2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（浙江卷）本套試卷依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》與中考評價體系的基本要求命制，整體風(fēng)格與2024年浙江省中考方向基本保持一致，又在題型與情境設(shè)計方面呈現(xiàn)出一定調(diào)整和創(chuàng)新。試卷依照“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”相結(jié)合的原則，覆蓋了初中階段的重要知識點，既凸顯了對基本運算與幾何推理能力的考查，又兼顧函數(shù)、統(tǒng)計與概率以及實際應(yīng)用等多方面內(nèi)容。全卷滿分120分，考試時間120分鐘，整體難度分布合理，區(qū)分度較高，能有效評價學(xué)生對所學(xué)知識的掌握程度及靈活運用水平。從試卷的結(jié)構(gòu)看，本卷分選擇題（10題，共30分）與非選擇題（包括填空題和解答題，共90分）兩大部分，題量共24題。題目數(shù)量與往年浙江省中考保持大體一致，整體布局清晰：?選擇題部分側(cè)重對學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本概念的掌握情況的快速檢測，包括數(shù)與代數(shù)、幾何圖形、統(tǒng)計與概率、函數(shù)基本性質(zhì)等方面。在這一部分，考生需關(guān)注對運算規(guī)律、幾何性質(zhì)與基本統(tǒng)計圖表的靈活識別。?非選擇題部分則兼具對運算能力、推理論證、建模應(yīng)用以及綜合表達(dá)等多維度的測查。填空題以判斷與計算題為主，分值較小，但覆蓋面廣，需要考生對基礎(chǔ)知識靈活調(diào)度。解答題延續(xù)了往年對幾何綜合、函數(shù)綜合的高要求，同時增設(shè)了與真實生活情境緊密結(jié)合的題目，如與統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)分析、仰角與俯角、三視圖及實際應(yīng)用相關(guān)的試題，突顯學(xué)生對所學(xué)知識的遷移運用、數(shù)學(xué)思維及創(chuàng)新能力的考查。?數(shù)與代數(shù)部分緊扣初中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容，重點考查有理數(shù)與無理數(shù)、分式方程、不等式組及一元二次方程（或函數(shù)）的應(yīng)用；尤其注重對分式方程、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等?？贾R點的理解與應(yīng)用。?幾何板塊貫穿全卷，如對圓、三角形、矩形、菱形及其特殊性質(zhì)的考察；同時涉及相似三角形、全等三角形、角與弧以及圓心角、圓周角、切線定理等專題知識，要求學(xué)生具備從幾何圖形入手，能根據(jù)題意快速作出輔助線、進(jìn)行綜合推理的能力。?函數(shù)與圖象板塊側(cè)重對二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考察，同時也融入現(xiàn)實情境（如衛(wèi)星導(dǎo)航路徑問題、位似圖形、運動點與觀測點的距離等），要求學(xué)生對函數(shù)建模及分析有一定的思維深度。?統(tǒng)計與概率的命題體現(xiàn)了對真實數(shù)據(jù)、樣本與總體的理解；如條形圖、扇形圖的統(tǒng)計分析，綜合考查眾數(shù)、中位數(shù)、抽樣估計等；對概率題則突出列表法或樹狀圖計算的基礎(chǔ)方法。。本套試卷整體與歷年保持相對平穩(wěn)。約70%的基礎(chǔ)題覆蓋“必備知識與常規(guī)技能”部分，這些題型相對簡單易上手，分布在選擇題和前段的非選擇題。約20%的中檔題針對綜合與運用能力，需要學(xué)生靈活調(diào)度多種思路，往往結(jié)合幾何與代數(shù)交叉點，體現(xiàn)一定的區(qū)分度；剩下約10%則為較高層次或有技巧性設(shè)計的綜合應(yīng)用題，需要更為深層的推理、較強(qiáng)的空間想象及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)。例如有些題目在條件設(shè)定或圖形作法上給出了開放的引導(dǎo)，需要學(xué)生結(jié)合幾何、函數(shù)或數(shù)形結(jié)合方式進(jìn)行思考。題目材料貼近生活實際，呈現(xiàn)了真實場景，每道中高難度題都通過閱讀量適中、設(shè)問條理清晰的方式，開啟了對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的考查，亦對命題“適應(yīng)學(xué)情、教情”作了有效把握?？傮w而言，本套試卷在中考評價體系的框架下，符合浙江省地區(qū)的學(xué)情特點和課程標(biāo)準(zhǔn)的水平要求，既能對學(xué)生的基本知識、基本技能進(jìn)行較全面的檢測，也彰顯了對高層次思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用與表達(dá)能力的關(guān)注。它對于指導(dǎo)今后的教學(xué)具有較好導(dǎo)向作用：一方面，教師要繼續(xù)夯實基礎(chǔ)知識、重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系；另一方面，也要注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維解決實際問題的能力，并不斷提升邏輯思維和創(chuàng)新意識。試卷的整體有效性與科學(xué)性相對突出，能夠較為精準(zhǔn)地衡量學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，為后續(xù)教學(xué)診斷、復(fù)習(xí)備考與改進(jìn)教學(xué)提供了較為清晰的導(dǎo)向。?多處出現(xiàn)與國家政策、社會實踐（如“減稅降費”“高速公路無人機(jī)監(jiān)控”）相結(jié)合的材料，要求學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)知識解決實際問題。?貼近生產(chǎn)生活的題目增多，讓學(xué)生需要運用多學(xué)科思維探究問題。?如第(22)題綜合了的切線性質(zhì)、、和等多知識點；填空題也更強(qiáng)調(diào)運算與幾何、概率、統(tǒng)計等領(lǐng)域的銜接。?部分小題融入新知識背景（如“位似”、數(shù)據(jù)處理與圖表綜合），考查學(xué)生對不同章節(jié)知識的關(guān)聯(lián)運用。?題干中常見對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用、函數(shù)與幾何的交叉考查，需從多角度展開思考。?某些大題在計算或推理中都有進(jìn)一步延伸，如第(24)題先求，再涉及軸對稱、最短距離等概念，邏輯鏈條更復(fù)雜，提高對分析與綜合的要求。。?需要更靈活地調(diào)動數(shù)形結(jié)合、方程思想、函數(shù)觀點等多元思維方式。?更側(cè)重對問題背景的理解與數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，要求學(xué)生既能準(zhǔn)確解題又能條理表達(dá)、分析推理到位。以下分析基于本套“2025年浙江省中考真題數(shù)學(xué)試題”，。全卷共包含24道題目，題型包括“選擇題”“填空題”“解答題”三種形式，具體結(jié)構(gòu)如下：?選擇題：10小題×3分=30分，占全卷25%?填空題：6小題×3分=18分，占全卷15%?解答題：8小題，共72分，占全卷60%下面通過表格形式對各題號的分值、題型、主要考查內(nèi)容和難易程度進(jìn)行展示和分析。題號分值題型考查內(nèi)容難易分析13選擇題相反數(shù)、數(shù)的符號運算易：基礎(chǔ)知識點23選擇題平行線性質(zhì)與角度計算易：基礎(chǔ)識記33選擇題科學(xué)記數(shù)法易：常規(guī)題43選擇題立體圖形的三視圖(直棱柱俯視圖)易：識圖題53選擇題反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)易：基礎(chǔ)性質(zhì)63選擇題位似圖形、相似三角形中：理解位似關(guān)系73選擇題二元一次方程組建模(彩色紙、細(xì)木條用量)易：應(yīng)用列方程83選擇題條形圖與扇形圖綜合(統(tǒng)計)易：直讀統(tǒng)計圖93選擇題直角三角形(斜邊中線)、作弧求弧長中：幾何綜合103選擇題二次函數(shù)(運動點與觀測點間距離的平方)中：函數(shù)應(yīng)用113填空題絕對值與立方根易：基礎(chǔ)計算123填空題一元一次不等式組易：常規(guī)解法133填空題仰角、直角三角形(余弦應(yīng)用)易：基礎(chǔ)三角143填空題概率(樹狀圖/列表法)易：基礎(chǔ)概念153填空題二項式乘方展開(楊輝三角規(guī)律)中：運算規(guī)律163填空題矩形、圓、相似(圓周角定理、勾股)中：綜合幾何176解答題代數(shù)式化簡與求值易：基礎(chǔ)運算186解答題分式方程易：常規(guī)步驟198解答題幾何(正方形剪切、全等三角形、角度求解)中：幾何綜合208解答題統(tǒng)計與概率(樣本估計總體、眾數(shù)與中位數(shù))中：統(tǒng)計應(yīng)用219解答題近似算法(完全平方公式應(yīng)用)、算術(shù)平方根估算中：技巧探究229解答題圓的切線性質(zhì)、直角三角形、等腰三角形中：幾何綜合2310解答題二次函數(shù)綜合應(yīng)用(對稱軸、頂點、參數(shù)應(yīng)用)難：綜合度較高2416解答題菱形的性質(zhì)、軸對稱、勾股定理、最值問題難：綜合&拓展說明：?第1～10題（選擇題）各3分，共30分；?第11～16題（填空題）各3分，共18?第17～24題（解答題）共72上表中“分值”一欄，對選擇題和填空題寫出每題固定分值，對不定分值的解答題則以“—”表示，其合計分值已在題干說明。易：約占37.5%中：約占40.8%?易：約13題（如第1、2、3、4、5、7、8、11、12、13、14、17、18等），考查基礎(chǔ)重點與常規(guī)知識點，適合大部分同學(xué)把握。?中：約9題（如第6、9、10、15、16、19、20、21、22)，多為知識綜合或靈活應(yīng)用，稍有難度，需要同學(xué)們加以運算或幾何推理。?難：約2題（第23、24），往往融合多個知識點或需較深推理，考查學(xué)生的綜合能力與創(chuàng)新解題思路。綜合而言，本套試卷題目覆蓋面廣，層次分明。基礎(chǔ)部分(易)占有較大比重，保證大多數(shù)考生能夠獲取基本分?jǐn)?shù)；中等偏難部分旨在檢測學(xué)生綜合運用與適度拓展能力；高難度題則對尖子生提出更高挑戰(zhàn)。建議同學(xué)們在備考時扎實掌握基礎(chǔ)知識，熟悉常見題型和解題方法，并適當(dāng)進(jìn)行綜合題和拔高題的訓(xùn)練。本試題涵蓋了初中數(shù)學(xué)多個重點板塊，包括有理數(shù)與無理數(shù)、方程與不等式、函數(shù)及圖象、幾何圖形與坐標(biāo)、統(tǒng)計與概率等內(nèi)容，命題形式多樣，既注重基本概念與方法的考查，也體現(xiàn)了一定程度的綜合與創(chuàng)新。建議同學(xué)們在接下來的復(fù)習(xí)中，從以下幾個方面科學(xué)規(guī)劃，穩(wěn)步提升。1.數(shù)與代數(shù)?絕對值、相反數(shù)及立方根等概念是基礎(chǔ)，常見易錯點在于符號判斷和運算順序。復(fù)習(xí)時要熟悉與的區(qū)別，并在運算前先明確解題步驟。?分式方程與不等式組的求解經(jīng)常出現(xiàn)“去分母”后漏解或多解的問題。應(yīng)注意分式方程的增根與檢驗環(huán)節(jié)，特別要檢查分母不能為零的限制條件。?科學(xué)記數(shù)法易出現(xiàn)忽略最高位或末位零的錯誤，應(yīng)熟悉將大數(shù)化為的要求；在書寫與四則運算中保持謹(jǐn)慎。2.函數(shù)與圖形?反比例函數(shù)的圖象位置由的正負(fù)性決定，理解其在不同象限的分布至關(guān)重要。同學(xué)們要分清和的情形，并掌握其隨的增大而增大或減小的性質(zhì)。?二次函數(shù)的頂點、對稱軸、最值等知識常與實際問題結(jié)合，易錯點在對稱軸位置、拋物線與平行線交點坐標(biāo)求解不熟練。復(fù)習(xí)時可多做不同形式的變式訓(xùn)練，理解的基本特征。。3.幾何與坐標(biāo)?平行線及圓的切線性質(zhì)是?？純?nèi)容。對于圓的切線，一定記住“切線垂直于過切點的半徑”，并且要善用三角函數(shù)或者相似三角形進(jìn)行長度與角度推導(dǎo)。?矩形、菱形、正方形的性質(zhì)以及斜邊中線、角平分線等幾何元素也是易出錯環(huán)節(jié)。復(fù)習(xí)過程要著重理解“菱形四邊相等”“正方形對角線互相垂直且平分”“直角三角形斜邊中線等于半個斜邊”等結(jié)論的推導(dǎo)過程。?坐標(biāo)幾何易混點在于點與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，尤其是位似、對稱等變換。要注意求解過程中的坐標(biāo)運算、相似比判定及幾何意義。4.概率與統(tǒng)計?對于眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者區(qū)別與用途，要能夠正確識別與計算。易錯點在于遺漏或排序不當(dāng)時導(dǎo)致的中位數(shù)誤判。?樣本與總體之間的估計與推斷，是常見的應(yīng)用題。需牢記用樣本結(jié)果估計總體的思路，并注意分類匯總的完整性。性。1.選擇題：?快速排除法：可通過檢查選項的“極端值”“界限條件”或“特殊情況”來檢驗真?zhèn)?。對于帶有圖象的選擇題，先根據(jù)關(guān)鍵特征（如對稱軸、頂點、坐標(biāo)象限等）做判斷。?算理驗證法：針對數(shù)值計算類題目，如分式化簡、開方運算、幾何量度數(shù)等，可適度嘗試帶入簡單數(shù)字或特殊位置去驗證。若滿足條件或與實際情境吻合，往往能協(xié)助排除錯誤選項。2.填空題：?注意精確性：如題中明確要求“不得用近似值”，則需在代數(shù)運算或幾何推導(dǎo)中保證最終結(jié)果為準(zhǔn)確值（如根式形式）。?注重運算有序：在填空題中，常見失分點是因匆忙而漏掉某個關(guān)鍵步驟。建議先在草稿中理順過程，再謄寫到答題紙上，對繁瑣運算部分要充分檢查。3.解答題：?書寫要規(guī)整：分步驟展示思路，嚴(yán)格按照“寫已知、求證或求解、分析和證明、結(jié)論”的順序展開說明，便于閱卷老師快速理解。?公式與定理引用務(wù)必寫準(zhǔn)確：如、相似三角形判定、圓的切線性質(zhì)、三視圖對應(yīng)關(guān)系等，寫錯或漏寫會影響得分。?特別注意幾何證明要素：幾何證明需要邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。可先畫好草圖，標(biāo)明已知條件并逐一推導(dǎo)。若需說明對稱、全等或相似等關(guān)系，則應(yīng)配合使用、、等全等或相似判定，并給出相應(yīng)理由。?每天可以安排半小時針對薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行專項突破，如幾何輔助線添加技巧、方程不等式綜合運用等。1.階段性自檢：?不同階段應(yīng)制定小目標(biāo)，如一輪復(fù)習(xí)先熟悉各章節(jié)概念與典型題型；二輪鞏固提高，梳理不同題型之間的聯(lián)系與套路；三輪沖刺時重點回顧錯題與盲點，保持良好狀態(tài)。?定期做總結(jié)筆記，將錯題原因分類：是計算失誤、概念不清還是思路缺失。反復(fù)翻閱并針對性改進(jìn)。2.提升自信，穩(wěn)住心態(tài)：?考前可以多做中檔及基礎(chǔ)題，保證熟悉度與正確率。碰到新穎極端題型時，可先思考是否能化繁為簡，或用熟悉方法驗證操作的可行性。?考試中遇到難題要學(xué)會暫時擱置，先拿下容易得分的題目。確保完成中低檔題目的高分率，既能緩解緊張又能宏觀把控試卷整體時間。3.考場細(xì)節(jié)：?答題卡填涂精準(zhǔn)：在選擇題多選或涂卡不全等問題上，一旦失誤，難以彌補(bǔ)。檢查無誤后再落筆。?文字與符號規(guī)范：坐標(biāo)、角度、長度單位或附加條件都應(yīng)在解答中體現(xiàn)，保證閱卷老師能直接閱讀出正確信息。1.穩(wěn)中有新，注重情境化：?中考試題多結(jié)合社會熱點與日常實際，如稅收、環(huán)保、消防、交通等背景設(shè)置情境題，考查學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力。建議同學(xué)們在復(fù)習(xí)中多留意與生活相關(guān)的應(yīng)用題，關(guān)注閱讀理解式的問題表述。?統(tǒng)計與概率的考查會日益貼近“大數(shù)據(jù)”應(yīng)用背景，要求考生具備基本的數(shù)據(jù)處理與分析思維。2.綜合能力與創(chuàng)新思維：?越來越多的題型會打破純知識點的界限，需要綜合運用函數(shù)、幾何、代數(shù)、統(tǒng)計等多方面知識才能解決。這對學(xué)生的審題能力與邏輯思維有更高要求。?創(chuàng)新類問題可能結(jié)合幾何變換（旋轉(zhuǎn)、對稱、平移、位似）或數(shù)學(xué)建模思路，需要考生動手畫圖、列公式或構(gòu)造輔助線來解決。3.建議關(guān)注：?關(guān)注二次函數(shù)、反比例函數(shù)在綜合題中的交匯；重視三視圖、投影以及與圓、菱形或正多邊形結(jié)合出題的可能性。?充分練習(xí)解幾何大題的過程化表述與“數(shù)形結(jié)合”的綜合運用，把握“分步得分”的特點，整合學(xué)科知識點靈活解決問題。以上建議旨在幫助同學(xué)們在本次考試以及整個初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中找準(zhǔn)關(guān)鍵、把握方向。希望大家能結(jié)合自身實際，合理規(guī)劃復(fù)習(xí)路徑，穩(wěn)扎穩(wěn)打地提升成績。預(yù)祝各位同學(xué)在接下來的考試中取得優(yōu)異表現(xiàn)！浙江省2025年初中學(xué)業(yè)水平考試選擇題部分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查相反數(shù)，根據(jù)只有符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：的相反數(shù)是故選A．2.如圖所示，直線被直線c所截．若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合平角的定義，對頂角相等，求出每個角的度數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，；故選B．3.國家稅務(wù)總局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2024年，現(xiàn)行支持科技創(chuàng)新和制造業(yè)發(fā)展的主要政策減稅降費及退稅達(dá)26293億元，助力我國新質(zhì)生產(chǎn)力加速培育、制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展．將數(shù)2629300000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，將大數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時，需將其寫成的形式，其中，為整數(shù)，據(jù)此進(jìn)行作答即可．【詳解】解：，故選：B．4.底面是正六邊形的直棱柱如圖所示，其俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查三視圖，根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，俯視圖為：故選A．5.已知反比例函數(shù)．下列選項正確的是（）A.函數(shù)圖象在第一、三象限 B.y隨x的增大而減小C.函數(shù)圖象在第二、四象限 D.y隨x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)逐一判斷即可．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，圖象兩支位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大．【詳解】解：反比例函數(shù)中，，因此其圖象的兩支分布在第二、四象限，對應(yīng)選項C正確，選項A錯誤．當(dāng)時，在第二象限（）和第四象限（）內(nèi)，隨的增大而增大．但選項D未明確“在每個象限內(nèi)”，若跨象限變化（如從負(fù)數(shù)到正數(shù)），會減小，因此選項D的描述不準(zhǔn)確．選項B“隨的增大而減小”與時的性質(zhì)矛盾，錯誤．故選：C．6.如圖，五邊形是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，已知點的坐標(biāo)分別為．若的長為3，則的長為（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，證明，即可求解．【詳解】解：∵五邊形是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，點的坐標(biāo)分別為∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：C．7.手工社團(tuán)的同學(xué)制作兩種手工藝品A和B，需要用到彩色紙和細(xì)木條，單個手工藝品材料用量如下表．材料類別彩色紙（張）細(xì)木條（捆）手工藝品A53手工藝品B21如果一共用了17張彩色紙和10捆細(xì)木條，問他們制作的兩種手工藝品各有多少個？設(shè)手工藝品A有x個，手工藝品B有y個，則x和y滿足的方程組是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查根據(jù)實際問題，列二元一次方程，根據(jù)題意，建立關(guān)于彩色紙和細(xì)木條用量的二元一次方程組．【詳解】解：每個手工藝品A用5張，每個B用2張，總用量為17張．因此可列方程為：；每個手工藝品A用3捆，每個B用1捆，總用量為10捆．因此可列方程為：；故方程組：；故選C．8.某書店某一天圖書的銷售情況如圖所示．根據(jù)以上信息，下列選項錯誤的是（）A.科技類圖書銷售了60冊 B.文藝類圖書銷售了120冊C.文藝類圖書銷售占比 D.其他類圖書銷售占比【答案】D【解析】【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，從統(tǒng)計圖中有效的獲取信息，先用教育類的數(shù)量除以所占的比例求出總銷售量，再逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：總銷售量為：（冊），∴科技類圖書銷售了（冊），∴文藝類圖書銷售了（冊），∴文藝類圖書銷售占比為：，∴其他類圖書銷售占比：；綜上：只有選項D錯誤，符合題意；故選D．9.如圖，在中，是斜邊上的中線，以點C為圓心，長為半徑作弧，與的另一個交點為點E．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查求弧長，斜邊上的中線，根據(jù)斜邊上的中線求出得到，進(jìn)而得到，三角形的外角得到的度數(shù)，作圖可知，等邊對等角求出的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，是斜邊上的中線，，∴，∴，∴，由作圖可知，∴，∴，∴的長為；故選B．10.為了實時規(guī)劃路徑，衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)需要計算運動點與觀測點之間距離的平方．如圖1，點P是一個固定觀測點，運動點Q從A處出發(fā)，沿筆直公路向目的地B處運動．設(shè)為x（單位：）為y（單位：）．如圖2，y關(guān)于x的函數(shù)圖象與y軸交于點C，最低點，且經(jīng)過和兩點．下列選項正確的是（）A. B.C.點C的縱坐標(biāo)為240 D.點在該函數(shù)圖象上【答案】D【解析】【分析】作，當(dāng)時，動點運動到點的位置，得到，當(dāng)點運動到點的時候，最小為，，勾股定理求出的值，判斷A；當(dāng)時，點運動到點，根據(jù)三線合一，得到，進(jìn)而求出的值，判斷B；連接，勾股定理求出的長，確定的縱坐標(biāo)，判斷C，求出時，點的位置，再利用勾股定理求出，判斷D，即可．【詳解】解：如圖，作，當(dāng)時，動點運動到點的位置，則由題意和圖象可知，當(dāng)點運動到點的時候，最小，即：，，在中，由勾股定理，得：，解得：，故選項A錯誤；∴，，當(dāng)時，點運動到點，則，∴，∵，∴，∴，故選項B錯誤；∴當(dāng)，即點在點時，∴；∴點的縱坐標(biāo)為；故選項C錯誤；當(dāng)時，點運動到點，則：，∴，∴，∴點在該函數(shù)圖象上，故選項D正確；故選D．【點睛】本題考查動點的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，三線合一等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，確定點的位置，是解題的關(guān)鍵．非選擇題部分二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11.________．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的立方根，掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．分別計算絕對值和立方根，再進(jìn)行加法計算即可．【詳解】解：，故答案為：2．12.不等式組的解集是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組的解集．熟練掌握解一元一次不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．先求第二個不等式的解集，進(jìn)而可得不等式組的解集．【詳解】解：，由①得：，∴原不等式組的解集為：，故答案為：．13.無人機(jī)警戒在高速公路場景中的應(yīng)用，是我國低空經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的重要實踐方向．如圖，在高速公路上，交警在A處操控?zé)o人機(jī)巡查，無人機(jī)從點A處飛行到點P處懸停，探測到它的正下方公路上點B處有汽車發(fā)生故障．測得A處到P處的距離為，從點A觀測點P的仰角為，則A處到B處的距離為________．【答案】【解析】【分析】利用仰角的余弦解答即可．本題考查了仰角的計算，熟練掌握角的余弦是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．14.現(xiàn)有六張分別標(biāo)有數(shù)字的卡片，其中標(biāo)有數(shù)字的卡片在甲手中，標(biāo)有數(shù)字的卡片在乙手中．兩人各隨機(jī)出一張卡片，甲出的卡片數(shù)字比乙大的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲出的卡片數(shù)字比乙大的結(jié)果數(shù)有4種，∴甲出的卡片數(shù)字比乙大的概率是．故答案為：15.【文化欣賞】我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下《詳解九章算法》，書中記載二項和的乘方展開式的系數(shù)規(guī)律如圖所示，其中“三乘”對應(yīng)的展開式：．【應(yīng)用體驗】已知，則m的值為________【答案】【解析】【分析】本題考查了整式規(guī)律探究，根據(jù)展開，即可求解．【詳解】解：，，，故答案為：．16.如圖，矩形內(nèi)接于是上一點，連接分別交于點．若，則的直徑為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，矩形的性質(zhì)；根據(jù)題意證出，得到，設(shè)，則，表示出，，連接，在中，求出，在和中，表示出，，列式計算出，再利用勾股定理計算直徑即可．【詳解】解：∵為矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴∴，在中，，連接，∵為直徑，∴，在中，，∴在中，，在中，，∴，∵，∴，∴解得：，∴，的直徑為：，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.化簡求值：，其中．【答案】，13【解析】【分析】本題考查了整式的混合運算，化簡求值，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．先計算單項式乘以多項式，再進(jìn)行合并同類項，然后再代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．18.解分式方程：．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程，按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程并檢驗即可得到答案．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，檢驗，當(dāng)時，，∴是原方程的解．19.【問題背景】如圖所示，某興趣小組需要在正方形紙板上剪下機(jī)翼狀紙板（陰影部分），點E在對角線上．【數(shù)學(xué)理解】（1）該機(jī)翼狀紙板是由兩個全等三角形組成，請寫出的證明過程．（2）若裁剪過程中滿足，求“機(jī)翼角”的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形的性質(zhì)可得，據(jù)此可利用證明；（2）由正方形的性質(zhì)可得，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可得到答案．【小問1詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴；【小問2詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．20.2024年11月9日是浙江省第31個消防日，為增強(qiáng)師生消防安全意識、提高自數(shù)防范能力，某縣教育與消防部門共同組織消防知識競賽．全縣九年級共120個班，每班選派10名選手參加．隨機(jī)抽取其中10個班級，統(tǒng)計其獲獎人數(shù)，結(jié)果如下表．班級①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩獲獎人數(shù)7868669785（1）若①班獲獎選手的成績分別為（單位：分）：，求該班獲獎選手成績的眾數(shù)與中位數(shù)．（2）根據(jù)統(tǒng)計信息，估計全縣九年級參賽選手獲獎的總?cè)藬?shù)．【答案】（1）眾數(shù)為，中位數(shù)為（2）全縣九年級參賽選手獲獎的總?cè)藬?shù)為人．【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計總體的知識，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)定義即可求解；（2）用樣本估計總體的方法求解即可．【小問1詳解】解：將①班獲獎選手的成績從小到大排列為：，∵出現(xiàn)了次，且次數(shù)最多，∴眾數(shù)為，第個數(shù)據(jù)，∴中位數(shù)為；【小問2詳解】解：10個班級獲獎人數(shù)平均數(shù)為：，∴估計全縣九年級參賽選手獲獎的總?cè)藬?shù)為：（人），答：全縣九年級參賽選手獲獎的總?cè)藬?shù)為人．21.【閱讀理解】同學(xué)們，我們來學(xué)習(xí)利用完全平方公式：近似計算算術(shù)平方根的方法．例如求的近似值．因為，所以，則可以設(shè)成以下兩種形式：①，其中；②，其中．小明以①的形式求的近似值的過程如圖．因為，所以，即．因為比較小，將忽略不計，所以，即，得，故．【嘗試探究】（1）請用②的形式求的近似值（結(jié)果保留2位小數(shù)）．【比較分析】（2）你認(rèn)為用哪一種形式得出的的近似值的精確度更高，請說明理由．【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精確度更高，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的估算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，其中，則仿照題意可得，比較小，將忽略不計，則，據(jù)此可得，則；（2）可求出，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)，其中，∴，∴，∵比較小，將忽略不計，∴，∴，∴；（2）用①的形式得出的的近似值的精確度更高，理由如下；∵，，∴，∴用①的形式得出的的近似值的精確度更高．22.如圖，在中，，點O在邊上，以點O為圓心，長為半徑的半圓，交于點D，與相切于點E，連接（1）求證：．（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角導(dǎo)角得到，再結(jié)合圓的切線性質(zhì)得到，即可證明垂直；（2）先得到是等邊三角形，則，解求出，根據(jù)，求出，再由梯形面積公式求解．【小問1詳解】證明：由題意得，∴，∵，∴，∴，∴，∵以點O為圓心，長為半徑的半圓與相切于點E，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形的面積為：．23.已知拋物線（a為常數(shù)）經(jīng)過點．（1）求a的值．（2）過點與x軸平行的直線交拋物線于兩點，且點B為線段的中點，求t的值．（3）設(shè)，拋物線的一段夾在兩條均與x軸平行的直線之間．若直線之間的距離為16，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）8【解析】【分析】本