專題2.2立方根（舉一反三講義） 【蘇科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1立方根的概念】 2【題型2開立方】 3【題型3立方根的性質(zhì)】 4【題型4求未知數(shù)的值】 6【題型5平方根和立方根的綜合應用】 7【題型6立方根在實際生活中的應用】 9【題型7立方根的規(guī)律探究】 11知識點1立方根和平方根的不同點和相同點立方根平方根區(qū)別定義一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a，那么這個正數(shù)x就叫做a一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）個數(shù)每一個數(shù)a有且只有一個立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；負數(shù)沒有平方根表示方法3±a取值范圍任意數(shù)a相同點關于00的平方根是0，0的立方根是0知識點2開立方1.求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù).2.開平方和開立方的區(qū)別開平方開立方運算符號±3被開方數(shù)非負數(shù)任意數(shù)個數(shù)0的平方根只有一個；一個正數(shù)的平方根有兩個；負數(shù)沒有平方根任意數(shù)的立方根都只有一個【題型1立方根的概念】【例1】（2425七年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）若3a3=2，則a=；若b2=2，則b=；若?3a=37【答案】2±2?78【分析】本題考查的是立方根和算術平方根的定義與性質(zhì)，熟知這些是解題的關鍵，根據(jù)立方根和算術平方根的定義與性質(zhì)可求a和b的值，從而可求答案．【詳解】解：若3a3=2若b2=2，則若?3a=故答案為：2；±2；?7【變式11】（2425九年級下·廣東惠州·開學考試）8的立方根是．【答案】2【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關鍵．根據(jù)立方根的定義即可求解．【詳解】解：∵3∴8的立方根是2．故答案為：2．【變式12】（2425七年級下·四川廣元·階段練習）如果一個數(shù)的平方根和立方根相同，那么這個數(shù)是．【答案】0【分析】本題主要考查了立方根、平方根的定義和性質(zhì)，其中分別利用了：求一個數(shù)的立方根，應先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方；求一個數(shù)的平方根，應先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的平方．由于一個數(shù)的平方根與立方根相同，根據(jù)平方根的定義這個數(shù)只能是非負數(shù)，然后根據(jù)立方根和平方根相等即可確定這個數(shù)．【詳解】解：∵一個數(shù)的平方根與立方根相同，∴這個數(shù)為0．故答案為：0．【變式13】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）判斷下列說法是否正確：（1）2是8的立方根；（2）±4是64的立方根；（3）?13是（4）(?4)3的立方根是?4【答案】（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確【分析】根據(jù)立方根的定義進行判斷，即可解答．【詳解】解：（1）正確；（2）4是64的立方根，故錯誤；（3）正確；（4）正確．【點睛】本題考查了立方根，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義．【題型2開立方】【例2】（2425七年級下·河北邢臺·期中）根據(jù)圖中呈現(xiàn)的開立方運算關系，可以得出a=；b=．【答案】?8【分析】本題考查了求一個數(shù)的立方根，根據(jù)運算關系可得a=?23，m3=2024，進而可求得【詳解】解：由題意得，a=?23=?8∴?m=?3∴b=?m故答案為：?8，?2024【變式21】（2025·安徽淮北·模擬預測）計算：3?8?1=【答案】?3【分析】先開立方化簡，再計算即可．【詳解】解：3?8故答案為：?3．【點睛】本題考查了實數(shù)運算，立方根定義，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式22】（2425七年級下·陜西寶雞·期中）求立方根：368921=【答案】41【分析】本題主要考查了立方根定義．根據(jù)立方根的定義進行解答．【詳解】解：∵413∴368921故答案為：41．【變式23】（2425七年級下·山東臨沂·階段練習）已知實數(shù)a，b滿足2b+6+a+b+5=0，則a?b【答案】1【分析】本題考查了絕對值和算術平方根的非負性，求一個數(shù)的立方根，代數(shù)式求值，掌握絕對值和算術平方根的非負性是解題的關鍵．先根據(jù)非負性求得a=?2,b=?3，再代入求得a?b2025【詳解】解：∵2b+6+∴2b+6=0,a+b+5=0，解得：a=?2,b=?3，∴a?b2025∴a?b2025故答案為：1．【題型3立方根的性質(zhì)】【例3】（2425七年級下·河南商丘·階段練習）已知x為有理數(shù)，且34?x?32x?2=0【答案】±【分析】本題考查了立方根、平方根，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．先結(jié)合立方根的性質(zhì)得4?x=2x?2，解出x=2，再代入x2?x+3，得5，再求出【詳解】解：∵34?x∴34?x∴4?x=2x?2，解得x=2，∴x2∴x2?x+3的平方根為故答案為：±【變式31】（2425七年級·四川樂山·階段練習）若32a和3b互為相反數(shù)，求a【答案】?【分析】由32a和3b互為相反數(shù)，可得出2a=?b，進而可得出【詳解】解：∵32a和∴2a=?b，∴a故答案為?1【點睛】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)以及立方根，由兩數(shù)互為相反數(shù)找出2a=?b是解題的關鍵．【變式32】（2425八年級上·江西九江·階段練習）已知31?m=?2，則m的平方根為【答案】±3【分析】本題考查立方根和平方根，根據(jù)立方根的定義得出m=9，進而求平方根即可．【詳解】解：∵3∴1?m=?8，∴m=9，∴m的平方根為±3．故答案為：±3．【變式33】（2425八年級上·陜西西安·開學考試）若35?k3=k?5，則k【答案】5【分析】根據(jù)零的立方根既可以看作等于其本身，也可以看作等于其相反數(shù)求解即可．【詳解】解：∵35?k∴k?5=0，∴k=5．故答案為：5．【點睛】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的意義是解答本題的關鍵．【題型4求未知數(shù)的值】【例4】（2425八年級上·福建泉州·期末）若33m?7+3【答案】1【分析】根據(jù)三次根式性質(zhì)，33m?7+33n+4【詳解】∵3∴3∴m+n=故答案為：n【點睛】本題考查了立方根的性質(zhì)，立方根的值互為相反數(shù)，被開方數(shù)互為相反數(shù)．【變式41】（2425七年級下·吉林·期中）若3a=?4，則a=【答案】?64【分析】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的意義是解答本題的關鍵．如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個數(shù)x就叫做【詳解】解：∵3a∴a=?4故答案為：?64．【變式42】（2425八年級上·四川廣元·期中）如果2x+13+7【答案】?【分析】本題考查了利用立方根解方程，掌握立方根的定義是解題關鍵．由立方根可知2x+1=12，再求【詳解】解：∵2x+1∴2x+1∴2x+1=3∴2x=?1∴x=?1【變式43】（2425七年級下·江西宜春·階段練習）已知3x?1=x?1，則x的值為【答案】2或1或0【分析】本題主要考查立方根的概念，熟練掌握立方根的意義是解答本題的關鍵，正數(shù)有一個正的立方根，負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根是0，根據(jù)立方根是本身的數(shù)是0,1,?1列式求解出x的值，再代入x求解即可．【詳解】解：∵3x?1∴x?1=1或x?1=0或x?1=?1，∴x=2或x=1或x=0，∵2∴x的值為：2或1或0故答案為：2或1或0．【題型5平方根和立方根的綜合應用】【例5】（2425七年級下·河南商丘·期中）2a?1的平方根為±3，3a?b+1的立方根為2，則32a+2b+1的值為（

A．?3 B．3 C．±3 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)平方根定義立方根定義列式求出a，b，代入求解即可得到答案；【詳解】解：∵2a?1的平方根為±3，3a?b+1的立方根為2，∴2a?1=(±3)2=9解得：a=5，b=8，∴32a+2b+1故選B；【點睛】本題考查平方根的定義，立方根的定義，解題的關鍵是根據(jù)定義列式求解．【變式51】（2425七年級下·四川綿陽·階段練習）已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：a2?|a+b|+【答案】4b?a【分析】先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得a<b<0<c，從而可得a+b<0,b?c<0,c?a+b>0，再計算算術平方根與立方根、化簡絕對值，然后計算整式的加減即可得．【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<b<0<c，∴a+b<0，b?a>0，b?c<0，∴c?a+b>0，∴=?a?=?a+a+b+c?a+b?c+b+b=4b?a，故答案為：4b?a．【點睛】本題考查了數(shù)軸、算術平方根與立方根、化簡絕對值、整式的加減，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關鍵．【變式52】（2425八年級下·山東菏澤·期末）已知12x?23+32=0，【答案】5【分析】利用立方根的定義求得x的值，然后利用算術平方根的定義求得y值，將其代入x2【詳解】解：由題意得：x?23∴x?2=?4，∴x=?2，由3x?2y=62，得∴y=3x?36∴x2【點睛】本題考查實數(shù)的運算，算術平方根及立方根的定義，熟練掌握并運用相關運算法則是解題的關鍵．【變式53】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）若A=2a?22a+5b是9的算術平方根，B=3?3a?2b，則【答案】?1【分析】本題考查的是立方根及算術平方根的定義，掌握立方根及算術平方根的定義是解題的關鍵．根據(jù)題意列出關于a、b的方程，求出a、b的值，即可求解．【詳解】∵A=2a?22a+5b是∴2a?2=2，2a+5b=9，解得：a=2，b=1，∴A=9=3，∴A+2B的立方根為33?4故答案為：?1．【題型6立方根在實際生活中的應用】【例6】（2425七年級下·山西呂梁·期末）2024年的母親節(jié)來臨之際，小康和小明分別制作了一個如圖所示的正方體禮盒，準備用禮盒裝好禮物送給媽媽．已知小康制作的正方體禮盒的表面積為150cm2，而小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小A．36cm2 B．54cm2 C．96cm2【答案】C【分析】本題考查立方根的實際應用；設小康制作的正方體禮盒的邊長為a，根據(jù)表面積公式先求出a=5，從而求出小康制作的正方體禮盒的體積，再根據(jù)小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小61cm3【詳解】設小康制作的正方體禮盒的邊長為a，則6a2∴小康制作的正方體禮盒的體積為：a∵小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小61cm∴小明制作的正方體禮盒的體積為125?61=64∴小明制作的正方體禮盒的邊長為3∴小明制作的正方體禮盒的表面積為6×故選：C．【變式61】（2425七年級上·浙江杭州·期中）如圖，二階魔方為2×2×2的正方體結(jié)構，本身只有8個方塊，沒有其他結(jié)構的方塊，已知二階魔方的體積約為1000cm3（方塊之間的縫隙忽略不計），那么每個方塊的邊長為【答案】5【分析】本題主要考查了立方根的概念，根據(jù)題意求得每個方塊的體積，再利用立方根的定義求得每個方塊的邊長即可，熟練掌握其性質(zhì)并能靈活運用已知條件求得每個方塊的體積是解決此題的關鍵．【詳解】解：由題意可得每個方塊的體積為1000÷8=125(cm∴其邊長為3125故答案為：5．【變式62】（2425八年級上·四川宜賓·期中）小明有一個大正方體鐵塊，其體積為125cm(1)求這個大正方體鐵塊的棱長；(2)小明要將這個大正方體鐵塊熔化，重新鍛造成兩個小正方體鐵塊，其中一個小正方體鐵塊的體積為98cm【答案】(1)5(2)3【分析】本題考查立方根的應用、正方體的體積，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．（1）根據(jù)正方體的體積公式和立方根的定義進行解答；（2）根據(jù)題意先求得另一個小立方體鐵塊的體積，再根據(jù)立方根的定義進行計算即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，鐵塊的棱長為3125答：這個鐵塊的棱長為5cm（2）解：根據(jù)題意，另一個小立方體鐵塊的體積為125?98=27cm∴另一個小立方體鐵塊的棱長為327答：另一個小立方體鐵塊的棱長為3cm【變式63】（2425七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）一個底面半徑為2dm的圓柱體玻璃杯裝滿水，杯的高度為4πdm【答案】這個正方體容器的棱長為4【分析】此題主要考查了立方根，正確把握圓柱體以及正方體的體積公式應用是解題關鍵．直接利用圓柱體體積求法以及正方體體積求法進而得出等式求出答案．【詳解】解：設正方體容器的棱長為xdm，根據(jù)題意可得：π×2解得：x=4，答：這個正方體容器的棱長為4dm【題型7立方根的規(guī)律探究】【例7】（2425七年級下·河南焦作·階段練習）先閱讀材料，再解答問題．∵?∴?∵?∴?∵?327=∴____________________．?∴?3(1)完成上面的填空，并猜測互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根的關系為；(2)計算3?1【答案】(1)?3；?3；?327=(2)?1275【分析】本題考查立方根的性質(zhì)，熟練掌握立方根的性質(zhì)，是解題的關鍵：（1）根據(jù)給出的等式，結(jié)合立方根的定義，進行求解即可；（2）先求出立方根再進行加法計算即可．【詳解】（1）解：∵?∴?∵?∴?∵?327=?3∴?3?∴?3故互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根的關系為互為相反數(shù)；故答案為：?3；?3；?327=（2）3=?1?2?3???50=?=?=?1275．【變式71】（2425七年級下·安徽池州·期末）若30.3670=0.7160，33.670=1.542【答案】?0.1542【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解題的關鍵．利用立方根的定義及負指數(shù)冪的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵0.003670=3.670×10∴3?0.003670故答案為：?0.1542．【變式72】（2425七年級下·河南商丘·階段練習）觀察下列規(guī)律并回答問題：3?0.002197(1)3?2197000=，3?2.197×(2)已知3x=2.35，若3y=0.235，用含x的代數(shù)式表示y，則(3)當a≥0時，根據(jù)上述規(guī)律比較3a與a【答案】(1)?130，?1300(2)x(3)當a=0或a=1時，3a=a；當0<a<1時，3a>a【分析】本題考查了立方根、與立方根有關的規(guī)律探索，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關鍵．（1）根據(jù)已知可得被開方數(shù)的小數(shù)點向右（或向左）移動3位，則立方根的小數(shù)點向右（或向左）移動1位，由此即可得；（2）根據(jù)上述規(guī)律和2.35=0.235×10可得x=1000y，由此即可得；（3）根據(jù)立方根的性質(zhì)可得30=0，31=1，再根據(jù)上述規(guī)律可得30.001=0.1，31000=10，則【詳解】（1）解：∵3?0.002197∴被開方數(shù)的小數(shù)點向右（或向左）移動3位，則立方根的小數(shù)點向右（或向左）移動1位，∴3?2197000=?130，故答案為：?130，?1300．（2）解：∵3y=0.235，3x∴x=1000y，∴y=x故答案為：x1000（3）解：∵30=0，∴由上述規(guī)律得：30.001=0.1，①當a=0時，3a=3②當0<a<1時，3a③當a=1時，3a=3④當a>1時，3a綜上，當a=0或a=1時，3a=a；當0<a<1時，3a>