2025年機械振動試題及參考答案一、選擇題（每題3分，共18分）1.單自由度欠阻尼系統(tǒng)自由振動時，其位移響應的包絡線由（）決定。A.固有頻率B.阻尼比C.初始位移D.激勵頻率2.簡諧激勵下受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應頻率（）。A.等于系統(tǒng)固有頻率B.等于激勵頻率C.等于阻尼振動頻率D.與激勵頻率無關3.臨界阻尼系統(tǒng)的阻尼系數(shù)c_c滿足（）。A.c_c=2√(mk)B.c_c=√(mk)C.c_c=m/√kD.c_c=k/√m4.隔振系統(tǒng)的傳遞率TR小于1的條件是（）。A.激勵頻率ω<√2ω_nB.激勵頻率ω>√2ω_nC.阻尼比ζ>1D.阻尼比ζ<0.55.兩自由度系統(tǒng)的主振動指（）。A.兩個質(zhì)量塊以相同頻率振動，振幅比固定B.兩個質(zhì)量塊以不同頻率振動，振幅比變化C.僅一個質(zhì)量塊振動，另一個靜止D.振動響應包含所有固有頻率成分6.非線性振動區(qū)別于線性振動的主要特征是（）。A.存在共振現(xiàn)象B.響應頻率可能包含激勵頻率的倍頻或分頻C.阻尼力與速度成正比D.固有頻率與振幅無關二、填空題（每題4分，共24分）1.單自由度無阻尼系統(tǒng)固有頻率ω_n的計算公式為______（用質(zhì)量m和剛度k表示）。2.欠阻尼系統(tǒng)阻尼比ζ的定義式為ζ=______（用阻尼系數(shù)c、質(zhì)量m、剛度k表示）。3.簡諧激勵F(t)=F_0cosωt作用下，受迫振動穩(wěn)態(tài)響應的振幅X=______（用F_0、k、ζ、ω/ω_n表示）。4.兩自由度系統(tǒng)運動微分方程的一般形式為[M]{x}''+[C]{x}'+[K]{x}={F(t)}，其中[M]、[K]分別為______矩陣和______矩陣。5.振動測試中，加速度傳感器的工作原理基于______效應，其輸出信號與被測物體的______成正比。6.對于周期激勵力F(t)，若其傅里葉級數(shù)展開為F(t)=F_0+Σ(A_ncosnωt+B_nsinnωt)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為各______頻率分量響應的線性疊加。三、簡答題（每題8分，共32分）1.簡述阻尼在機械振動中的作用。2.解釋“頻率比λ=ω/ω_n>√2時隔振有效”的物理意義。3.說明多自由度系統(tǒng)主振型的正交性及其工程意義。4.列舉三種常見的振動控制方法，并簡述其原理。四、計算題（共76分）1.（18分）某單自由度振動系統(tǒng)，已知質(zhì)量m=2kg，彈簧剛度k=800N/m，阻尼系數(shù)c=16N·s/m。初始時刻位移x(0)=0.1m，速度x’(0)=0。（1）計算阻尼比ζ和固有頻率ω_n；（2）判斷系統(tǒng)振動類型（欠阻尼/臨界阻尼/過阻尼）；（3）寫出位移響應x(t)的表達式；（4）計算前兩個相鄰振幅的比值（即x(t1)/x(t1+T_d)，T_d為衰減振動周期）。2.（20分）如圖1所示（注：假設圖中為簡諧力F(t)=100cos15tN作用于質(zhì)量m=2kg的單自由度系統(tǒng)，彈簧剛度k=800N/m，阻尼系數(shù)c=16N·s/m）。（1）推導穩(wěn)態(tài)響應的振幅X和相位角φ；（2）計算共振時的激勵頻率ω_r；（3）若要求共振振幅不超過0.05m，需將阻尼比ζ至少增加到多少？3.（20分）兩自由度振動系統(tǒng)如圖2所示（注：假設圖中m1=m2=1kg，k1=k2=k3=100N/m，無阻尼）。（1）建立系統(tǒng)的運動微分方程；（2）求固有頻率ω_1和ω_2；（3）求對應于ω_1和ω_2的主振型向量；（4）說明主振型的物理意義。4.（18分）某設備質(zhì)量m=50kg，工作頻率ω=60rad/s，需設計隔振系統(tǒng)使傳遞率TR≤0.2。已知可用隔振器的阻尼比ζ=0.1。（1）計算系統(tǒng)所需的固有頻率ω_n；（2）確定隔振器的剛度k；（3）若實際安裝時剛度k=2×10^5N/m，計算此時的傳遞率TR，并判斷是否滿足要求。參考答案一、選擇題1.B2.B3.A4.B5.A6.B二、填空題1.ω_n=√(k/m)2.ζ=c/(2√(mk))3.X=(F_0/k)/√[(1-(ω/ω_n)2)2+(2ζω/ω_n)2]4.質(zhì)量；剛度5.壓電；加速度6.諧波三、簡答題1.阻尼的作用包括：（1）消耗振動能量，使自由振動逐漸衰減；（2）抑制受迫振動的共振振幅，避免系統(tǒng)因過大振動損壞；（3）影響振動響應的相位和幅值特性，改變隔振系統(tǒng)的傳遞率。2.頻率比λ=ω/ω_n>√2時，隔振系統(tǒng)的傳遞率TR=√[1+(2ζλ)2]/√[(1-λ2)2+(2ζλ)2]。當λ>√2時，分母(1-λ2)2增長快于分子，TR<1，表明傳遞到基礎的振動載荷小于激勵載荷，隔振有效。3.主振型的正交性指不同階主振型向量關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交，即{φ_i}^T[M]{φ_j}=0（i≠j），{φ_i}^T[K]{φ_j}=0（i≠j）。工程意義：可通過主振型正交性將多自由度系統(tǒng)解耦，簡化振動響應分析；利用正交性可設計振動測試方案，分離各階模態(tài)。4.常見振動控制方法：（1）隔振：通過添加彈性元件（如彈簧）和阻尼元件，減少振動從振源向基礎或從基礎向設備的傳遞；（2）吸振：在主系統(tǒng)上附加子系統(tǒng)（如動力吸振器），利用子系統(tǒng)的反共振抵消主系統(tǒng)振動；（3）阻尼控制：增加系統(tǒng)阻尼（如黏滯阻尼、摩擦阻尼），消耗振動能量，降低振幅。四、計算題1.（1）ζ=c/(2√(mk))=16/(2√(2×800))=16/(2×40)=0.2；ω_n=√(k/m)=√(800/2)=20rad/s。（2）ζ=0.2<1，欠阻尼。（3）欠阻尼位移響應x(t)=e^(-ζω_nt)(Acosω_dt+Bsinω_dt)，其中ω_d=ω_n√(1-ζ2)=20×√(1-0.04)=20×0.98≈19.6rad/s。由初始條件x(0)=0.1=A，x’(0)=0=-ζω_nA+ω_dB→B=(ζω_nA)/ω_d=(0.2×20×0.1)/19.6≈0.0204。故x(t)=e^(-4t)(0.1cos19.6t+0.0204sin19.6t)，或寫成x(t)=0.102e^(-4t)cos(19.6t-11.5°)（幅角φ=arctan(B/A)=arctan(0.0204/0.1)=11.5°）。（4）相鄰振幅比為e^(ζω_nT_d)，T_d=2π/ω_d≈2π/19.6≈0.321s，故比值=e^(0.2×20×0.321)=e^(1.284)≈3.61。2.（1）穩(wěn)態(tài)振幅X=F_0/(k√[(1-(ω/ω_n)2)2+(2ζω/ω_n)2])。已知F_0=100N，k=800N/m，ω=15rad/s，ω_n=20rad/s，ζ=0.2。代入得：ω/ω_n=0.75，2ζω/ω_n=0.3。分母=√[(1-0.752)2+0.32]=√[(0.4375)2+0.09]=√(0.1914+0.09)=√0.2814≈0.5305。故X=100/(800×0.5305)≈0.236m。相位角φ=arctan[(2ζω/ω_n)/(1-(ω/ω_n)2)]=arctan(0.3/0.4375)=arctan(0.6857)≈34.5°（因ω<ω_n，φ為正）。（2）共振頻率ω_r=ω_n√(1-2ζ2)=20×√(1-2×0.04)=20×√0.92≈19.18rad/s。（3）共振時振幅X_r=F_0/(k×2ζ√(1-ζ2))≈F_0/(2kζ)（ζ較小時）。要求X_r≤0.05m，即100/(2×800×ζ)≤0.05→100/(1600ζ)≤0.05→ζ≥100/(1600×0.05)=1.25。但ζ>1時系統(tǒng)過阻尼，無共振峰，故需ζ≥1。3.（1）設m1位移x1，m2位移x2，彈簧k1受拉壓變形x1，k2變形x1-x2，k3變形x2。運動方程：m1x1''=-k1x1-k2(x1-x2)→x1''+(k1+k2)/m1x1-k2/m1x2=0m2x2''=-k3x2+k2(x1-x2)→x2''-k2/m2x1+(k2+k3)/m2x2=0代入m1=m2=1kg，k1=k2=k3=100N/m，得：x1''+200x1-100x2=0x2''-100x1+200x2=0（2）設x1=X1cosωt，x2=X2cosωt，代入得：(-ω2+200)X1-100X2=0-100X1+(-ω2+200)X2=0特征方程：|(-ω2+200)-100|=(-ω2+200)2-10000=0→ω2=200±100→ω1=√100=10rad/s，ω2=√300≈17.32rad/s。（3）對于ω1=10rad/s，代入第一式：(200-100)X1=100X2→X1/X2=1，主振型{φ1}=[1,1]^T；對于ω2=√300rad/s，(200-300)X1=100X2→X1/X2=-1，主振型{φ2}=[1,-1]^T。（4）主振型表示系統(tǒng)按固有頻率振動時各質(zhì)量的相對振幅，反映系統(tǒng)的振動形態(tài)。第一階主振型中兩質(zhì)量同相位振動，第二階反相位振動。4.（1）傳遞率TR=√[1+(2ζλ)2]/√[(1-λ2)2+(2ζλ)2]≤0.2，λ=ω/ω_n。代入ζ=0.1，ω=60rad/s，令TR=0.2，平方得：[1+(0.2λ)2]/[(1-λ2)2+(0.2λ)2]=0.04→1+0.04λ2=0.04[(1-2λ2+λ^4)+0.04λ2]→1+0.04λ2=0.04-0.08λ2+0.04λ^4+0.0016λ2→0.04λ^4-0.1216λ2-0.96=0。令y=λ2，方程為0.04y2-0.1216y-0.96=0，解得y=[0.1216±√(0.12162+4×0.04×0.96)]/(2×0.04)=[0.1216±√(0.0148+0.1536)]/0.08=[0.1216±0.41]/0.08。取正根y=(0.1216+0.41)/0.08≈6.645，故λ=√6.645≈2.578。因λ=ω/ω_n>√2（隔振有效），故ω_n=ω/λ=60/2.578≈23.27rad/s。（2）剛度k=mω_n2=50×(23.27)2≈50×541.5≈27075N/m≈