專題2.6有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的混合運(yùn)算（舉一反三講義） 【蘇科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1有理數(shù)冪的概念】 2【題型2有理數(shù)的乘方運(yùn)算】 2【題型3有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算】 3【題型4乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律】 3【題型5乘方的應(yīng)用】 3【題型6用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】 5【題型7將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)】 5【題型8與科學(xué)記數(shù)法有關(guān)的計(jì)算】 6【題型9科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用】 6【題型10有理數(shù)的混合運(yùn)算】 7【題型11有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 8【題型12程序流程圖與有理數(shù)的計(jì)算】 10【題型13計(jì)算“24”點(diǎn)】 11【題型14乘方中的規(guī)律探究】 11知識(shí)點(diǎn)1有理數(shù)的乘方1.一般地，n個(gè)相同的乘數(shù)ɑ相乘，即a?a·?·an個(gè)，記作an．求n個(gè)相同乘數(shù)an冪底數(shù)指數(shù)2.an中，a叫作底數(shù)，n叫作指數(shù)，an讀作a的n次方（或a冪底數(shù)指數(shù)乘方運(yùn)算的結(jié)果及符號(hào)的規(guī)律正數(shù)：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)知識(shí)點(diǎn)2科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)方法叫作科學(xué)記數(shù)法．對(duì)于小于?10的數(shù)也可以類似表示．知識(shí)點(diǎn)3有理數(shù)的混合運(yùn)算順序1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．有理數(shù)運(yùn)算分三級(jí)，加減是第一級(jí)運(yùn)算，乘除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方是第三級(jí)運(yùn)算．運(yùn)算順序是先算高級(jí)，再算低級(jí)；同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行；對(duì)于含有多重括號(hào)的運(yùn)算，一般先算小括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)內(nèi)的，最后算大括號(hào)內(nèi)的．【題型1有理數(shù)冪的概念】【例1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）若23+23+23++23k個(gè)23=A．3 B．4 C．6 D．9【變式11】（2223七年級(jí)上·江西宜春·階段練習(xí)）-23的底數(shù)是指數(shù)是表示【變式12】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的有（）①?zèng)]有平方得?9的數(shù)；②?a2是負(fù)數(shù)；③A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式13】（2425七年級(jí)上·河北唐山·期末）3+3+3+???+3m個(gè)+A．3m+2n B．m3+2n C．3m【題型2有理數(shù)的乘方運(yùn)算】【例2】（2425七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）比較大小：?233?32【變式21】（2025·福建泉州·二模）已知x?20252+y+1=0，則【變式22】（2425七年級(jí)上·上海閔行·期中）計(jì)算：?14【變式23】（2425七年級(jí)上·廣東廣州·期末）利用二進(jìn)制數(shù)加法運(yùn)算法則計(jì)算110102+111【題型3有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算】【例3】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a?a?a?a??a記作an，如2×2×2=23=8．此時(shí)，3叫做以2為底的8的“勞格數(shù)”，記為L28，則L28=3．一般地，若an=b（a>0且a≠1），則n叫做以a為底的b【變式31】（2223七年級(jí)上·廣東東莞·期中）62=36,2×32=A．6 B．8 C．18 【變式32】（2223七年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）已知|a|=2,b2=25,A．10 B．6 C．3 D．6或者0【變式33】（2223七年級(jí)上·福建廈門·期中）若126×38=p，則126×A．16p B．p?9 C．p?6 【題型4乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律】【例4】（2324七年級(jí)上·廣東揭陽·期末）計(jì)算：?11【變式41】（2324七年級(jí)上·河南信陽·期中）在?12021，?23A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式42】（2425七年級(jí)上·四川南充·期中）已知y=?(x?6)4+2024【變式43】（2324七年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）當(dāng)整數(shù)n為時(shí)，(?1)n=?1；若n是正整數(shù)，則(?1)【題型5乘方的應(yīng)用】【例5】（2425七年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）根據(jù)我國古代《易經(jīng)》記載，遠(yuǎn)古時(shí)期人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記錄采集到的野果的個(gè)數(shù)．已知她一共采集到的野果數(shù)不少于75個(gè)，則她在第2根繩子上打結(jié)的可能情況有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式51】（2425七年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）一根1米長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的繩子的長度為（）A．123米 B．125米 C．12【變式52】（2425七年級(jí)上·云南昆明·期末）二進(jìn)制在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備都使用二進(jìn)制來表示數(shù)字和數(shù)據(jù)．二進(jìn)制是逢二進(jìn)一，其各數(shù)位上的數(shù)字為0或1，并利用角標(biāo)表示二進(jìn)制數(shù)，例如，(1011)2就是二進(jìn)制數(shù)1011以98為例：方法一：因?yàn)?8=64+32+2=1×所以98=(1100010)方法二：用如圖的短除法算式表示：請(qǐng)你根據(jù)以上材料，把123轉(zhuǎn)換為五進(jìn)制數(shù)是（

）A．(1111011)5 B．(123)5 C．（443【變式53】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）某軟件用戶等級(jí)用四個(gè)標(biāo)識(shí)圖展示，從低到高分別為星星、月亮、太陽、皇冠，采用“滿四進(jìn)一”制，一開始是星星，1個(gè)星星為1級(jí)，4個(gè)星星等于1個(gè)月亮，4個(gè)月亮等于1個(gè)太陽，4個(gè)太陽等于1個(gè)皇冠．某用戶的等級(jí)標(biāo)識(shí)圖為兩個(gè)皇冠，則該用戶的等級(jí)為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【題型6用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】【例6】（2425九年級(jí)下·江西撫州·階段練習(xí)）江西省發(fā)布2024年10件民生實(shí)事，在支持重點(diǎn)群體就業(yè)創(chuàng)業(yè)方面，調(diào)整完善創(chuàng)業(yè)擔(dān)保貸款政策，全年增加安排擔(dān)保基金6000萬元．將6000萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．0.6×108 B．6×107 C．【變式61】（2425六年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）我國國土面積平方千米，這個(gè)數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)記作．【變式62】（2425九年級(jí)下·寧夏吳忠·期中）在2025年初的科技界，一款名為DeepSeek的人工智能應(yīng)用程序異軍突起，引發(fā)了全球用戶的熱烈關(guān)注．這款應(yīng)用于1月11日正式上線，僅僅數(shù)周時(shí)間就迎來了破億的量，顯示了其強(qiáng)大的市場吸引力．根據(jù)數(shù)據(jù)分析，自發(fā)布至2月9日，DeepSeek的累計(jì)量已突破1.1億．將數(shù)據(jù)1.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．0.11×109 B．1.1×108 C．【變式63】（2425七年級(jí)上·上海閔行·期中）當(dāng)我們購買硬盤時(shí)，制造商通常采用十進(jìn)制單位標(biāo)注產(chǎn)品容量．?dāng)?shù)據(jù)的存儲(chǔ)單位一般用KB、MB、GB、TB??來表示，其中1MB【題型7將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)】【例7】（2425七年級(jí)上·貴州·期末）下列四個(gè)數(shù)中，值最大的是（

）A．8.2×103 B．2.8×103 C．【變式71】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）今年“五一”假期，湖南省文旅市場持續(xù)升溫，文旅經(jīng)濟(jì)強(qiáng)勁復(fù)蘇．根據(jù)全省十四個(gè)市州綜合測(cè)算情況匯總，今年“五一”假期全省共接待游客1.7871×107人次，同口徑比去年“五一”假期增長了114.61%，數(shù)據(jù)1.7871×A．6 B．7 C．8 D．9【變式72】（2025·江蘇揚(yáng)州·中考真題）2025年3月30日，揚(yáng)州鑒真半程馬拉松暨大運(yùn)河馬拉松系列賽在市民中心廣場鳴槍開跑，約30000名跑者用腳步丈量千年古城，用拼搏詮釋無限熱愛．將數(shù)據(jù)30000用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式73】（2425七年級(jí)上·河南開封·階段練習(xí)）小華在做練習(xí)題時(shí)，不小心把墨水灑在了習(xí)題上，如圖所示，他翻看答案后得知本題的正確答案選B，則原數(shù)中數(shù)字“3”后“0”的個(gè)數(shù)為（

）長江是世界第三長河，也是亞洲最長的河流，全長約63米，將63用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．63×105

B．6.3×106

C．A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【題型8與科學(xué)記數(shù)法有關(guān)的計(jì)算】【例8】（2025·北京·中考真題）2025年5月29日，行星探測(cè)工程天問二號(hào)探測(cè)器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開啟對(duì)近地小行星2016HO3的探測(cè)與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離約為4×105kmA．1.8×105km B．1.8×106km【變式81】（2425七年級(jí)上·上海普陀·期中）已知太陽到地球的距離約為1.5×108千米，光速約為3×10【變式82】（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）在一次“節(jié)約用水，保護(hù)水資源”的活動(dòng)中，學(xué)校提倡每人每天節(jié)約0.1升水，如果該市約有5萬學(xué)生，估計(jì)該市全體學(xué)生一年的節(jié)水量為升．【變式83】（2425七年級(jí)下·山東聊城·期中）水由水分子組成，1g水中約有3.34×1022個(gè)水分子，則2A．0.668×1026 B．6.68×1025 C．【題型9科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用】【例9】（2425七年級(jí)上·江蘇常州·期中）作為城市高質(zhì)量發(fā)展“大動(dòng)脈”的常州地鐵，近年來為城市發(fā)展和居民生活提供了高效便捷的公共交通服務(wù)．其中1號(hào)線是常州市第一條開工建設(shè)的地鐵線路，于2019年9月21日開通運(yùn)營，這條線路呈南北走向，北起新北區(qū)森林公園站，途經(jīng)天寧區(qū)，南至武進(jìn)區(qū)南夏墅站．如圖為1號(hào)線串聯(lián)的部分站點(diǎn)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年10月1日至7日，常州地鐵1號(hào)線客流量達(dá)135.13萬人次．(1)若135.13萬人次用科學(xué)記數(shù)法表示為1.3513×10n人次，則(2)某天，小紅同學(xué)從環(huán)球港站開始乘坐地鐵1號(hào)線，在地鐵各站點(diǎn)做志愿者服務(wù)，到A站下車時(shí)，本次志愿者服務(wù)活動(dòng)結(jié)束，約定向南夏墅站方向?yàn)檎?，?dāng)天的乘車記錄如下（單位：站）：+5,?2,?6,+8,+3,?4,?9,+8．①請(qǐng)通過計(jì)算說明A站是哪一站？②若相鄰兩站之間的平均距離為1.2千米，求這次小紅志愿服務(wù)期間乘坐地鐵行進(jìn)的路程是多少千米？【變式91】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）已知1cm3的氫氣質(zhì)量約為0.00009(1)求一個(gè)容積為8000000cm(2)一塊橡皮重18g，這塊橡皮的質(zhì)量是1【變式92】（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）“一粥一飯當(dāng)思來處不易”，勤儉節(jié)約是中華民族的傳統(tǒng)美德，一粒大米雖然微不足道，但聚少成多，數(shù)量大了也是非常可觀的．為了讓同學(xué)們體會(huì)到節(jié)約愛護(hù)每一粒糧食的重要性，老師組織同學(xué)們進(jìn)行了實(shí)際測(cè)算，稱得500粒大米重約10克．(1)一粒大米重約多少克？(2)按14億人口，每年365天，每人每天三餐計(jì)算，若每人每餐節(jié)約一粒大米，則一年大約能節(jié)約大米多少千克（用科學(xué)記數(shù)法表示）？(3)若把（2）中節(jié)約的大米賣成錢，按5元/千克計(jì)算，則大約可賣得多少元（用科學(xué)記數(shù)法表示）？【變式93】（2425七年級(jí)上·黑龍江·課后作業(yè)）有關(guān)資料表明，一個(gè)人在一次刷牙過程中如果一直打開水龍頭，將浪費(fèi)大約8杯水（每杯水約0.25升）．某地區(qū)總?cè)丝诩s人，如果該地區(qū)所有的人在刷牙過程中都不關(guān)水龍頭，那么一次刷牙過程共浪費(fèi)多少杯水？約多少升？（用科學(xué)記數(shù)法表示）【題型10有理數(shù)的混合運(yùn)算】【例10】（2324七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）小王利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：輸入12345…輸出12345…那么，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)是8時(shí)，輸出的數(shù)據(jù)是（

）A．861 B．863 C．865【變式101】（2425六年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A．?14B．?3C．?7÷2×D．7【變式102】（2425七年級(jí)上·安徽合肥·期末）用一排6個(gè)黑白圓圈來表示數(shù)，如圖分別表示數(shù)1?5，則●○○●●○表示的數(shù)是．【變式103】（2425七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）對(duì)正整數(shù)n反復(fù)進(jìn)行下列兩種運(yùn)算：①若n是偶數(shù)，就除以2；②若n是奇數(shù)，就乘以3加1．例如：正整數(shù)6經(jīng)過一次操作后的結(jié)果是3，經(jīng)過兩次操作后的結(jié)果是10．若某正整數(shù)m經(jīng)過4次操作后的結(jié)果是2，則正整數(shù)m的值是．【題型11有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】【例11】（2425七年級(jí)下·重慶·階段練習(xí)）二維碼在我們?nèi)粘Ｉ钪袘?yīng)用越來越廣泛，它是用某種待定的幾何圖形按照一定的規(guī)律在平面分布的、黑白相間的、記錄數(shù)據(jù)符號(hào)信息的圖形；在代碼編制上巧妙利用構(gòu)成計(jì)算機(jī)內(nèi)部邏輯基礎(chǔ)的“0”，“1”，使用若干個(gè)與二進(jìn)制相對(duì)應(yīng)的幾何圖形來表示數(shù)值（黑色代表1，白色代表0）．如圖是某次考試中兩位同學(xué)的準(zhǔn)考證號(hào)的二維碼的簡易編碼，如圖1，是同學(xué)“小胡”的準(zhǔn)考證號(hào)的二維碼的簡易編碼，其中第一行代表二進(jìn)制的數(shù)字11000，轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制為：1×24+1×2A．2410252110 B．2010272108 C．2212272408 D．2410272108【變式111】（2425七年級(jí)上·四川成都·期末）某校一幢教學(xué)樓共有5層，相鄰兩層之間樓梯的臺(tái)階均為18級(jí)，從1層到5層參加舞蹈社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)分別為9，7，5，5，6．若在某層樓確定活動(dòng)地點(diǎn)，能使所有參加舞蹈社團(tuán)的同學(xué)到活動(dòng)地點(diǎn)所經(jīng)過的臺(tái)階數(shù)之和最小，則臺(tái)階數(shù)之和最小為級(jí)．【變式112】（2425七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）2025重慶沙坪壩全球校友半程馬拉松現(xiàn)場氛圍熱烈．某學(xué)校9人組成的啦啦隊(duì)在站點(diǎn)表演三個(gè)助威節(jié)目，候場時(shí)間為從首個(gè)節(jié)目開始至參演節(jié)目開始前的時(shí)間間隔（不考慮換場等因素），各節(jié)目參與人數(shù)及表演時(shí)長（單位：min）如下表所示：節(jié)目甲乙丙人數(shù)342時(shí)長642若節(jié)目按丙→乙→甲的順序表演，則9位學(xué)生的候場時(shí)間之和是（）A．6 B．20 C．26 D．44【變式113】（2425七年級(jí)上·重慶渝北·期末）正所謂：“人有人言，燈有燈語”．燈語（燈光通信）是船只之間通信的一種通用化語言，在國際上的使用十分廣泛．利用燈光，以二進(jìn)制的原理傳遞信息，可以幫助船員在較遠(yuǎn)的目視距離相互溝通．例如：“○”表示亮紅燈．”“●”表示亮綠燈．兩只遠(yuǎn)洋航行的船只用亮紅燈和亮綠燈來進(jìn)行交流，并在啟航前作如圖所示的約定：根據(jù)約定的規(guī)則，下列說法正確的有（

）①“●○○○”表示字母H：②若要表示26個(gè)英文字母，需要6盞燈；③某船先后發(fā)出“●○○●●”、“●●●●”、“●○○●●”表示它遇到了危險(xiǎn)，在求救．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【題型12程序流程圖與有理數(shù)的計(jì)算】【例12】（2425八年級(jí)上·貴州遵義·期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為k2n（其中k是使k2n為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=26，如圖所示；若n=449，則第“A．1 B．3 C．7 D．8【變式121】（2425七年級(jí)上·遼寧丹東·期中）如圖是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖，當(dāng)x=?1，y=?2時(shí)，輸出的結(jié)果是．【變式122】（2425七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖是小宇用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的一個(gè)有理數(shù)運(yùn)算的程序框圖．若輸入的數(shù)a為1，則輸出的結(jié)果是（

）A．?32 B．32 C．?【變式123】（2425九年級(jí)上·重慶江北·期末）對(duì)任意正整數(shù)n，若n為偶數(shù)則除以2，若n為奇數(shù)則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個(gè)新的自然數(shù)，在1937年LotharCollatz提出了一個(gè)問題：如此反復(fù)這種變換，是否對(duì)于所有的正整數(shù)，最終都能變換到1呢？這就是數(shù)學(xué)中著名的“考拉茲猜想”．如果某個(gè)正整數(shù)通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時(shí)所經(jīng)過的變換次數(shù)稱為它的路徑長，例如5經(jīng)過5次變成1，則路徑長m=5．下列說法：①無論輸入的正整數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)路徑長m≥4時(shí)，總能得到連續(xù)四次變換的結(jié)果依次是24，23，22②若輸入正整數(shù)n，變換次數(shù)m，當(dāng)m=8時(shí)，n的所有可能值只有4個(gè)；③若輸入正整數(shù)n，變換次數(shù)m，當(dāng)m=9時(shí)，n的所有可能值中最大是512，最小是13．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【題型13計(jì)算“24”點(diǎn)】【例13】（2425七年級(jí)上·四川成都·期末）24點(diǎn)游戲是一種益智游戲，24點(diǎn)是把4個(gè)整數(shù)（一般是正整數(shù)）通過加、減、乘、除或乘方等運(yùn)算（可以使用括號(hào)），使最后的計(jì)算結(jié)果是±24的一個(gè)數(shù)學(xué)游戲（每個(gè)數(shù)字均使用1次）．寫出1，2，2，3的24點(diǎn)游戲的一種計(jì)算式．【變式131】（2425七年級(jí)上·廣東佛山·期末）游戲“24點(diǎn)”規(guī)則如下：從一副撲克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌必須用一次且只能用一次），使得運(yùn)算結(jié)果為24，其中紅色（方塊、紅桃）撲克牌代表負(fù)數(shù)，黑色（梅花、黑桃）撲克牌代表正數(shù)．請(qǐng)用如圖抽取出的4張牌，寫出一個(gè)符合規(guī)則的算式：．【變式132】（2324六年級(jí)上·山東威海·期末）有一種“二十四點(diǎn)”游戲，其游戲規(guī)則是：任取1至13之間的四個(gè)自然數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次，