線性代數(shù)真題技巧及答案

一、單項選擇題（總共10題，每題2分）1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性相關(guān)的是A.α1+α2，α2+α3，α3+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α1C.α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1D.α1+α2+α3，α1-α2+α3，α1+α2-α3答案：B2.設(shè)A為n階方陣，若A的行列式|A|=0，則A.A必為奇異矩陣B.A必為非奇異矩陣C.A可能為奇異矩陣，也可能為非奇異矩陣D.A必為零矩陣答案：A3.設(shè)A為n階方陣，B為n階可逆矩陣，若AB=0，則A.A必為零矩陣B.B必為零矩陣C.A可能為零矩陣，也可能為非零矩陣D.B可能為零矩陣，也可能為非零矩陣答案：C4.設(shè)A為n階方陣，若A的秩為n-1，則A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.A必為零矩陣答案：C5.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若AB=BA，則A.A必為對稱矩陣B.B必為對稱矩陣C.A+B必為對稱矩陣D.AB必為對稱矩陣答案：C6.設(shè)A為n階方陣，若A的特征值全為正數(shù)，則A.A必為正定矩陣B.A必為負(fù)定矩陣C.A可能為正定矩陣，也可能為負(fù)定矩陣D.A必為零矩陣答案：A7.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若A和B相似，則A.A和B有相同的特征值B.A和B有相同的特征向量C.A和B有相同的行列式D.A和B有相同的秩答案：A8.設(shè)A為n階方陣，若A的伴隨矩陣A為可逆矩陣，則A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.A必為零矩陣答案：A9.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若A和B可逆，則A.AB必為可逆矩陣B.AB必為不可逆矩陣C.AB可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.AB必為零矩陣答案：A10.設(shè)A為n階方陣，若A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為可逆矩陣，則A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.A必為零矩陣答案：A二、多項選擇題（總共10題，每題2分）1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是A.α1+α2，α2+α3，α3+α1B.α1-α2，α2-α3，α3-α1C.α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1D.α1+α2+α3，α1-α2+α3，α1+α2-α3答案：A，C2.設(shè)A為n階方陣，若A的行列式|A|=0，則A.A必為奇異矩陣B.A必為非奇異矩陣C.A可能為奇異矩陣，也可能為非奇異矩陣D.A必為零矩陣答案：A3.設(shè)A為n階方陣，B為n階可逆矩陣，若AB=0，則A.A必為零矩陣B.B必為零矩陣C.A可能為零矩陣，也可能為非零矩陣D.B可能為零矩陣，也可能為非零矩陣答案：C4.設(shè)A為n階方陣，若A的秩為n-1，則A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.A必為零矩陣答案：C5.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若AB=BA，則A.A必為對稱矩陣B.B必為對稱矩陣C.A+B必為對稱矩陣D.AB必為對稱矩陣答案：C6.設(shè)A為n階方陣，若A的特征值全為正數(shù)，則A.A必為正定矩陣B.A必為負(fù)定矩陣C.A可能為正定矩陣，也可能為負(fù)定矩陣D.A必為零矩陣答案：A7.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若A和B相似，則A.A和B有相同的特征值B.A和B有相同的特征向量C.A和B有相同的行列式D.A和B有相同的秩答案：A8.設(shè)A為n階方陣，若A的伴隨矩陣A為可逆矩陣，則A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.A必為零矩陣答案：A9.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若A和B可逆，則A.AB必為可逆矩陣B.AB必為不可逆矩陣C.AB可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.AB必為零矩陣答案：A10.設(shè)A為n階方陣，若A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為可逆矩陣，則A.A必為可逆矩陣B.A必為不可逆矩陣C.A可能為可逆矩陣，也可能為不可逆矩陣D.A必為零矩陣答案：A三、判斷題（總共10題，每題2分）1.設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則α1+α2，α2+α3，α3+α1也線性無關(guān)。答案：正確2.設(shè)A為n階方陣，若A的行列式|A|=0，則A必為奇異矩陣。答案：正確3.設(shè)A為n階方陣，B為n階可逆矩陣，若AB=0，則A必為零矩陣。答案：錯誤4.設(shè)A為n階方陣，若A的秩為n-1，則A必為不可逆矩陣。答案：錯誤5.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若AB=BA，則A+B必為對稱矩陣。答案：正確6.設(shè)A為n階方陣，若A的特征值全為正數(shù)，則A必為正定矩陣。答案：正確7.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若A和B相似，則A和B有相同的特征向量。答案：錯誤8.設(shè)A為n階方陣，若A的伴隨矩陣A為可逆矩陣，則A必為可逆矩陣。答案：正確9.設(shè)A為n階方陣，B為n階方陣，若A和B可逆，則AB必為可逆矩陣。答案：正確10.設(shè)A為n階方陣，若A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為可逆矩陣，則A必為可逆矩陣。答案：正確四、簡答題（總共4題，每題5分）1.簡述線性無關(guān)的定義及其判斷方法。答案：線性無關(guān)是指向量組中任意一個向量都不能由其他向量線性表示的性質(zhì)。判斷方法可以通過向量組的秩來判斷，若向量組的秩等于向量的個數(shù)，則向量組線性無關(guān)。2.簡述矩陣的秩的定義及其計算方法。答案：矩陣的秩是指矩陣中非零子式的最高階數(shù)。計算方法可以通過初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，非零行的個數(shù)即為矩陣的秩。3.簡述特征值和特征向量的定義及其性質(zhì)。答案：特征值是指矩陣A作用在向量x上時，使得Ax=λx的標(biāo)量λ，其中x為非零向量。特征向量為對應(yīng)的向量x。特征值和特征向量的性質(zhì)包括：特征值之和等于矩陣的跡，特征值之積等于矩陣的行列式。4.簡述正定矩陣的定義及其判斷方法。答案：正定矩陣是指所有特征值都為正數(shù)的對稱矩陣。判斷方法可以通過主子式來判斷，若矩陣的所有主子式都為正數(shù)，則矩陣為正定矩陣。五、討論題（總共4題，每題5分）1.討論向量組的線性相關(guān)性與其秩之間的關(guān)系。答案：向量組的線性相關(guān)性與其秩之間有密切關(guān)系。若向量組線性無關(guān)，則其秩等于向量的個數(shù)；若向量組線性相關(guān)，則其秩小于向量的個數(shù)。秩的大小反映了向量組中線性無關(guān)向量的個數(shù)。2.討論矩陣的相似變換及其性質(zhì)。答案：矩陣的相似變換是指通過相似變換矩陣P將矩陣A變?yōu)锽，即B=P^-1AP。相似變換的性質(zhì)包括：相似矩陣有相同的特征值，相似矩陣的秩相同，相似矩陣的行列式相同。3.討論矩陣的逆矩陣的存在條件及其計算方法。答案：矩陣的逆矩陣存在的條件是矩陣為可逆矩陣，即矩陣的行列式不為零。計算方