.3.檢驗(yàn)方程根的方法：一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)進(jìn)行如下檢驗(yàn)：（1）將整式方程的解待入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.（2）將整式方程的解代入原分式方程，這種方法不僅能檢驗(yàn)出該解是否適合原分式方程，還能檢驗(yàn)所得的解是否正確.4.增根：在分式方程化為整式方程的過(guò)程中，若整式方程的解使最簡(jiǎn)公分母的值為0，則這個(gè)解叫作原分式方程的增根.5.特別注意：（1）解分式方程的關(guān)鍵是去分母，去分母時(shí)不要漏乘不含分母的項(xiàng)，當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)要用括號(hào)擴(kuò)起來(lái)；（2）解分式方程一定要檢驗(yàn)，對(duì)于增根必須舍去.（3）對(duì)增根的理解：①增根一定時(shí)分式方程化成的整式方程的解；②若分式方程有增根，則必是使最簡(jiǎn)分母為0時(shí)的未知數(shù)的值.6.去分母時(shí)常見(jiàn)三種典型錯(cuò)誤：①分母與最簡(jiǎn)公分母中的因式不是相同而是相反時(shí)，去分母后注意改變符號(hào)；②分子是多項(xiàng)式時(shí)，去分母后要帶上括號(hào)；③不含分母的項(xiàng)易漏乘最簡(jiǎn)公分母，且最簡(jiǎn)公分母是多項(xiàng)式也要帶上擴(kuò)號(hào).分式方程的應(yīng)用1.列分式方程常用的等量關(guān)系：（1）行程問(wèn)題：速度×?xí)r間=路程（2）工程問(wèn)題：工作量=工作時(shí)間×工作效率；工作總量=各個(gè)分工作量之和（3）利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%2.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審：即審題，根據(jù)題意找出已知量和未知量，并找出等量關(guān)系；審題時(shí)，先尋找題目中的關(guān)鍵詞，然后借助列表、畫(huà)圖等方法準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，當(dāng)題目中包含多個(gè)等量關(guān)系時(shí)，要選擇一個(gè)能夠體現(xiàn)全部（或大部分）數(shù)量的等量關(guān)系列方程。（2）設(shè)：即設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)，注意單位要統(tǒng)一，選擇一個(gè)未知量用未知數(shù)表示，并用含未知數(shù)的式子表示相關(guān)量.設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般題中問(wèn)什么就設(shè)什么，若直接設(shè)未知數(shù)難以列方程，則可設(shè)另一個(gè)相關(guān)量為未知數(shù)，有時(shí)設(shè)一個(gè)未知數(shù)無(wú)法表示等量關(guān)系，可設(shè)多個(gè)未知數(shù).（3）列：即列方程，根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程.（4）解：即解所列的分式方程，求出未知數(shù)的值.（5）驗(yàn)：即驗(yàn)根，既要檢驗(yàn)所求的未知數(shù)的值是否適合分式方程，還要檢驗(yàn)此解是否符合實(shí)際意義.（6）答：即寫(xiě)出答案，注意單位和答案要完整.示例：解方程1x?2去分母得1+3(x?2)=?(x?1)解得x=2（驗(yàn)根為增根，無(wú)解）易錯(cuò)點(diǎn)：漏乘無(wú)分母項(xiàng)（如方程兩邊同乘(x?2)時(shí)漏乘“3”）未驗(yàn)根：解分式方程必須檢驗(yàn)分母是否為零題型一分式有意義的條件與值為零解｜題｜技｜巧雙條件判斷：分式值為零需同時(shí)滿(mǎn)足分子=0且分母≠0隱含條件：分母≠0在化簡(jiǎn)過(guò)程中始終成立（如解分式方程時(shí)）易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥漏驗(yàn)分母：如求分式x2?4x?2混淆概念：誤認(rèn)為分式無(wú)意義時(shí)值為零【典例1】（2324八年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）若分式1x?3有意義，則x的取值范圍是（

A．x>3 B．x<3 C．x=3 D．x≠3【變式1】（2324八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）要使分式x+1x有意義，則x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（

A．x≠1 B．x≠?1 C．x≠0 D．x>1【變式2】（2425八年級(jí)下·廣東佛山·期中）請(qǐng)寫(xiě)一個(gè)分式，使它滿(mǎn)足當(dāng)x=?1時(shí)，分式無(wú)意義，當(dāng)x=2時(shí)，它的值為0，這個(gè)分式可以是．【變式3】（2425八年級(jí)上·山東菏澤·期中）若分式m2?4?m+2的值為0，則m題型二分式化簡(jiǎn)中的符號(hào)處理解｜題｜技｜巧統(tǒng)一負(fù)號(hào)：將分母最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)變號(hào)法則：?a?b=分子添括號(hào)：多項(xiàng)式分子在約分時(shí)需保持整體性易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥約分丟負(fù)號(hào)：如?x+yx?y=?通分漏乘：1【典例1】（2324八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）與分式?11?x的值相等的是（A．?1x?1 B．?11+x C．【變式1】（2425八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）下列各式中，從左向右的變形正確的是（）A．b+2a+2=bC．a(chǎn)+2a=2【變式2】（2425八年級(jí)下·江蘇南京·期中）a=0.5時(shí)，分式1?a2a題型三整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算解｜題｜技｜巧負(fù)指數(shù)轉(zhuǎn)化：a?n=1科學(xué)記數(shù)法：0.0025=2.5×10易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥混淆法則：a3÷符號(hào)錯(cuò)誤：(?2)?2【典例1】（2425八年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）化簡(jiǎn)：(1)2(2)m【變式1】（2425七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）下列計(jì)算中，正確的是（）A．(m+n)?2=m?2C．(2x3)【變式2】（2425八年級(jí)上·廣西桂林·期中）計(jì)算：(1)2?(2)2【變式3】（2425七年級(jí)下·山東菏澤·期中）計(jì)算：(1)?3x(2)a題型四分式方程增根問(wèn)題解｜題｜技｜巧解方程步驟：去分母→解整式方程→驗(yàn)根增根判定：使最簡(jiǎn)公分母=0的根必為增根易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥漏乘項(xiàng)：如解xx?3=2+未檢驗(yàn)：直接寫(xiě)出整式方程的解【典例1】（2425八年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）若關(guān)于x的分式方程2x?3+x+m3?x=2A．1 B．?1 C．2 D．?2【變式1】（2425八年級(jí)下·河南開(kāi)封·期中）關(guān)于x的分式方程2x?2?1=mx2A．0 B．8 C．4 D．0或8【變式2】（2425八年級(jí)下·四川眉山·期中）若關(guān)于x的方程1x?3+3=m?x3?x有增根，則【變式3】（2425八年級(jí)下·四川巴中·期中）如果關(guān)于x分式方程x?3x+2=mx+2有增根，則增根x=，若分式方程無(wú)解，則期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）1．若x2=yA．5 B．?5 C．2225 D．2．若式子x+3x?3÷x+5x?4有意義，則A．x≠3且x≠4 B．x≠3且x≠?5C．x≠4且x≠?5 D．x≠3且x≠4且x≠?53．若a=20220,b=2021×2023?20222，c=?342022A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．b<c<a4．對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，定義新運(yùn)算“*”如下：a?b=1b?1a，例如：3?4=145．若分式方程3xx?3=2+mx?36．計(jì)算：(1)9x(2)a+31?a7．解方程：1x?28．2024年11月12日第15屆中國(guó)國(guó)際航空航天博覽會(huì)在珠海開(kāi)幕．這激發(fā)了航模小組對(duì)新款無(wú)人機(jī)模型的極大興趣和購(gòu)買(mǎi)欲望，于是他們?nèi)ツＰ蜕痰炅私夂笾溃阂患蹵款無(wú)人機(jī)模型的價(jià)格比一架B款無(wú)人機(jī)模型的價(jià)格貴600元，用9000元購(gòu)買(mǎi)A款無(wú)人機(jī)模型的數(shù)量與用5400元購(gòu)買(mǎi)B款無(wú)人機(jī)模