1/10專題08等腰三角形中易漏解或多解問題的五類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)類型二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)類型三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)類型四、三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)類型五、等腰三角形中與新定義型問題的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)壓軸專練類型一、求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)1.忽略腰長與底邊長的合理性：計(jì)算時(shí)若已知兩邊長，需分“已知邊為腰”和“已知邊為底”兩種情況討論。例如兩邊為3和6，若3為腰，3+3=6，不滿足“兩邊之和大于第三邊”，故只能6為腰，周長15。2.忽視周長計(jì)算的前提條件：無論按哪種情況假設(shè)，都需驗(yàn)證三邊是否滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。若忽略驗(yàn)證，直接相加會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，如誤將2、2、5當(dāng)作等腰三角形，實(shí)際無法構(gòu)成三角形。例1．（24-25八年級下·廣東清遠(yuǎn)·期中）一個(gè)等腰三角形的兩邊長為3和7，則此三角形的周長為．【變式1-1】等腰三角形一邊長是，另一邊長是，則它的周長是．【變式1-2】已知、為等腰的邊長，且滿足，則的周長是．【變式1-3】（24-25八年級上·廣東汕尾·期中）解答下面兩個(gè)小題：(1)已知等腰三角形的兩邊長是2和6，求這個(gè)等腰三角形的周長．(2)已知等腰三角形的周長是12，一邊長為5，求它的另外兩邊的長．類型二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.未明確已知角為頂角或底角：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角，需分情況討論該角是頂角還是底角。若已知角為鈍角或直角，只能是頂角；若為銳角，可能是頂角或底角。例如已知內(nèi)角為70°，當(dāng)它是頂角時(shí)，底角為(180°-70°)÷2=55°；當(dāng)它是底角時(shí)，另一個(gè)底角也為70°，頂角為40°。2.未考慮三角形內(nèi)角和定理：分類討論后，要確保每種情況所得的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，符合三角形的基本性質(zhì)，避免因邏輯不完整出現(xiàn)錯(cuò)誤。例2．（24-25八年級下·廣東佛山·期中）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的底角為．【變式2-1】（24-25八年級上·天津西青·期中）若等腰三角形的一個(gè)角是，它的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是．【變式2-2】（23-24八年級下·甘肅蘭州·期中）等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角2倍少20度，等腰三角形底角的度數(shù)是．【變式2-3】（23-24八年級上·江蘇常州·期中）已知一個(gè)等腰三角的兩個(gè)角度數(shù)分別是，，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為．類型三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.

邊與角的不確定性分類缺失：等腰三角形邊的問題中，未區(qū)分腰與底，如已知兩邊求周長未驗(yàn)證三邊關(guān)系；角的問題里，未明確已知角是頂角或底角，像已知一個(gè)銳角未分情況計(jì)算其他角。2.

圖形位置與條件組合漏解：涉及高、中線等輔助線時(shí)，未考慮高在形內(nèi)或形外，中線分割后的邊長關(guān)系等多種位置情形，同時(shí)對題目條件的不同組合未全面分析，導(dǎo)致遺漏多種可能情況。例3．（24-25七年級下·河南鄭州·期末）如圖，中，，，，D為斜邊上不與端點(diǎn)A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為E，將沿翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接．若為等腰三角形，則的長為．【變式3-1】（24-25七年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，在三角形紙片中，，，將三角形紙片折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕與，分別相交于點(diǎn)、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為．【變式3-2】（24-25八年級下·山東青島·期中）如圖，在四邊形中，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，與相交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為．【變式3-3】（24-25八年級下·河南鄭州·期末）如圖，為等腰三角形，是邊上的高，，動(dòng)點(diǎn)分別在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），滿足．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為．【變式3-3】（24-25八年級下·山西晉中·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，重合），連接，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，線段的長度為．類型四、三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.三角形形狀與高線位置關(guān)系不清：銳角三角形的三條高均在形內(nèi)；直角三角形兩條直角邊的高為另一條直角邊；鈍角三角形有兩條高在形外。若未根據(jù)三角形形狀討論高的位置，在計(jì)算邊長、面積或角度時(shí)易出錯(cuò)，如求鈍角三角形面積，忽略高在形外的情況會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。2.多種線段組合的情形遺漏：當(dāng)三角形存在高線、中線、角平分線等多種線段時(shí)，未考慮不同形狀下這些線段的位置組合，如等腰三角形底邊上的高與中線重合，但非等腰三角形不重合，不分類討論易漏解。例4．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)是．【變式4-1】（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為15和11兩部分，則此三角形的底邊長為．【變式4-2】等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長分為和兩部分，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長是．【變式4-3】（24-25八年級下·陜西西安·期中）在中，，過點(diǎn)A的一條直線將該三角形分成的兩個(gè)小三角形均為等腰三角形，則的度數(shù)為．【變式4-4】（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）在中，，點(diǎn)D在邊上，若直線將分割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰三角形，則的度數(shù)是．類型五、等腰三角形中與新定義型問題的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.新定義規(guī)則下的等腰屬性分類缺失：未依據(jù)新定義明確等腰三角形的邊、角對應(yīng)關(guān)系，如定義“特殊等腰三角形”對腰長與底邊存在特殊限制，未分情況討論腰與底是否滿足新規(guī)則，易漏解。2.新定義與等腰性質(zhì)組合的多解遺漏：忽略新定義條件與等腰三角形三線合一、內(nèi)角和等性質(zhì)的多種組合情形，如定義“關(guān)聯(lián)等腰三角形”涉及角度計(jì)算，未考慮頂角與底角在新規(guī)則下的不同取值范圍，導(dǎo)致錯(cuò)解。例5．等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【變式5-1】定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長為，則的周長為．【變式5-2】定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，它一邊長為3，則等腰的腰為．【變式5-3】（23-24九年級下·遼寧沈陽·期中）經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”，在中，，若存在過點(diǎn)C的“鉆石分割線”，使是“鉆石三角形”，則滿足條件的的度數(shù)為．一、單選題1．（24-25七年級下·寧夏銀川·期中）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成和兩部分，則等腰三角形的腰長為（

）A． B．或 C． D．或2．（24-25七年級下·山西臨汾·期末）等腰三角形兩邊長是方程組的解，則該等腰三角形周長（）A．4 B．5 C．4或5 D．63．（24-25七年級下·福建漳州·期末）若等腰三角形一邊長是2，另一邊長是4，則第三邊的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．2或44．（24-25八年級下·遼寧丹東·期中）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的頂角為（

）A． B． C．或 D．或5．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個(gè)三角形，使其中有一個(gè)邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條6．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）已知：如圖，是邊長的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止，當(dāng)t為（

）時(shí)，是直角三角形．A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題7．（2025·河南焦作·模擬預(yù)測）在中，，，點(diǎn)P為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．作點(diǎn)B關(guān)于線段的對稱點(diǎn)D，連接，，若是以為直角邊的等腰直角三角形，則的長為．8．（24-25七年級下·上海閔行·階段練習(xí)）等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分成了和兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為．9．（24-25七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)（點(diǎn)在下方）連接．當(dāng)與重疊的部分為等腰三角形時(shí)，．10．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在中，，，D是直線上一點(diǎn)，，直線l與直線關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)D作直線于點(diǎn)F，交直線l于點(diǎn)E，，則線段的長為．11．（2025·湖南常德·二模）約定：如果兩個(gè)角的差的絕對值等于，就稱這兩個(gè)角互為“完美關(guān)聯(lián)角”．如圖，在中，于點(diǎn)的平分線分別與交于點(diǎn)．若與互為“完美關(guān)聯(lián)角”，則的度數(shù)為．12．（24-25八年級下·江西撫州·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿路徑行進(jìn)，到達(dá)點(diǎn)后停止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為（s），當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，s．三、解答題13．（24-25八年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，D是外的一點(diǎn)，，連接．(1)【問題初探】求證：是等邊三角形；(2)【問題再探】當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)【問題拓展】當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)．14．（24-25八年級下·遼寧丹東·期中）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“角差三角形”．【理解概念】（1）頂角為的等腰三角形“角差三角形”（填“是”或“不是”）；【解決問題】（2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度數(shù)；【知識(shí)遷移】（3）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)，點(diǎn)重合，若是“角差三角形”，直接寫出的長度．15．（24-25七年級下·江西吉安·期末）【閱讀】規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別與另一個(gè)