專題22.3相似三角形的判定（舉一反三講義） 【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用平行判定相似】 2【題型2利用兩角相等判定相似】 3【題型3利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等判定相似】 4【題型4利用三邊對(duì)應(yīng)成比例判定相似】 5【題型5選擇或補(bǔ)充條件使兩三角形相似】 6【題型6裁剪使兩三角形相似】 7【題型7尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】 8【題型8數(shù)相似三角形的對(duì)數(shù)】 10【題型9存在相似三角形】 11知識(shí)點(diǎn)1相似三角形1.定義：三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．△ABC和△A12.全等三角形與相似三角形的比較全等三角形相似三角形定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形特征形狀相同且大小相等形狀相同但大小不一定相等圖形表示對(duì)應(yīng)邊相等成比例對(duì)應(yīng)角相等相等相似比1可以是1，也可以是其他正實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)2三角形相似的判定如果兩個(gè)三角形分別與同一個(gè)三角形相似，那么這兩個(gè)三角形也相似．相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形與原三角形相似．1.定理1：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′2.定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′，若3.定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C直角三角形相似的判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．4.有關(guān)三角形相似的常見(jiàn)圖形圖形特征所需條件證明方法平行線型已知DE//BC，所以同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．△斜交型有公共角或?qū)斀牵蟽山欠謩e相等的兩個(gè)三角形似．△公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，AB兩邊成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．△母子型∠兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．△旋轉(zhuǎn)型有一組角對(duì)應(yīng)相等，公共角（對(duì)應(yīng)角）的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，∠1=∠兩邊成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．△【題型1利用平行判定相似】【例1】如圖，AB?//CD?//EF，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為(

)A.4對(duì) B.3對(duì) C.2對(duì) D.1對(duì)【變式11】如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC//BD.【變式12】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、M在AB上，點(diǎn)E、N分別在BC、AC上，且DE/?/AC，MN/?/BC，DE交MN【變式13】如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)BF交DC于點(diǎn)E，則圖中的相似三角形共有

對(duì).【題型2利用兩角相等判定相似】【例2】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，D是△ABC邊BC上的一點(diǎn)，∠BAD=∠C，∠ABC的平分線交邊AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)FA．△BFA B．△BAE C．△BEC【變式21】（2425九年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，由尺規(guī)作圖痕跡可知，下列兩個(gè)三角形一定相似的是（

）A．△BCD∽△ACDC．△ACD∽△【變式22】（2425九年級(jí)上·陜西榆林·期中）如圖，AB⊥BC，BD⊥CD，【變式23】（2425九年級(jí)下·上海·假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【題型3利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等判定相似】【例3】（2425九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，連接AC、DG，求證：△AFC【變式31】（2425九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，點(diǎn)E,F分別在正方形ABCD的邊AD，CD上，連接BE和EF，AB=9，AE=3，【變式32】（2425九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知：如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且AC=1，CD=2，DB【變式33】（2425九年級(jí)上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為邊AD，AB的中點(diǎn)，連接EF、CF，EF交對(duì)角線AC于點(diǎn)G．(1)若AC=8，求AG(2)如果AB=AC，求證：【題型4利用三邊對(duì)應(yīng)成比例判定相似】【例4】2425九年級(jí)上·安徽淮南·期末）已知：如圖，∠ABE=90°，且【變式41】（2425九年級(jí)上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三邊長(zhǎng)，下列條件能判斷它們相似的是（A．AB=4，BC=8，AC=10；

DE=20B．AB=3，BC=4，AC=6；

DE=6C．AB=12，BC=15，AC=24；

DE=16D．AB=3k，BC=4k，AC=5k；【變式42】（2425九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖在4×1的方格中，每一個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以其中三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，△ABC就是一個(gè)格點(diǎn)三角形，現(xiàn)從格點(diǎn)D、E、F、G中選取一個(gè)格點(diǎn)與點(diǎn)B、C連接成格點(diǎn)三角形，能使該格點(diǎn)△ABC三角形與相似的格點(diǎn)是（A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)F D．點(diǎn)G【變式43】（2324九年級(jí)下·全國(guó)·期中）如圖，八個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形網(wǎng)格，小妍、小鳳、小蕾、小強(qiáng)四位同學(xué)用無(wú)刻度的直尺在網(wǎng)格中各畫了一個(gè)鈍角三角形，其中會(huì)相似的三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【題型5選擇或補(bǔ)充條件使兩三角形相似】【例5】（2223八年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上的一點(diǎn)，選擇下列條件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BC【變式51】（2425九年級(jí)上·甘肅白銀·期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，則要使△ABC【變式52】（2425九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD與△【變式53】（2025·河北·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長(zhǎng)BA，BC，分別交直線DE于點(diǎn)M，N．若添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△MAEA．∠B+∠4=180°B．CD∥AB C．【題型6裁剪使兩三角形相似】【例6】（2324九年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，在△ABC紙片中，∠A=72°,∠B=38°，將△A．①② B．②④ C．③④ D．①③【變式61】（2425九年級(jí)上·陜西榆林·期中）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【變式62】（2324九年級(jí)上·山西呂梁·期末）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，小明和小強(qiáng)分別剪了一對(duì)三角形，他們經(jīng)過(guò)測(cè)量得到相關(guān)數(shù)據(jù)，并標(biāo)記在圖形上．如圖，對(duì)于他們剪的兩組三角形的說(shuō)法，正確的是（

）A．都相似 B．只有圖①相似 C．只有圖②相似 D．都不相似【變式63】如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△A． B．C． D．【題型7尺規(guī)作圖使兩個(gè)三角形相似】【例7】（2025·浙江嘉興·二模）用“尺規(guī)作圖”將一個(gè)三角形分割成一個(gè)小三角形和一個(gè)四邊形，則下列圖形中，分割出來(lái)的小三角形與原三角形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【變式71】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，請(qǐng)用尺規(guī)在AC上求作一點(diǎn)D【變式72】（2425九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，連接BD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在BD上找一點(diǎn)P，使得△ABD【變式73】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圓規(guī)在AC上確定點(diǎn)D，使△A．B．C． D．【題型8數(shù)相似三角形的對(duì)數(shù)】【例8】（2425九年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，A．5對(duì) B．6對(duì) C．10對(duì) D．20對(duì)【變式81】如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【變式82】（2425九年級(jí)上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC、△DEF都是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，圖中的相似三角形共有（A．3對(duì) B．4對(duì) C．6對(duì) D．7對(duì)【變式83】（2425九年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，E是矩形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，連接BE,AF⊥BE于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)A．4對(duì) B．6對(duì) C．8對(duì) D．5對(duì)【題型9存在相似三角形】【例9】（2324九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）如圖，已知AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，AB=4，CD=6，BC=14，P為直線BC上一點(diǎn)，若以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、C【變式91】在坐標(biāo)系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），過(guò)點(diǎn)C作直線L交x軸于點(diǎn)D，使得以點(diǎn)D，C，O為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，這樣的直