2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)不等式與不等式組[含解析]1一、引言在中考數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，不等式與不等式組是重要的組成部分。它不僅是代數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵內(nèi)容，還在實(shí)際生活和其他學(xué)科領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在2026年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，深入理解和掌握不等式與不等式組的相關(guān)知識(shí)，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和解決實(shí)際問題的能力至關(guān)重要。本文將對不等式與不等式組的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面梳理，并通過詳細(xì)的例題解析，幫助同學(xué)們更好地復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容。二、不等式的基本概念與性質(zhì)（一）不等式的定義用不等號（大于“>”、小于“<”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)表達(dá)式的式子叫做不等式。例如：$3x+5>10$，$2-y≤7$等。（二）不等式的解與解集1.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。例如，對于不等式$x+3>5$，$x=3$就是它的一個(gè)解，因?yàn)楫?dāng)$x=3$時(shí)，$3+3=6>5$，不等式成立。2.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解組成這個(gè)不等式的解集。例如，不等式$x+3>5$的解集是$x>2$，表示所有大于2的數(shù)都是這個(gè)不等式的解。（三）不等式的基本性質(zhì)1.性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變。即如果$a>b$，那么$a±c>b±c$。-解析：例如，已知$5>3$，在不等式兩邊同時(shí)加2，得到$5+2>3+2$，即$7>5$，不等號方向不變。這是因?yàn)樵跀?shù)軸上，兩個(gè)數(shù)同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，它們的相對大小關(guān)系不會(huì)改變。2.性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。即如果$a>b$，$c>0$，那么$ac>bc$（或$\frac{a}{c}>\frac{c}$）。-解析：比如，已知$4>2$，兩邊同時(shí)乘以3，得到$4×3>2×3$，即$12>6$。因?yàn)檎龜?shù)是大于0的數(shù)，乘以或除以一個(gè)正數(shù)相當(dāng)于對原數(shù)進(jìn)行等比例的放大或縮小，不會(huì)改變數(shù)的大小順序。3.性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。即如果$a>b$，$c<0$，那么$ac<bc$（或$\frac{a}{c}<\frac{c}$）。-解析：例如，已知$6>3$，兩邊同時(shí)除以-3，得到$\frac{6}{-3}<\frac{3}{-3}$，即$-2<-1$。在數(shù)軸上，乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)會(huì)使數(shù)的位置關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而改變它們的大小順序。三、一元一次不等式（一）一元一次不等式的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等號兩邊都是整式的不等式叫做一元一次不等式。其一般形式為$ax+b>0$或$ax+b<0$（$a≠0$）。例如：$2x-5>3$就是一個(gè)一元一次不等式。（二）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程類似，但要注意在不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號方向要改變。1.去分母：根據(jù)不等式的性質(zhì)2或3，在不等式兩邊同時(shí)乘以各分母的最小公倍數(shù)，去掉分母。-例1：解不等式$\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}>1$。-解析：首先，找到2和3的最小公倍數(shù)6，不等式兩邊同時(shí)乘以6，得到$6×\frac{x+1}{2}-6×\frac{2x-1}{3}>6×1$，即$3(x+1)-2(2x-1)>6$。2.去括號：根據(jù)去括號法則，去掉不等式中的括號。-繼續(xù)解例1：對$3(x+1)-2(2x-1)>6$去括號，得到$3x+3-4x+2>6$。3.移項(xiàng)：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，把含未知數(shù)的項(xiàng)移到一邊，常數(shù)項(xiàng)移到另一邊。-接著解例1：移項(xiàng)可得$3x-4x>6-3-2$。4.合并同類項(xiàng)：將同類項(xiàng)進(jìn)行合并。-繼續(xù)解例1：合并同類項(xiàng)得$-x>1$。5.系數(shù)化為1：根據(jù)不等式的性質(zhì)2或3，將未知數(shù)的系數(shù)化為1。-最后解例1：因?yàn)橄禂?shù)是-1，不等式兩邊同時(shí)除以-1，不等號方向改變，得到$x<-1$。（三）一元一次不等式的應(yīng)用一元一次不等式在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，如方案設(shè)計(jì)、利潤問題、行程問題等。1.例2：某商場為了促銷，推出兩種優(yōu)惠方案。方案一：購物滿100元，超出部分打8折；方案二：購物滿150元，超出部分打7折。若顧客購物金額為$x$元（$x>150$），問選擇哪種方案更優(yōu)惠？-解析：-方案一的費(fèi)用$y_1$：當(dāng)$x>100$時(shí)，$y_1=100+0.8(x-100)=100+0.8x-80=20+0.8x$。-方案二的費(fèi)用$y_2$：當(dāng)$x>150$時(shí)，$y_2=150+0.7(x-150)=150+0.7x-105=45+0.7x$。-若方案一更優(yōu)惠，則$y_1<y_2$，即$20+0.8x<45+0.7x$。-移項(xiàng)可得$0.8x-0.7x<45-20$。-合并同類項(xiàng)得$0.1x<25$。-系數(shù)化為1得$x<250$。-若方案二更優(yōu)惠，則$y_1>y_2$，即$20+0.8x>45+0.7x$，解得$x>250$。-若兩種方案一樣優(yōu)惠，則$y_1=y_2$，即$20+0.8x=45+0.7x$，解得$x=250$。-綜上，當(dāng)$150<x<250$時(shí)，選擇方案一；當(dāng)$x=250$時(shí)，兩種方案一樣；當(dāng)$x>250$時(shí)，選擇方案二。四、一元一次不等式組（一）一元一次不等式組的定義由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。例如：$\begin{cases}x+2>3\\2x-1<5\end{cases}$（二）一元一次不等式組的解集一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程叫做解不等式組。（三）一元一次不等式組的解法1.分別解出不等式組中各個(gè)不等式的解集。2.利用數(shù)軸找出這些解集的公共部分。（四）一元一次不等式組解集的四種情況設(shè)$a<b$，則：1.同大取大：$\begin{cases}x>a\\x>b\end{cases}$的解集為$x>b$。-解析：在數(shù)軸上表示$x>a$和$x>b$，因?yàn)?b>a$，所以大于大的數(shù)，公共部分就是$x>b$。2.同小取小：$\begin{cases}x<a\\x<b\end{cases}$的解集為$x<a$。-解析：在數(shù)軸上表示$x<a$和$x<b$，由于$a<b$，所以小于小的數(shù)，公共部分就是$x<a$。3.大小小大中間找：$\begin{cases}x>a\\x<b\end{cases}$的解集為$a<x<b$。-解析：在數(shù)軸上表示$x>a$和$x<b$，公共部分就是$a$和$b$之間的部分，即$a<x<b$。4.大大小小找不到：$\begin{cases}x<a\\x>b\end{cases}$無解。-解析：在數(shù)軸上表示$x<a$和$x>b$，因?yàn)?a<b$，兩個(gè)解集沒有公共部分，所以不等式組無解。（五）一元一次不等式組的應(yīng)用1.例3：某工廠有13名工人生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天能生產(chǎn)甲零件3個(gè)或乙零件4個(gè)，已知2個(gè)甲零件和3個(gè)乙零件配成一套，問如何安排生產(chǎn)才能使每天生產(chǎn)的零件剛好配套？-解析：-設(shè)安排$x$名工人生產(chǎn)甲零件，則有$(13-x)$名工人生產(chǎn)乙零件。-每天生產(chǎn)甲零件的數(shù)量為$3x$個(gè)，生產(chǎn)乙零件的數(shù)量為$4(13-x)$個(gè)。-因?yàn)?個(gè)甲零件和3個(gè)乙零件配成一套，所以要使零件剛好配套，則$\frac{3x}{2}=\frac{4(13-x)}{3}$。-交叉相乘得$9x=8(13-x)$。-去括號得$9x=104-8x$。-移項(xiàng)得$9x+8x=104$。-合并同類項(xiàng)得$17x=104$。-解得$x=6\frac{2}{17}$。-因?yàn)槿藬?shù)必須是整數(shù)，所以我們可以通過不等式組來確定人數(shù)范圍。-設(shè)生產(chǎn)的甲、乙零件能配套且甲零件數(shù)量為$m$，乙零件數(shù)量為$n$，則$\frac{m}{2}=\frac{n}{3}$，即$3m=2n$。-又因?yàn)?m=3x$，$n=4(13-x)$，所以$3×3x=2×4(13-x)$。-同時(shí)要滿足零件數(shù)量為非負(fù)數(shù)，即$\begin{cases}3x≥0\\4(13-x)≥0\end{cases}$。-解不等式$3x≥0$得$x≥0$；解不等式$4(13-x)≥0$得$13-x≥0$，即$x≤13$。-由$9x=8(13-x)$解得$x=\frac{104}{17}≈6.12$。-因?yàn)?x$為整數(shù)，所以$x=6$時(shí)，生產(chǎn)甲零件的數(shù)量為$3×6=18$個(gè)，生產(chǎn)乙零件的數(shù)量為$4×(13-6)=28$個(gè)，$18÷2=9$，$28÷3=9\frac{1}{3}$，此時(shí)乙零件有剩余；$x=7$時(shí)，生產(chǎn)甲零件的數(shù)量為$3×7=21$個(gè)，生產(chǎn)乙零件的數(shù)量為$4×(13-7)=24$個(gè)，$21÷2=10.5$，$24÷3=8$，此時(shí)甲零件有剩余。所以安排6名工人生產(chǎn)甲零件，7名工人生產(chǎn)乙零件能使生產(chǎn)的零件盡量配套。五、總結(jié)在20