2025年高三數(shù)學高考絕對值不等式解法模擬試題一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）不等式|2x-1|≤3的解集為（）A.[-1,2]B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.(-1,2)D.[-2,1]已知集合A={x||x+2|>3}，B={x|x2-4x+3≤0}，則A∩B=（）A.(1,3]B.[1,5)C.(3,5)D.(-∞,-5)∪(1,+∞)若不等式|x-a|+|x-2|≥3對任意x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,-1]∪[5,+∞)B.[-1,5]C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.[1,3]函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）A.1B.2C.3D.4已知a,b∈R，且|a|≤1，|b|≤1，則|a+b|+|a-b|的最大值為（）A.1B.2C.3D.4不等式|x2-2x|>3的解集為（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-3,1)若關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-2|<a2-2a有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.[-1,3]C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.[0,2]設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+|2x+1|，若f(x)的最小值為2，則a的值為（）A.-3或1B.-1或3C.-3/2或5/2D.-5/2或3/2已知a,b∈(0,+∞)，且a+b=1，則|a-2b|的取值范圍是（）A.[0,3]B.[1,3]C.(0,3)D.[2,3]若對任意x∈[0,2]，不等式|x-1|+|x-m|≤3恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.[-1,3]B.[0,2]C.[-2,4]D.[-1,4]二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）不等式|3x+2|>4的解集為__________。若關(guān)于x的不等式|x-1|-|x+2|≥k恒成立，則k的最大值為__________。已知函數(shù)f(x)=|x+3|+|x-4|，則不等式f(x)≤9的解集為__________。設(shè)a,b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，則|a|+|b|與|a-b|的大小關(guān)系是__________。若不等式|x-1|+|x+1|≤m的解集非空，則實數(shù)m的取值范圍是__________。三、解答題（共6小題，共75分）（12分）解不等式|x-2|+|x+1|>5。解法：分三種情況討論：當x<-1時，原不等式化為-(x-2)-(x+1)>5，即-2x+1>5，解得x<-2；當-1≤x≤2時，原不等式化為-(x-2)+(x+1)>5，即3>5，無解；當x>2時，原不等式化為(x-2)+(x+1)>5，即2x-1>5，解得x>3。綜上，解集為(-∞,-2)∪(3,+∞)。（12分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+3|，若不等式f(x)≥a2-3a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解法：由絕對值三角不等式得f(x)=|x-1|+|x+3|≥|(x-1)-(x+3)|=4，即f(x)的最小值為4。要使f(x)≥a2-3a恒成立，需4≥a2-3a，即a2-3a-4≤0，解得-1≤a≤4。（13分）已知a,b∈R，且|a|<1，|b|<1，求證：|1-ab|>|a-b|。證明：欲證|1-ab|>|a-b|，只需證(1-ab)2>(a-b)2。展開得1-2ab+a2b2>a2-2ab+b2，化簡得1+a2b2>a2+b2，即(1-a2)(1-b2)>0?！遼a|<1，|b|<1，∴1-a2>0，1-b2>0，故(1-a2)(1-b2)>0成立，原不等式得證。（13分）設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-1|，若存在x∈R，使得f(x)≤m成立，求實數(shù)m的最小值。解法：分段討論f(x)的表達式：當x<-1/2時，f(x)=-3x；當-1/2≤x≤1時，f(x)=x+2；當x>1時，f(x)=3x。作出函數(shù)圖像可知，f(x)在x=-1/2處取得最小值，f(-1/2)=3/2，故m的最小值為3/2。（12分）已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，且關(guān)于y的不等式|y+2|+|y-1|<m的解集非空，求實數(shù)m的取值范圍。解法：由絕對值三角不等式，|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4，故m≤4。又|y+2|+|y-1|的最小值為3，要使|y+2|+|y-1|<m有解，需m>3。綜上，3<m≤4。（12分）已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|2x-1|，若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積為4，求a的值。解法：分段討論f(x)的零點：當a<1/2時，f(x)的零點為x=a和x=1/2，圖像與x軸圍成三角形的頂點為(a,0)，(1/2,0)，(a,|a-1/2|)，面積S=1/2×(1/2-a)×(1/2-a)=4，解得a=-3/2（a=5/2舍去）；當a≥1/2時，同理可得a=5/2。綜上，a=-3/2或5/2。四、附加題（共2小題，每小題15分，共30分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|，求f(x)的最小值及此時x的值。解法：根據(jù)絕對值函數(shù)的幾何意義，f(x)表示數(shù)軸上點x到1,-2,3的距離之和。當x=1時，f(x)=|1-1|+|1+2|+|1-3|=0+3+2=5，為最小值。設(shè)a,b,c∈R，且a+b+c=0，|a|≤1，|b|≤1，|c|≤1，求|ab+bc+ca|的最大值。解法：由a+b+c=0得c=-(a+b)，代入|ab+bc+ca|=|ab-(a+b)2|=|-a2-ab-b2|=a2+ab+b2?！遖,b∈[-1,1]，不妨設(shè)a,b≥0，則a2+ab+b2≤1+1+1=3，當a=b=1,c=-2（舍去），調(diào)整得a=1,b=1,c=-2不滿足|c|≤1，故取a=1,b=0,c=-1，此時|ab+bc+ca|=|0+0-1|=1；取a=1,b=1,c=-2（不滿足），最終最大值為1。五、解題方法總結(jié)零點分段法：適用于含多個絕對值的不等式，通過令絕對值內(nèi)表達式為零，劃分區(qū)間后去絕對值求解。幾何意義法：利用|x-a|表示數(shù)軸上點x到a的距離，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為距離最值問題。三角不等式法：|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b|