6.4.3課時(shí)2正弦定理重點(diǎn)：1、用向量的方法推導(dǎo)正弦定理；2、用正弦定理解三角形。難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用一、正弦定理1、公式表示：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即asinA【注意】正弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式．(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．2、正弦定理推論：在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R=1\*GB3①asinA=bsinB=2\*GB3②sinA:sinB:sinC=a:b:c，=3\*GB3③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，=4\*GB3④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=5\*GB3⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（實(shí)現(xiàn)邊和角的互相轉(zhuǎn)化）3、正弦定理的推導(dǎo)示例：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB的高是CD．根據(jù)三角函數(shù)的定義，CD＝asinB，CD＝bsinA，所以asinB＝bsinA，得到eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，在△ABC中eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).從以上的討論和探究可得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).二、三角形面積公式在?ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB邊上的高分別記作ha，hb，hc，r為內(nèi)切圓半徑，R（1）S=1（2）S=證明：當(dāng)?ABC為銳角三角形時(shí)，作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)?ABC的面積為S，則S=1當(dāng)?ABC為鈍角三角形時(shí)，作BC邊長(zhǎng)的高AD，則AD=ABsin180°?∴S=1當(dāng)?ABC為直角三角形時(shí)，上述結(jié)論依然成立。（3）S=證明：S（4）S=證明：S=四、正弦定理解決的兩類問題1、類型1：已知兩角及一邊解三角形方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；（2）如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；（3）如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論2、類型2：已知兩邊及一邊對(duì)角，解三角形（三角形多解問題）在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：當(dāng)A為銳角時(shí)：當(dāng)A為鈍角時(shí)五、利用正弦定理判斷三角形的形狀法一化角為邊：將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)法二化邊為角：將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC題型一正弦定理解三角形【例1】已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若，，，則a等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由正弦定理得，即，解得．故選：A．【變式1-1】在中，如果，那么的長(zhǎng)為（）A．72B．C．D．30【答案】D【解析】在中，因?yàn)?，所以，又，所以．故選：D.【變式1-2】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理，得.故選：B【變式1-3】已知中，，則B等于（）A．或B．或C．D．【答案】A【解析】中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以?故選：A.題型二正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)【例2】在中，已知，則滿足條件的三角形（）A．有2個(gè)B．有1個(gè)C．不存在D．無(wú)法確定【答案】A【解析】由正弦定理可得，又所以，所以，因?yàn)?，所?又所以或∴滿足條件的三角形有2個(gè)．故選：A.【變式2-1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，則此三角形的解的情況是（）A．有一解B．有兩解C．無(wú)解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【解析】由正弦定理，有，即，所以，則此三角形無(wú)解.故選:C.【變式2-2】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，不解三角形，確定下列判斷正確的是（）A．，，，有兩解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，無(wú)解【答案】D【解析】因?yàn)?，，如圖于，由直角可得.當(dāng)或時(shí)，有一解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有兩解.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，可知，選項(xiàng)A，B，C三項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D【變式2-3】在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，其中有兩解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一確定，∴只有一解.方法2：如圖所示，∴只有一解.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如圖所示，∴只有一解.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵

∴角B有兩個(gè)解.

方法2：如圖所示，∵，∴，∴角B有兩個(gè)解.

故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在這樣的三角形.方法2：如圖所示，∵，∴∴此時(shí)A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.題型三三角形的面積公式及應(yīng)用【例3】已知在中，，，，且，則的面積為（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以有，解得，或，而已知，所以，因此的面積為，故選：C【變式3-1】在中，分別是角所對(duì)的邊，，則的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得：，由面積公式得：.故選：.【變式3-2】在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，c＝2，△ABC的面積記為S，且，則S的值為（）A．B．1C．2D．4【答案】B【解析】在中，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即有，而，因此，即，為直角三角形，所以.故選：B【變式3-3】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若的面積為，則角（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，而三角形面積為，故，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故.故選：C.題型四正弦定理求三角形外接圓半徑【例4】已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，則外接圓半徑等于（）A．2B．C．D．1【答案】D【解析】設(shè)外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理可得，所以，即外接圓半徑為.故選：D【變式4-1】在中，，，則外接圓的半徑為（）A．1B．C．2D．3【答案】A【解析】設(shè)R為外接圓的半徑，故，解得．故選：A．【變式4-2】在中，若，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為（）A．B．2C．D．-2【答案】B【解析】在中，，則，解得，由余弦定理得：，令外接圓半徑為R，由正弦定理得：，解得，所以三角形外接圓的半徑為2.故選：B【變式4-3】已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若為鈍角三角形，，則外接圓的半徑R的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，由正弦定理有?而,又因?yàn)闉殁g角三角形，不妨設(shè),則，則,所以,所以外接圓的半徑.題型五正弦定理邊角互化的應(yīng)用正弦定理【例5】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選：D.【變式5-1】在中，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理知，所以，根據(jù)三角形成立的條件可知，解得，故選:D.【變式5-2】已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則（）A．3B．C．6D．【答案】A【解析】由正弦定理及得.又因?yàn)樵谥?，，所以，整理?因?yàn)樵?，，所以，?又因?yàn)?，所?又，所以.故選:A.【變式5-3】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：．（2）由正弦定理得，所以，．同理，，從而．題型六判斷三角形的形狀【例6】已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．直角三角形【答案】B【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以，整理可?故選：B.【變式6-1】在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量，，共線，則形狀為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】向量，共線，．由正弦定理得：．．，，所以則，，即．同理由，共線，可得．形狀為等邊三角形．故選：A．【變式6-2】在中，若，則是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】因?yàn)?，所以所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即是直角三角?故選：A【變式6-3】在中，若，則這個(gè)三角形是（）A．底角不等于的等腰三角形B．銳角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理及題意，得，．∵，∴，∴或，即或．∴這個(gè)三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D6.4.3課時(shí)2正弦定理【題型1正弦定理解三角形】1、在中，，，，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理得：.故選：C.2、在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，，由正弦定理?故選：B.3、（多選）設(shè)的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，若，，則角A可能為（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】正弦定理得，又，，，，則，，故或，或，故選：BD．4、中，，，，則（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以由正弦定理知：，所?故選：B5、在中，角的對(duì)邊分別是，若，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，．由正弦定理可知，所以，故．故選：D.【題型2正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)】1、在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，則此三角形（）A．無(wú)解B．一解C．兩解D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【解析】由正弦定理，得，解得.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以或，故此三角形有兩解，故選：C.2、在中，若，，，則此三角形解的情況為（）A．無(wú)解B．兩解C．一解D．解的個(gè)數(shù)不能確定【答案】C【解析】由正弦定理，得，得，因?yàn)?，則，故為銳角，故滿足條件的只有一個(gè).故選：C.3、在△ABC中，，，，則滿足條件的△ABC（）A．無(wú)解B．有一解C．有兩解D．不能確定【答案】A【解析】由正弦定理可知：，顯然不存在這樣的角，故選：A4、在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A：由，則，而，無(wú)解；B：由，則，而，有唯一解；C：由，則，而，有兩解；D：由，則，而，有兩解；故選：B5、在中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解僅有唯一解，則（）A．0＜a≤2B．2＜a≤2C．0＜a≤2或a≥2D．0＜a≤2或a＝2【答案】D【解析】由正弦定理得：，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)閮H有唯一解，所以A，C的值確定，當(dāng)時(shí)，，僅有唯一解，此時(shí)，則0＜a≤2，當(dāng)時(shí)，，僅有唯一解，此時(shí)，當(dāng)，且時(shí)，有兩解，不符合題意，綜上：0＜a≤2或．故選：D．【題型3三角形面積公式及應(yīng)用】1、在中，，，，則的面積等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，又，解得，，又由可得，所以的面積為，故選：D2、在中，的面積等于，則等于（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】，，的面積等于，解得：，由余弦定理可得：．故選：C．3、已知點(diǎn)，，，則的面積為______．【答案】【解析】點(diǎn)，，，，,4、在銳角中，若a＝3，b＝4，三角形的面積為，則c＝______．【答案】【解析】又銳角，所以，根據(jù)余弦定理得：5、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，則（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，故選：A.【題型4正弦定理求三角形外接圓半徑】1、若的面積，則外接圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知的面積，又所以因?yàn)椋运运运怨蔬x：B2、已知在中，，則外接圓的半徑是_________.【答案】2【解析】由，得，由余弦定理得，.由正弦定理得解得.所以外接圓的半徑為.3、在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，，則的外接圓直徑等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，可得，由余弦定理得，故，由正弦定理得故選：C4、已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，的面積，則的外接圓的直徑為（）A．B．5C．D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，的面積，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的外接圓的直徑為，故選：C5、的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則的外接圓半徑為___________.【答案】5【解析】由余弦定理可得，又，所以，所以，所以，所以，其中，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，所以，時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的外接圓半徑.【題型5正弦定理邊角互化的應(yīng)用】1、在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則A＝（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以．故選：B．2、在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則角的大小為___________.【答案】【解析】由正弦定理有：

，3、在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且，則（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即；因?yàn)?，由正弦定理可得①；因?yàn)椋?，所以，整理得②；由①②可得，解得或（舍?故選：B.4、（多選）在銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，又為銳角三角形，所以，，所以，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，A正確；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，所以，，，所以，B正確；