解三角形專(zhuān)題：三角形的中線、角平分線與高線問(wèn)題一、中線1、中線長(zhǎng)定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB推導(dǎo)過(guò)程：在?ABD中，cosB=在?ABC中，cos聯(lián)立兩個(gè)方程可得：AB【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD推導(dǎo)過(guò)程：由AD=則AD所以AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD二、角平分線如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對(duì)的邊分別問(wèn)a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB推導(dǎo)過(guò)程：在中，，在中，，，該結(jié)論也可以由兩三角形面積之比得證，即說(shuō)明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類(lèi)問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。3、等面積法：因?yàn)镾?ABD所以12所以b+c整理的：AD=2bccos三、垂線1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長(zhǎng)度高線兩個(gè)作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。題型一與中線有關(guān)的三角形問(wèn)題【例1】已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿(mǎn)足．（1）求角的大??；（2）若邊上的中線，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由及正弦定理可得，因?yàn)?、，則，可得，則，因此，.（2），所以，，所以，，即，即，解得（負(fù)值舍去）.【變式1-1】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足.（1）求A；（2）若，，AD是的中線，求AD的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】（1），所以，由正弦定理得：，，，，，得，即，.（2）,,得，由余弦定理得：，，所以，即AD的長(zhǎng)為.【變式1-2】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，，AD＝1．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)锳D是BC邊上的高，∠C＝45°，AD＝1，所以為等腰直角三角形，，在中，，AD＝1，所以，所以，所以，（2）因?yàn)锳E是BC邊上的中線，所以，所以，所以【變式1-3】已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，邊上的中線長(zhǎng)為，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，，且，所以，由正弦定理可得，由，所以，又為銳角，所以.（2）在中，，所以，即，整理得，解得（舍去）或.此時(shí)，，，為等邊三角形，符合題意，故.【變式1-4】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求；（2）若，求邊中線的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以，，所?（2）在中由余弦定理，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以邊的中線的最大值為；題型二與角平分線有關(guān)的解三角形問(wèn)題【例2】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且滿(mǎn)足．角A的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)M，若，則（）A．B．C．D．2【答案】A【解析】由條件有：，又，則，即，又，則由為的角平分線，則,即則在中，即①在在中，在中，由，則化簡(jiǎn)得到：②將②代入①可得：③將③代入②可得：,所以所以，故選：A【變式2-1】在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，，，（1）求角B的大?。唬?）若AD是BAC的內(nèi)角平分線，當(dāng)ABC面積最大時(shí)，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，由余弦定理得，又，所以．?）在中，由余弦定理得，則，即.∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以.此時(shí)，.在中，，由正弦定理得.【變式2-2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．（1）求A的大?。唬?）若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，又，∴，所以，?（2）由，得，∴，又，∴，可得，∵，∴，所以.【變式2-3】在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）若，，求角（2）設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，若面積為，求長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，依?jù)正弦定理，所以，即，由余弦定理變形知，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，則在中，由正弦定理得：又，因?yàn)椋裕?）法一：因?yàn)?，是的角平分線，而，所以，即，所以，因?yàn)?，，，且，故AD當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以最大值為．答：當(dāng)時(shí)，最大值為．法二：因?yàn)?設(shè)，，在，中由正弦定理知：①，②，因?yàn)?，所以①②得，，令，，由于，所以，易得此函?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，最大值為．【變式2-4】的角，，所對(duì)的邊分別為，，，點(diǎn)在上，（1）若，，求；（2）若是的角平分線，，求周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，∵，∴在中，由正弦定理得即∴.（2）解法一：∵，是的角平分線，∴由得又，∴，在中，由余弦定理得，則設(shè)的周長(zhǎng)為，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)最小值為解法二：∵，是的角平分線，∴由得又，∴在中，由余弦定理得設(shè)的周長(zhǎng)為，設(shè)，則由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立得，即，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.∴所以的周長(zhǎng)最小值為.題型三與高線有關(guān)的解三角形問(wèn)題【例3】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求A的大??；（2）請(qǐng)根據(jù)（1）中的結(jié)論，從條件①、條件②、條件③中再選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上高線的長(zhǎng)．條件①：，b＝1；條件②：a＝3，；條件③：b＝3，．（注：若重復(fù)選擇，按第一個(gè)解答給分）【答案】（1）；（2）條件①：；條件③：【解析】（1）∵，則即，整理得∵，則（2）設(shè)BC邊上高線的長(zhǎng)為條件①：，則，根據(jù)三角形全等（角角邊）可知△ABC存在且唯一確定∴，則，解得即BC邊上高線的長(zhǎng)為條件②：，即，，則或此時(shí)滿(mǎn)足條件△ABC的三角形有兩個(gè)，條件②不合題意條件③：根據(jù)三角形全等（邊角邊）可知△ABC存在且唯一確定，即，解得：則，解得，即BC邊上高線的長(zhǎng)為【變式3-1】在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿(mǎn)足．（1）求；（2）若，是邊上的高，求的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，所以，所以，則.（2）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，即，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，所以，故的最大值為.【變式3-2】記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求C；（2）若邊AB上的高為3，求c的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，又，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以．?）由（1）知，中，，又邊AB上的高為3，所以的面積，即．又中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以c的最小值為．【變式3-3】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若A為銳角，，且BC邊上的高為2，求△ABC的面積．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理得：，所以可化為：.由正弦定理得：.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以?（2）在中，，，由