解三角形專題：三角形的中線、角平分線與高線問題一、中線1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB推導(dǎo)過程：在?ABD中，cosB=在?ABC中，cos聯(lián)立兩個方程可得：AB【點睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD推導(dǎo)過程：由AD=則AD所以AD【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD二、角平分線如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB推導(dǎo)過程：在中，，在中，，，該結(jié)論也可以由兩三角形面積之比得證，即說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識解決起來都較為簡捷。3、等面積法：因為S?ABD所以12所以b+c整理的：AD=2bccos三、垂線1、分別為邊上的高，則2、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。題型一與中線有關(guān)的三角形問題【例1】已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足．（1）求角的大?。唬?）若邊上的中線，且，求的值．【變式1-1】在中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足.（1）求A；（2）若，，AD是的中線，求AD的長.【變式1-2】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45°，，AD＝1．（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【變式1-3】已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，邊上的中線長為，求.【變式1-4】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求；（2）若，求邊中線的最大值.題型二與角平分線有關(guān)的解三角形問題【例2】在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足．角A的內(nèi)角平分線交于點M，若，則（）A．B．C．D．2【變式2-1】在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，，（1）求角B的大?。唬?）若AD是BAC的內(nèi)角平分線，當(dāng)ABC面積最大時，求AD的長．【變式2-2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足．（1）求A的大?。唬?）若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長．【變式2-3】在中，角A，，所對的邊分別為，，，且．（1）若，，求角（2）設(shè)的角平分線交于點，若面積為，求長的最大值．【變式2-4】的角，，所對的邊分別為，，，點在上，（1）若，，求；（2）若是的角平分線，，求周長的最小值.題型三與高線有關(guān)的解三角形問題【例3】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求A的大小；（2）請根據(jù)（1）中的結(jié)論，從條件①、條件②、條件③中再選擇一個作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上高線的長．條件①：，b＝1；條件②：a＝3，；條件③：b＝3，．（注：若重復(fù)選擇，按第一個解答給分）【變式3-1】在中，角，，的對邊分別是，，，且滿足．（1）求；（2）若，是邊上的高，求的最大值．【變式3-2】記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求C；（2）若邊AB上的高為3，求c的最小值．【變式3-3】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求A；（2）若A為銳角，