湖北省武漢市漢口北高中2025年高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C.或 D.2．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.34．已知點(diǎn)，，則經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（）A. B.C. D.6．設(shè)直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.7．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)B到直線的距離為（）A. B.C. D.8．已知圓M與直線與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.9．某考點(diǎn)配備的信號檢測設(shè)備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機(jī)以每分鐘50米的速度從設(shè)備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設(shè)備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時(shí)長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘10．已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形11．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.12．平面上動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知線段AB的長度為3，其兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上滑動，點(diǎn)M滿足．則點(diǎn)M的軌跡方程為______14．在棱長為1的正方體中，___________.15．設(shè)函數(shù)，則___________.16．已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上的動點(diǎn)，則最小值為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點(diǎn)M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），過點(diǎn)D的直線L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.18．（12分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:20．（12分）已知命題p：直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，命題q：直線與直線平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知為等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，在①；②；③．這三個(gè)條件中任選其中一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答（如果選擇多個(gè)條件解答，則按選擇的第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)或時(shí)，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.2、D【解析】由題，由于過拋物線上一點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線的定義、余弦定理【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題3、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程，過A作l的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l：，顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)，過作于點(diǎn)N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點(diǎn)P是過A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為3.故選：D4、C【解析】求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線所過的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程即可.【詳解】由已知，AB中點(diǎn)為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即故選：C.5、B【解析】根據(jù)已知條件求得以及，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】因?yàn)椋士傻?，則，又，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故在區(qū)間上的最小值為.故選：.6、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.7、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，取，，則，，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為.故選：A8、A【解析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.9、C【解析】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求得直線和圓的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進(jìn)而求得持續(xù)監(jiān)測的時(shí)長.【詳解】以設(shè)備的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，其正東方向?yàn)檩S正方向，正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結(jié)束，因?yàn)榈降木嚯x為米，所以米，故監(jiān)測時(shí)長為分鐘故選：C.10、B【解析】根據(jù)題意求出，結(jié)合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?由題意得，利用余弦定理得：.當(dāng)，即時(shí)，，即，解得：.此時(shí)三角形為等邊三角形；當(dāng)，即時(shí)，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：C12、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用距離公式化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程，即可得出動點(diǎn)的軌跡圖形.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，化簡可得，即，曲線為反比例函數(shù)圖象，故動點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)出動點(diǎn)，根據(jù)已知條件得到關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)，由，有，得，所以，由得：，所以點(diǎn)的軌跡的方程是.故答案為：14、1【解析】根據(jù)向量的加法及向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，，故答案為：115、【解析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.16、【解析】利用已知條件求出p，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后求解的表達(dá)式，利用基本不等式即可得出結(jié)論【詳解】解：由題意可知：，設(shè)點(diǎn)，P到直線的距離為d，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，的最小值為，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點(diǎn)M（，）在橢圓C上，頂點(diǎn)，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因?yàn)?，所以，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因?yàn)?，由，得，因?yàn)?，所以，化簡得，因，則.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意可得，從而可證.(2)由題意可得平面，從而可得，由根據(jù)條件可得，從而可得平面，從而可得證.【小問1詳解】由分別為線段的中點(diǎn).由中位線定理知，又平面，且平面，所以直線平面【小問2詳解】兩兩垂直，即,且所以平面，又平面，所以由，且分別為線段的中點(diǎn)，所以，因此根據(jù)線面垂直判定定理得平面，且平面所以平面平面.19、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見詳解【解析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以存在唯一的，使得，?①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，即，所以，所以時(shí)，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以時(shí)，.【點(diǎn)睛】不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法主要有兩個(gè)：（1）不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值即可；（2）觀察不等式的特點(diǎn)，結(jié)合已解答問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.20、（1）命題“”為真命題（2）【解析】（1）先判斷命題p，命題q的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷；（2）根據(jù)命題“”真命題，由p為真命題，q為假命題求解.【小問1詳解】解：對于命題p，易知直線與雙曲線的左、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，∴命題p為假命題；對于命題q，時(shí)，有與，顯然兩條直線垂直，∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問2詳解】∵命題“”為真命題，∴p為真命題，q為假命題.對于命題p，由得，直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即此方程有兩個(gè)不同的正根，∴得.對于命題q，要使命題q為真，則，解得，∴命題q為假命題，即.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.21、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因?yàn)?，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過B在平面PAB內(nèi)作，垂足為F，連結(jié)CF，