試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025-2026學年高三上學期期初質量監(jiān)測數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知二次函數(shù)．甲同學：的解集為或；乙同學：的解集為或，丙同學：函數(shù)圖象的對稱軸在軸右側．在這三個同學的論述中，只有一個假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．如圖1是惠州市風景優(yōu)美的金山湖片區(qū)地圖，其形狀如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在軸上方部分對應的函數(shù)解析式可能為（

）

A． B．C． D．4．已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，滿足，則方程的解的個數(shù)為（

）A．13 B．14 C．20 D．215．已知是等比數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．1022 B．1023 C．1024 D．10256．設數(shù)列的前n項和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為吉祥數(shù)列.已知等差數(shù)列的首項為3，且公差不為0，若數(shù)列為吉祥數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．設函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知關于x的不等式的解集為，則下列選項中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為10．已知等比數(shù)列的公比不為1且相鄰三項調整次序后可為等差數(shù)列，若，存在實數(shù)使得對任意恒成立，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．11．（多選）已知函數(shù)，，若存在直線與曲線和均相切，則a的值可能為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2三、填空題12．若關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是．13．已知正項數(shù)列中，且，其中為數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為．14．已知函數(shù)，若，則的單調遞增區(qū)間為；若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為.四、解答題15．定義關于的新運算：，其中，為非零常數(shù).(1)當，時，求的值；(2)當時，求不等式組的解集.16．設是定義域為的函數(shù)，如果對任意，均成立，則稱是平緩函數(shù)．(1)若，試判斷是否為平緩函數(shù)？并說明理由；(2)若函數(shù)是平緩函數(shù)，且是以1為周期的周期函數(shù)，證明：對任意的，均有．17．已知正項數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：．18．已知數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列，，，若數(shù)列前項和為，并滿足，.(1)求數(shù)列，的通項公式.(2)若，求數(shù)列前項的和.19．定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù).(1)證明：；(2)證明：當時，；(3)證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《遼寧省沈文新高考研究聯(lián)盟2025-2026學年高三上學期期初質量監(jiān)測數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案DCCDBDBABDBCD題號11答案ABC1．D【分析】求解集合A，B，再利用交集的定義直接計算作答.【詳解】∵，，∴.故選：D.2．C【分析】根據(jù)題設描述，由一元二次不等式的解集列不等式求參數(shù)的范圍，結合假命題個數(shù)確定參數(shù)范圍.【詳解】若的解集為或，則解得；若的解集為或，則解得；若函數(shù)圖象的對稱軸在軸右側，則對稱軸，則，得．又這三個同學的論述中，只有一個假命題，故乙同學為假，綜上，．故選：C.3．C【分析】利用函數(shù)圖象的對稱性排除B，D兩項；根據(jù)A，C項中函數(shù)的結構，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質判斷其最值情況結合圖象即可判斷.【詳解】由圖可知，“心形”圖形關于軸對稱，則“心形”在軸上方部分對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)，故B不正確；函數(shù)的定義域為，關于原點不對稱，故D不正確；的圖象過點，且時，，當且僅當時，等號成立，即函數(shù)的最大值為2，又“心形”在軸上方部分對應的函數(shù)的最大值為1，故A不正確；由的圖象過點，且時，，當時，等號成立，即函數(shù)的最大值為1，滿足題意，故C正確．故選：C.4．D【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，由，可得，結合圖象求解即可.【詳解】解：因為，由，可得，即有，作出函數(shù)的圖象如圖所示：則有7個根，有10個根，有4個根，所以方程共有個根.故選：D【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是將函數(shù)寫成分段函數(shù)并作出圖象.5．B【分析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到方程組，解得首項和公比，代入等比數(shù)列的前n項和公式可求；【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意可得解得則故選：B.6．D【分析】設等差數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列求和公式得，根據(jù)吉祥數(shù)列的定義可知為常數(shù)，不妨設，化簡求得，進而利用等差數(shù)列通項公式求解即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差，則，故.又因為數(shù)列為吉祥數(shù)列，所以為常數(shù)，不妨設，則，則，解得，所以.故選：D7．B【分析】先利用求導判斷函數(shù)的單調性，再判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的這些性質求解抽象不等式即得.【詳解】由求導得：，因，當且僅當時，等號成立，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又，即函數(shù)為奇函數(shù).則由可得，進而，解得.故選：B.8．A【分析】不等式存在整數(shù)解等價于的圖象有部分在直線的下方且這部分圖象上有橫坐標為整數(shù)的點，用導數(shù)刻畫的圖象后考慮動直線的變化趨勢從而得到實數(shù)a的取值范圍．【詳解】令，則，當時，，所以在上是單調減函數(shù)；當時，，所以在上是單調增函數(shù)；由可得，由題意可知，存在唯一的整數(shù)，使得，則函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個橫坐標為整數(shù)的點，因為當時，則函數(shù)在直線下方的圖象中有無數(shù)個橫坐標為整數(shù)的點，不合乎題意；所以，因為，當直線過點時，則，解得；又，直線，所以此時函數(shù)與直線相切于點，當直線過點時，則，且，結合圖象可得，所以的取值范圍是，故選：A9．BD【分析】對于A，根據(jù)不等式的解集得到判斷A；對于B，結合題意得到和3是關于x的方程的兩根，再結合韋達定理得到，將目標不等式化為，求出解集判斷B，對于C，結合得到判斷C，對于D，將合理變形后求出解集判斷D即可.【詳解】對于A，因為關于的不等式的解集為，所以和3是關于的方程的兩根，且，故A錯誤；對于B，由已知得和3是關于的方程的兩根，由韋達定理得，解得，對于不等式，即化為，解得，故B正確；對于C，可得，故C錯誤；對于D，對于不等式，可化為，而，則化為，解得，故D正確．故選：BD10．BCD【分析】由等比數(shù)列的通項公式及等差中項的性質求得公比或，根據(jù)恒成立確定，應用等比數(shù)列前n項和得，進而得，結合已知，即可判斷各項正誤.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，相鄰三項為，則或或，故或或，故或，若，則，當為奇數(shù)時，，時，故，當為偶數(shù)時，，時，故，與題設矛盾；所以，此時，當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，則，所以在上單調遞增，則，由恒成立，故.故選：BCD11．ABC【分析】先分別求兩個函數(shù)的切線方程，再根據(jù)切線相同建立關系，最后將問題轉化為值域問題進而求出a的可能值.【詳解】由題意得，，，又直線與曲線和均相切，設直線與曲線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，設直線與曲線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，兩條切線為同一條直線，，由，可得，代入，得，即，令，則問題轉化為存在使得，即求的值域，，令，解得，故當時，；當時，，在單調遞增；在單調遞減，，的值域為，即.故選：ABC．12．【分析】解法一、令，轉化為，再分，，討論即可；解法二、根據(jù)題意，參變分離得，再分，求函數(shù)最值即可.【詳解】解法一、令，①當時，在上單調遞減，所以，此時滿足條件．②當時，的圖象的對稱軸方程為，若，則在上單調遞減，則只需滿足，得；若，則，且時已滿足條件．綜上，實數(shù)的取值范圍為．解法二、時，，由得，則在上有解．令，則當時，；當時，，又在單調遞增，所以，即，故實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.13．【分析】利用代入已知條件求得即得，然后再求出．【詳解】在數(shù)列中，①，又②，，所以①除以②得．又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，所以．當時，，當時，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為．故答案為：．14．【分析】當時，分析函數(shù)的奇偶性，化簡函數(shù)的解析式，結合導數(shù)法可求出函數(shù)的增區(qū)間；對實數(shù)的取值進行分類討論，化簡函數(shù)的解析式，分析可知對任意的恒成立，結合參變量分離法可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，，因為的定義域為，，故函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則，即函數(shù)在上單調遞增，故當時，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，，則，由題意知，對任意的，，則，可得，此時；當時，由可得，由可得，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，若，則，，此時函數(shù)在區(qū)間上不單調；若時，即當時，則當時，，則對任意的，，則，可得，此時；若時，即當時，則當時，，則對任意的，，則，可得，這與矛盾，此時不成立.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：，.15．(1)；(2)或.【分析】（1）由新運算定義結合題意可得答案.（2）由，可得.則可將化為：，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）由題可知，，解得.（2）由題可知，即.又，即，解得；，整理得，解得或，所以解集為或.16．(1)是平緩函數(shù)，理由見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)平緩函數(shù)定義結合放縮法證得；（2）函數(shù)是周期函數(shù)，結合平緩函數(shù)定義證明即可；【詳解】（1）任取，，只需證，當有一個為0時，不妨設，則；當都不為0時，分母利用不等式，得，結合可得當且僅當時取等號成立，但此時，故嚴格不等式成立，因此函數(shù)是上的平緩函數(shù)．（2）由已知可得，由于函數(shù)是周期函數(shù)，故不妨設，當時，由為上的平緩函數(shù)得。當時，不妨設，此時由為上的平緩函數(shù)得.綜上所述，命題得證.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用數(shù)列前項和與的關系，再結合首項的值確定通項即可；（2）法一：直接放縮法，利用即可證出；法二：由可得，即可證明不等式.【詳解】（1）因為為正項數(shù)列，①，當時，得；當時，②，①－②得，，得．所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）解法1：因為，所以當時，，當時也符合，所以原不等式成立．解法2：因為，所以，所以，所以當時，，當時，不等式的左邊也符合，所以原不等式成立．18．(1)，(2)【分析】（1）設出等差數(shù)列公差，根據(jù)題干條件列方程求出公差，得到通項，根據(jù)多寫一項，作差，利用構造法求解；（2）根據(jù)錯位相減法進行計算.【詳解】（1）設等差數(shù)列公差為，，整理可得，解得（負值舍去），則；時，，解得，當，，整理可得，則，又，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，于是.（2）由（1）得，，則，，，即19．(1)證