試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省南平市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．從裝有1個紅球、1個白球和1個黃球的口袋中任取1個球，則與事件“取出的是紅球”互為對立事件的是（

）A．“取出的是白球” B．“取出的是黃球”C．“取出的是紅球” D．“取出的不是紅球”3．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．5 D．4．“”的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．位于燈塔P的正西方向且相距40海里的M處有一艘甲船，需要海上加油，位于燈塔P的東北方向的C處有一艘乙船在甲船的北偏東方向上，則乙船前往支援M處的甲船需要航行的最短距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里7．已知數(shù)據(jù)，若這組數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，設(shè)，，線段與交于點(diǎn)F，且，則（

）

A．4 B．3 C． D．5二、多選題9．若復(fù)數(shù)（），則（

）A．當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，B．當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，C．當(dāng)z的實(shí)部與虛部相等時(shí)，D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限10．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，其中為等邊三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則(

)A．B．C．直線是圖象的一條對稱軸D．將的圖象向左平移2個單位長度后，所得圖象與函數(shù)的圖象重合11．《九章算術(shù)》是我國的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，，分別為的中點(diǎn)，則（

）

A．該塹堵的體積為108 B．平面C．該塹堵外接球的表面積為 D．平面與BC的交點(diǎn)恰好為線段BC的一個三等分點(diǎn)三、填空題12．甲?乙兩人每人投籃一次，投中的總次數(shù)記為.已知甲?乙投籃命中的概率分別為且甲?乙投籃命中的結(jié)果相互獨(dú)立，則的概率是.13．已知函數(shù)，則不等式的解集為.14．若的兩條中線長均為2，則面積的最大值為．四、解答題15．已知非零向量，，且．(1)求x的值；(2)求向量與的夾角；(3)求向量在方向上的投影向量的模．16．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，已知，.(1)求A；(2)若，求的面積.17．某電腦公司為調(diào)查旗下某品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)見下表：分組頻率/組距0.030.05(1)根據(jù)上表，求的值，并估計(jì)樣本的中位數(shù)；(2)按照年齡段從，，內(nèi)的用戶中進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取9人，再從中隨機(jī)選取2人贈送小禮品，求這2人不在同一年齡段內(nèi)的概率.18．如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面.(2)求三棱錐的表面積.(3)求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，圓臺形水桶內(nèi)裝有少量水，已知水桶的上底面直徑，下底面直徑，水面直徑，均為圓臺形水桶的母線，長度均為．現(xiàn)有一根細(xì)棒，其長度為cm，將放入水桶中，且將的一端置于點(diǎn)處（水桶厚度、細(xì)棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）．(1)如何放置時(shí)，浸入水中部分的長度最小，最小為多少？(2)若將的另一端置于母線上點(diǎn)處，求浸入水中部分的長度．(3)已知，若將的另一端置于母線上點(diǎn)處，求浸入水中部分的長度．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《福建省南平市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案ADACABCDABDBCD題號11答案ACD1．A【分析】利用數(shù)軸表示和并集定義即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A.2．D【分析】根據(jù)對立事件的概念即可求解.【詳解】從裝有1個紅球、1個白球和1個黃球的口袋中任取1個球，結(jié)果有“取出的是紅球”，“取出的是白球”和“取出的是黃球”，故與事件“取出的是紅球”互為對立事件的是“取出的不是紅球”.故選：D.3．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)模的概念求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A4．C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，“”是“”的充分必要條件，不合題意；對于B，由推不出，但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分條件，不合題意；對于C，由推不出，但是由可以推出，所以“”是“”的充分不必要條件，符合題意；對于D，由推不出，比如滿足，不滿足，但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分條件，不合題意．故選：C5．A【分析】根據(jù)給定條件，利用同角三角函數(shù)公式求出，再利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】由，得，解得，由，得，則，所以.故選：A6．B【分析】根據(jù)題設(shè)畫出示意圖，利用正弦定理可得.【詳解】依題意，畫出示意圖如下，，，在中，，由正弦定理得，因此（海里），所以乙船前往支援M處的甲船需要航行的最短距離是海里.故選：B.7．C【分析】按照或、或、三種情況分類討論，求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差，列式求解即可.【詳解】當(dāng)或時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，極差為，顯然，滿足題意；當(dāng)或時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，極差為，顯然不滿足題意；當(dāng)正整數(shù)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，極差為，則，即，滿足題意；綜上，滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)為3個.故選：C8．D【分析】先計(jì)算出，進(jìn)而得到，利用共線定理的推論得到，得到答案.【詳解】，，又，故，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，故.故選：D9．ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)有相關(guān)概念及幾何意義逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，A正確；對于B，當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，，則，B正確；對于C，當(dāng)z的實(shí)部與虛部相等時(shí)，，解得，，則，C錯誤；對于D，當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限時(shí)，，即，無解，因此z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限，D正確.故選：ABD10．BCD【分析】對A，由圖數(shù)據(jù)得邊長，求出；對B，由點(diǎn)坐標(biāo)求出；對C，代入驗(yàn)證最值；對D，由圖象變換可得.【詳解】對于A：如圖，因?yàn)??為等邊三角形，且高為??，所以邊長為，所以，，，A錯誤；對于B：因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，，解得又，所以，B正確；對于C：由上知，而，C正確；對于D：的圖象向左平移個單位長度，解析式變?yōu)?，即所得圖象與函數(shù)的圖象重合，D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】直接利用棱柱體積公式求解判斷A；利用直線與直線相交判斷B；利用補(bǔ)體法求得該塹堵的外接球半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積判斷C；延長并與的延長線交于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)，連接，利用幾何關(guān)系得，即可判斷D.【詳解】由題意該塹堵的體積為，故A正確；因?yàn)橹本€與直線相交，所以直線與平面不平行，故B錯誤；該塹堵可以放置在邊長為6的正方體中，該塹堵的外接球和正方體的外接球?yàn)橥粋€外接球，所以該塹堵的外接球半徑為，所以外接球的表面積為，故C正確；延長并與的延長線交于點(diǎn)F，連接，交于點(diǎn)，連接，由可知，由可得，平面與BC的交點(diǎn)恰好為線段BC的一個三等分點(diǎn)，故D正確.

12．/【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得.故答案為：13．【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得為奇函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)利用單調(diào)性求解不等式即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù).，由函數(shù)和函數(shù)在R上單調(diào)遞增可知，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則由可得，由函數(shù)在R上單調(diào)遞增得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：14．【分析】設(shè)兩中線相交于點(diǎn)，設(shè)，并利用重心性質(zhì)得到，，表達(dá)出，并求出最值.【詳解】不妨設(shè)邊邊上的中線長分別為，即，相交于點(diǎn)，為的重心，設(shè)，其中，，則，故，故，，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：15．(1)1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模的計(jì)算公式，即可求得答案.（2）根據(jù)向量的夾角公式求解即可.（3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案.【詳解】（1）已知非零向量，，故，而，故，解得或，由于為非零向量，故，故；（2）結(jié)合（1）可知，，則，故，故向量與的夾角為；（3）向量在方向上的投影向量為，，故向量在方向上的投影向量的模為.16．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理結(jié)合題干條件可得的值，結(jié)合，即可求得的值，從而求出的值即可求解；（2）由（1）可得，由正弦定理可得.結(jié)合，解得，.由，結(jié)合，得，利用三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由余弦定理得，又，∴.∵，∴，∴.又∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，，∴.由正弦定理得，即，∴.又，∴，解得，.∵，∴，即，解得或.又，∴，∴，∴的面積.17．(1)，36(2)【分析】（1）根據(jù)每組的頻率之和等于1，即可求得a的值，根據(jù)中位數(shù)的求法即可求得答案.（2）根據(jù)分層抽樣，確定每組抽取的人數(shù)，利用列舉法列出所有的可能情況，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】（1）由，得.因?yàn)椋?，所以中位?shù)在內(nèi).設(shè)中位數(shù)為，則，解得.（2）由題意可知，，內(nèi)的用戶的比例為，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣，，抽取的9人中位于內(nèi)的有3人，記這3人為，，；位于內(nèi)的有4人，記這4人為，，，；位于內(nèi)的有2人，記這2人為，.從這9人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，這36種情況，2人不在同一年齡段內(nèi)的情況有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，這26種，所以這2人不在同一年齡段內(nèi)的概率為.18．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推理得證.（2）由（1）的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形面積公式求出表面積.（3）求出點(diǎn)到平面的距離。再利用公式法求出線面角的正弦.【詳解】（1）在三棱錐中，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）得，而，則，所以三棱錐的表面積.（3）由平面，得點(diǎn)到平面的距離為，由為棱的中點(diǎn)，得點(diǎn)到平面的距離，由（2）知，，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．(1)(2)(3)【分析】（1）由幾何性質(zhì)可知垂直于圓臺形水桶的底面時(shí)，浸入水中部分的長度最小，記，，通過相似比例求解即可；（2）記，過作，垂足為，在中，由余弦定理得，根據(jù)∽，解得，利用比例相等得即可得解；（3）記圓臺形水桶上底面圓的圓心為，下底面圓的圓心為，連接，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得，在中，由余弦定理得，記點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，利用三角形相似得，記與水面交于點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，利用三角形相似得，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)垂直于圓臺形水桶的底面，即直線垂直于圓臺形水桶底面時(shí)，浸入水中部分的長度最小，記，，，，水桶的高，因?yàn)椤祝?，即，解得，所以浸入水中部分的長度最小值為.（2）記，過作，垂足