2025年天津數(shù)學(xué)高考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)3.復(fù)數(shù)\(z=3-4i\)的模\(\vertz\vert\)為（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(7\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)的值為（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)7.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)8.已知函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-x\)，則\(f(-2)\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(6\)D.\(-6\)9.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)10.若\(a=2^{0.3}\)，\(b=\log_20.3\)，\(c=0.3^2\)，則（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(c\gta\gtb\)D.\(b\gta\gtc\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些函數(shù)是偶函數(shù)（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\vertx\vert\)D.\(y=2^x\)2.下列關(guān)于直線與平面的說法正確的是（）A.若直線\(l\)平行于平面\(\alpha\)內(nèi)的無數(shù)條直線，則\(l\parallel\alpha\)B.若直線\(l\perp\)平面\(\alpha\)，直線\(m\subset\alpha\)，則\(l\perpm\)C.若平面\(\alpha\parallel\)平面\(\beta\)，直線\(l\subset\alpha\)，則\(l\parallel\beta\)D.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)相交，則平面\(\alpha\)內(nèi)有且只有一條直線與\(l\)垂直3.已知\(a,b\inR\)，且\(a+b=4\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(ab\leqslant4\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant1\)C.\(a^2+b^2\geqslant8\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant2\sqrt{2}\)4.以下屬于基本初等函數(shù)的是（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)5.對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，下列說法正確的是（）A.若\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.若\(a_{n+1}=qa_n\)（\(q\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列C.若\(a_n=n^2\)，則\(a_{n+1}-a_n=2n+1\)D.若\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，\(a_1=1\)，\(a_3=4\)，則\(q=2\)6.已知圓\(C\)的方程為\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，則下列說法正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為\((1,2)\)B.半徑為\(2\)C.點(diǎn)\((3,3)\)在圓\(C\)上D.直線\(x=3\)與圓\(C\)相切7.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的性質(zhì)正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于點(diǎn)\((-\frac{\pi}{6},0)\)對稱C.在\([-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)上單調(diào)遞增D.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱8.已知\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant2\\x-y\leqslant2\\y\leqslant2\end{cases}\)，則（）A.\(z=x+2y\)的最大值為\(8\)B.\(z=x+2y\)的最小值為\(4\)C.\(z=3x-y\)的最大值為\(4\)D.\(z=3x-y\)的最小值為\(-2\)9.下列命題中正確的是（）A.\(\forallx\inR\)，\(x^2+1\gt0\)B.\(\existsx\inR\)，\(x^2+x+1=0\)C.\(\forallx\inN\)，\(x^2\geqslantx\)D.\(\existsx\inR\)，\(x^2-2x+1\lt0\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)的導(dǎo)函數(shù)為\(f^\prime(x)\)，且滿足\(f(x)=x^3+2xf^\prime(1)\)，則（）A.\(f^\prime(1)=-3\)B.\(f(1)=-1\)C.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處的切線斜率為\(-3\)D.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處的切線方程為\(3x+y-2=0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.垂直于同一條直線的兩條直線一定平行。（）5.若\(z_1,z_2\)為復(fù)數(shù)，且\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，則\(z_1=z_2\)。（）6.等比數(shù)列的公比可以為\(0\)。（）7.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上一定是增函數(shù)。（）8.橢圓的離心率\(e\)的取值范圍是\((0,1)\)。（）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數(shù)列，則\(2b=a+c\)。（）10.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=3x^2\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解不等式得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3},k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}],k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3+a_5=10\)，求\(a_7\)的值。答案：設(shè)公差為\(d\)，\(a_3+a_5=2a_1+6d=10\)，把\(a_1=2\)代入得\(4+6d=10\)，解得\(d=1\)，\(a_7=a_1+6d=2+6=8\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：因?yàn)樗笾本€與\(2x-y+1=0\)平行，所以斜率\(k=2\)，由點(diǎn)斜式得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知\(x+y=1\)，\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+y)=2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geqslant2+2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=4\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=y=\frac{1}{2}\)時(shí)取等號，最小值為\(4\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-2ax+1\)在\([0,2]\)上的單調(diào)性。答案：函數(shù)對稱軸為\(x=a\)。當(dāng)\(a\leqslant0\)時(shí)，函數(shù)在\([0,2]\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，在\([0,a]\)單調(diào)遞減，\([a,2]\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(1\leqslanta\lt2\)時(shí)，在\([0,a]\)單調(diào)遞減，\([a,2]\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(a\geqslant2\)時(shí)，函數(shù)在\([0,2]\)上單調(diào)遞減。2.已知直線\(l\)與圓\(C\)，如何判斷直線\(l\)與圓\(C\)的位置關(guān)系？答案：可通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷。若\(d\gtr\)，直線與圓相離；若\(d=r\)，直線與圓相切；若\(d\ltr\)，直線與圓相交。也可聯(lián)立直線與圓方程，根據(jù)判別式判斷。3.請討論在實(shí)際生活中，哪些場景會用到數(shù)列知識？答案：如銀行存款利息計(jì)算，采用等比數(shù)列；分期付款，每期還款金額計(jì)算可能涉及等差數(shù)列；還有人口增長、樹木種植數(shù)量按一定規(guī)律變化等場景，都可以用數(shù)列知識建立模型分析和預(yù)測。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)？答案：通過求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)大于\(0\)的區(qū)間為增區(qū)間，小于\(0\)的區(qū)間為減區(qū)間。由導(dǎo)數(shù)