第02講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【人教A版】模塊一模塊一空間向量的夾角與數(shù)量積1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．5．空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【題型1空間向量數(shù)量積的概念辨析】【例1】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）關(guān)于空間向量a，b，c，下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)?b=C．λa?b【答案】D【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知選項(xiàng)A，B，C正確；根據(jù)a?b?【解答過程】由數(shù)量積運(yùn)算的交換律可得a?由數(shù)量積運(yùn)算的分配率可得a+由數(shù)量積運(yùn)算的數(shù)乘結(jié)合律可得λaa?b?c表示與c共線的向量，a?b?故選：D.【變式1.1】（2425高二上·山東·階段練習(xí)）對(duì)于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若a⊥b，b⊥c，則C．若a?b<0，則a，b的夾角是鈍角【答案】B【解題思路】由空間向量的位置關(guān)系可得A錯(cuò)誤；由數(shù)量積的運(yùn)算律可得B正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)兩向量的夾角為π時(shí)，a?【解答過程】對(duì)于A，若a⊥b，b⊥c，則對(duì)于B，由數(shù)量積的運(yùn)算律可知a?對(duì)于C，若a?b<0，則a對(duì)于D，由數(shù)量積的運(yùn)算律可知，等號(hào)左面與c共線，等號(hào)右面與a，兩邊不一定相等，故D錯(cuò)誤；故選：B.【變式1.2】（2425高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知空間向量a,b,A．若a∥b,b∥c，則a∥cC．若a?c=b?【答案】B【解題思路】對(duì)ACD，舉特例零向量判斷即可；對(duì)B，根據(jù)數(shù)量積公式判斷即可.【解答過程】對(duì)A，若b=0，則a∥對(duì)B，a?b=a?bcosa,當(dāng)a與b均不為零向量時(shí)，cosa,b=1，故a,b夾角為0°或?qū)，若c=0，則a?對(duì)D，a?b?c=m故選：B.【變式1.3】（2425高二下·四川涼山·期中）對(duì)于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若a//b且b//c，則C．若a?b=a?c，且【答案】B【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BCD，根據(jù)向量共線的性質(zhì)即可求解A.【解答過程】對(duì)于A，若b=0，則a//b且對(duì)于B，a?對(duì)于C，若a?b=a?c，且a≠對(duì)于D，a?bc表示與c共線的向量，而ab?c表示與故選：B.【題型2空間向量數(shù)量積的計(jì)算】【例2】（2425高二下·甘肅蘭州·期中）設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則AE?AF的值為（

A．34a2 B．12a2【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，得到AE=12(AB【解答過程】如圖所示，因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，可得AE=12又因?yàn)樗拿骟wABCD為正四面體，且棱長為a，可得AE?AF=故選：D.【變式2.1】（2425高二上·新疆博爾塔拉·期末）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．4 B．5 C．6 D．4【答案】B【解題思路】根據(jù)EB【解答過程】E=E故選：B.【變式2.2】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知a=3i+2j?k，b=i?j+2k(其中iA．?15 B．?5 C．?3 D．?1【答案】A【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【解答過程】由題意5=153故選：A.【變式2.3】（2425高二下·福建龍巖·期中）如圖，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=CC1=4A．48 B．32 C．32+82 D．【答案】C【解題思路】把CA1變成【解答過程】CA1?故選：C.【題型3空間向量的夾角的計(jì)算】【例3】（2425高二上·廣東·期中）已知空間向量a,b,c滿足a+2b+7A．30° B．150° C．60°【答案】C【解題思路】先根據(jù)已知化簡得出a+2【解答過程】設(shè)a與b的夾角為θ.由a+2b+兩邊平方得a2+4a解得cosθ=12.又θ∈故選：C.【變式3.1】（2425高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=AB=AA1A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解題思路】由線面垂直推導(dǎo)出線線垂直，再利用向量運(yùn)算及夾角公式運(yùn)算求解.【解答過程】∵A1A⊥平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面∴A1∵AC=AB=2，BC=2，∴A又BC=2AE=2，∴E為BC的中點(diǎn)，∴AE=∵AC=AA1=∵AE∴cosAE,A又0°≤AE故選：C.【變式3.2】（2425高二上·湖南·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=3,∠ABC=∠BAP=π3，且cos∠PAD=16A．?277 B．277 【答案】D【解題思路】利用基底AB、AD、AP表示出向量PC，然后求出PC的模，余弦定理求出PB【解答過程】如圖連接AC,則PC∴|由題可知|AB|=2,|PA|=3,∠∴|2AB2AB2AD∴|PC在△ABP中,PB∴PB=7在△PBC中,cos∠故選：D.【變式3.3】（2025高二·全國·專題練習(xí)）已知空間向量a,b滿足|aA．π3 B．π4 C．2π【答案】D【解題思路】由a⊥(a+2【解答過程】由向量|a因?yàn)閍⊥(a+2b)所以cos?又因?yàn)閍,b∈故選：D.【題型4利用空間向量的數(shù)量積求模】【例4】（2425高二上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知空間單位向量a，b，c兩兩垂直，則a+b+cA．3 B．6 C．3 D．6【答案】A【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，可求得a+【解答過程】由題意，a=b=c=1，aa=1∴a故選：A.【變式4.1】（2425高二上·云南·期中）已知空間單位向量a，b，c兩兩垂直，則a?b+A．1 B．6 C．3 D．3【答案】D【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，可求得a?【解答過程】由題意，a=b=c=1，aa=1∴a故選：D.【變式4.2】（2425高二上·江蘇南通·期末）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長均為A．6 B．2 C．3 D．2【答案】D【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得A1【解答過程】由已知：平行六面體ABCD?A1B∠A1AB=∠又因?yàn)椋篈A同理可得：AA則A=1+1+1?2×12?2×故選：D.【變式4.3】（2425高二上·河北邯鄲·期末）如圖，已知三棱錐O?ABC的側(cè)棱OA=OB=2，OC=4，且OA,OB,OC兩兩所成的角均為60°．若空間中的點(diǎn)D，E滿足OA?OD?A．23+1 B．4+3 C．2+【答案】A【解題思路】先利用余弦定理求出AB,AC,BC，再對(duì)已知式子化簡可得DA⊥DB，AE⊥CE，從而可得點(diǎn)D，【解答過程】因?yàn)镺A=OB=2，OC=4，且OA,所以AB=AC=由OA?OD?所以DA⊥由OE2?OA所以AE?CE=0因此點(diǎn)D，E分別在以AB，AC為直徑的球面上，兩個(gè)球的半徑分別為r1=1，設(shè)點(diǎn)O1，O2分別是AB，AC的中點(diǎn)，則所以DE的最大值為O1故選：A．【題型5向量垂直的應(yīng)用】【例5】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的對(duì)角線BD1A．2 B．1 C．12 D．【答案】D【解題思路】用DA,DC,DD【解答過程】由題設(shè)有D1故D1而PA=λ同理，PC=因?yàn)椤螦PC為直角，故PC?故λ?12?2λ1?λ故λ=1（舍）或λ=1故選：D.【變式5.1】（2425高二上·山東濰坊·期中）A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定【答案】C【解題思路】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得AM?【解答過程】因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以AM=可得AM?所以AM⊥AD，即可得△AMD是直角三角形.故選：C.【變式5.2】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐A?BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB=DC=DA=2，E為BC的中點(diǎn).(1)證明：AE⊥BC；（用向量方法證明）(2)求直線AE與DC所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)6【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算易得AE=12（2）利用空間向量的數(shù)量積的定義求解即可.【解答過程】（1）證明：由題意，因?yàn)锳E=DE?所以AE?BC=12所以AE⊥BC，即（2）由（1）知，AE=所以AE?DC=又|AE所以cos?即直線AE與DC所成角的余弦值為66【變式5.3】（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長是(1)求CD(2)判斷AO與CD【答案】(1)a(2)垂直【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接計(jì)算即可；（2）計(jì)算AO與CD【解答過程】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意，AB?AO?CD故AO與CD【題型6向量數(shù)量積的應(yīng)用】【例6】（2425高二上·湖北·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1(1)求BD(2)求直線BD1和直線【答案】(1)2(2)0【解題思路】（1）設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，將BD（2）計(jì)算得出CB1=c?【解答過程】（1）設(shè)AB=a，AD=由題意可知，a=b=由空間向量數(shù)量積的定義可得a?BD則BD故BD（2）CB則CBBD1?故直線BD1和直線CB【變式6.1】（2526高二上·全國·課堂例題）在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，AB=4，(1)求AA(2)求證：AA(3)求A′【答案】(1)10(2)證明見解析(3)A【解題思路】（1）由向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)量積為0證明垂直；（3）由A′【解答過程】（1）AA（2）因?yàn)锳A所以AA（3）因?yàn)锳′所以A=16+16+25+0?2×4×5×1所以A′【變式6.2】（2425高二上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，若AB=AC=3，AP=4，∠BAC=∠PAC=∠BAP=60°，點(diǎn)D為棱BC上一點(diǎn)，且(1)求PM的長度；(2)求異面直線PM與AC所成角的余弦值．【答案】(1)47(2)2【解題思路】（1）根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用AP，AB，AC表示PM，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運(yùn)算律求解即可.【解答過程】（1）因?yàn)镸為線段AD的中點(diǎn)，CD=2BD，所以AM=12所以PM==?AP又因?yàn)锳P?AB=所以PM=（2）由（1）得PM=?=?4×3×1所以cosPM則異面直線PM與AC所成角的余弦值為247【變式6.3】（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長是(1)求CD(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷AO與CD【答案】(1)a(2)?(3)垂直【解題思路】（1）利用數(shù)量積的公式可得；（2）先用AB,AD,AA1表示AO，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得AO?（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得AO?CD1=0【解答過程】（1）正方體ABCD?A1B故CD（2）由題意知，AB?AO=AO=故AO?故cosAO（3）由題意，AB?AO=1故AO與CD【題型7求空間向量數(shù)量積的最值（范圍）】【例7】（2425高二上·海南·期中）已知a,b,c是空間中的三個(gè)單位向量，若a?bA．78 B．58 C．12【答案】D【解題思路】根據(jù)題意可求得a?【解答過程】因?yàn)閍?b2a?又a?故當(dāng)cosa?b,c=1，即c與所以a?故選：D.【變式7.1】（2425高二上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EF是正方體ABCD?AA．?92,0C．0,92 【答案】C【解題思路】設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球的球心為O，球O的半徑為R，分析可得PE?【解答過程】設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D則2R=33，可得R=33又PE=PO當(dāng)P為正方體某個(gè)面的中心時(shí)，PO取最小值32當(dāng)P與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，PO取最大值33則32≤PO≤3所以，EP?

故選：C.【變式7.2】（2425高二上·河北保定·開學(xué)考試）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，P是空間內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A．1?3?2C．?4?26 D．【答案】C【解題思路】取BD1的中點(diǎn)M，連接PM，取AB的中點(diǎn)N，連接PN，則由已知條件可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為正方體ABCD?A【解答過程】取BD1的中點(diǎn)M，連接則PB+PD1=2故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以M為球心，3為半徑的球.由正方體ABCD?A1B即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為正方體ABCD?A取AB的中點(diǎn)N，連接PN，則AP=NA由題可知，MN=2，則3?則?4?26所以AP?PB的最小值為故選：C.【變式7.3】（2425高二上·河北保定·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括表面），若A．[?1,1] B．14,1 C．[1,2] 【答案】D【解題思路】由題意得點(diǎn)P在三棱柱ACD?A1C1D1內(nèi)，設(shè)O為【解答過程】滿足0≤x≤y≤1的點(diǎn)P在三棱柱ACD?A如圖，設(shè)O為BB1的中點(diǎn)，連接AC1,因?yàn)锽1D1⊥A1C1，所以B1D1⊥平面A1C1CA，又OD1=所以PB?因?yàn)镻O∈22,3故選：D.模塊二模塊二向量的投影1．向量a的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型8投影向量的求解】【例8】（2425高一下·山西大同·期末）已知向量a,b,c滿足a=4，b=c=5，且aA．?925c B．?95c【答案】C【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可求得a?【解答過程】∵a+b+c∴a+c∴a?c=?8，故選：C.【變式8.1】（2425高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，則BD在AC上的投影向量為（

）A．12AC B．14AC C．【答案】B【解題思路】在四面體中，用向量加法法則表示AC，再結(jié)合投影向量的計(jì)算方法求解.【解答過程】在四面體中，因?yàn)椤螦BD=∠BDC=90°,AC=2BD，設(shè)AC=2,BD=1，且AB?BD=則AC?BD在AC上的投影向量為BD?故選：B.【變式8.2】（2425高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在八面體ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底面ABC，且AE=BE=AF=CF，則下列向量中與向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是（

）A．12AB B．12AC C．【答案】C【解題思路】取P,Q分別為AC,AB的中點(diǎn)，連接FP,EQ,PQ，結(jié)合題意，由面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合共線向量的定義即可求解.【解答過程】取P,Q分別為AC,AB的中點(diǎn)，連接FP,EQ,PQ，因?yàn)锳E=BE=AF=CF，所以EQ⊥AB,FP⊥AC，因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC=AB,EQ?平面ABE，所以EQ⊥平面ABC，同理可得FP⊥平面ABC，所以向量EF在平面ABC上的投影向量為QP，且QP=故選：C.【變式8.3】（2425高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2π3，則空間向量A．2 B．?2 C．?12 【答案】A【解題思路】由空間向量a在向量e方向上的投影數(shù)量為a?【解答過程】由題意，a=4，e=1，則空間向量a在向量e方向上的投影數(shù)量為a?所以所求投影向量的模長為2.故選：A.一、單選題1．（2425高二上·安徽安慶·階段練習(xí)）給出下列四個(gè)命題，其中正確的有（

）（1）若空間向量a，b，c，滿足a//b，b//（2）空間任意兩個(gè)單位向量必相等；（3）對(duì)于非零向量c，由a?c=（4）在向量的數(shù)量積運(yùn)算中aA．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的相關(guān)性質(zhì)以及運(yùn)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】對(duì)于（1），當(dāng)b=0時(shí)，a與對(duì)于（2），空間任意兩個(gè)單位向量的模長相等，方向不一定相同，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），取a=0,0,0,且c≠0，但是對(duì)于（4），因?yàn)閍?b與b?c都是常數(shù)，所以若a與c方向不同，則a?b?故選：A.2．（2425高一上·重慶·期末）已知空間向量a+b+c=0，且A．12 B．14 C．32【答案】B【解題思路】根據(jù)模長公式即可代入求解.【解答過程】由a+b+故?b=a故選：B.3．（2425高二上·安徽蚌埠·期末）如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，則向量PC在BC上的投影向量為（

）A．?23BC B．23BC 【答案】D【解題思路】根據(jù)線面垂直以及已知角度求出PC?【解答過程】∵PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，PC?向量PC在BC上的投影向量為PC?故選：D.4．（2425高二上·湖南株洲·期末）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AAA．3 B．2 C．5 D．6【答案】A【解題思路】根據(jù)空間向量法求AC【解答過程】在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D則AE=AA1cosA=1+故選：A.5．（2526高二上·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π6，則cosOAA．12 B．22 C．?【答案】D【解題思路】利用OB=OC，以及兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義可得cosOA【解答過程】由題意OA=OA又OB=OC，即OB=OC，得所以cosOA故選：D．6．（2425高二上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AB?AC=0,AC?A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解題思路】利用余弦定理證明△BCD的內(nèi)角都為銳角即可.【解答過程】設(shè)|AB|=a,|AC|=b,|AD|=c,(a>0,b>0,c>0)，因?yàn)锳B?所以AB⊥AC,AC⊥AD,AB⊥AD，因此|BC|=從而cos∠BCD=coscos即△BCD的三個(gè)內(nèi)角都為銳角，因此△BCD是銳角三角形，故選：B.7．（2526高二上·全國·單元測(cè)試）正多面體又稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知正四面體A?BCD的棱BC的中點(diǎn)為E，且2PE=AB=2（點(diǎn)P為空間中一動(dòng)點(diǎn)），則A．22?2 B．22+2 C．【答案】B【解題思路】取AD的中點(diǎn)F，則PA?PD=【解答過程】取AD的中點(diǎn)F，由題意則PE=1所以PA?又因?yàn)镻F=PE+EF，所以PF=PE+因?yàn)檎拿骟wA?BCD的棱長為2，所以在△ADE中，EA=3，ED=3，所以EF=2，即EF所以2?1≤PF≤1+又FA=1，所以2?22≤所以PA?PD的最大值為故選：B.8．（2526高二上·全國·單元測(cè)試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1A．MN=13C．AB1⊥【答案】D【解題思路】對(duì)于A，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則利用基底a，b，c表示MN即可判斷，對(duì)于B，由MN=13a+13b+13c，結(jié)合模的性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算律求MN，即可判斷，對(duì)于C，由基底a，b，【解答過程】對(duì)于A，MN=MA對(duì)于B，由題可知a=b=c=1所以MN2=所以MN=對(duì)于C，因?yàn)锳B1=所以AB1?對(duì)于D，由選項(xiàng)C的解析可得，AB1=a+所以ABBC所以cosAB1故選：D.二、多選題9．（2526高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）已知空間向量a,b,A．a(chǎn)B．若a?bC．a(chǎn)D．若向量a,b【答案】AD【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積和空間向量共線逐一判斷，即可得出結(jié)果．【解答過程】選項(xiàng)A，因?yàn)閍·選項(xiàng)B，當(dāng)a=0時(shí)，a·選項(xiàng)C，a·b·c=mcm∈R，b·選項(xiàng)D，由于向量a,b同向共線，所以cosa故選：AD．10．（2526高二上·全國·單元測(cè)試）已知空間單位向量PA，PB，PC兩兩之間的夾角均為60°，PA=2PE，BC=2A．PA?PB=C．EF=22【答案】ABC【解題思路】對(duì)于A，由數(shù)量積定義可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B，由題可得PA?BC+AC=【解答過程】對(duì)于A，由題：PA?對(duì)于B，PA=2PA對(duì)于C，由PA=2PE，得12PA?PF=PC則EF=PC==1對(duì)于D，AF=PF?PA=PC+故選：ABC.11．（2025·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）已知空間單位向量PA，PB，PC兩兩夾角均為60°，PA=2PE，BCA．P、A、B、C四點(diǎn)可以共面B．PAC．EFD．cos【答案】BC【解題思路】根據(jù)向量共面即可判斷點(diǎn)共面，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解B，根據(jù)模長的計(jì)算公式即可判斷C，根據(jù)夾角公式即可求解D.【解答過程】由于單位向量PA，PB，PC兩兩夾角均為60°所以PA?假設(shè)P、A、B、C四點(diǎn)可以共面，則PA,所以存在x,y，使得PA=xPB+yPC，分別用PA，PB，則1=12x+12故P、A、B、C四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，PA?BC+對(duì)于C，由PA=2PE得由BC=2BF得所以EF=則EF==1對(duì)于D，AF=∴AF故cosAF,故選：BC.三、填空題12．（2425高二上·湖南常德·階段練習(xí)）已知空間向量a，b，c兩兩夾角均為60°，其模均為1，則|a+【答案】3【解題思路】根據(jù)已知，應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長.【解答過程】a==1+1+4+2×1×1×故答案為：3.13．（2425高二上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的所有棱長均為2，AB,AD,AA1兩兩所成夾角均為60°，點(diǎn)E,F分別在棱【答案】?【解題思路】設(shè)AB=a,AD=b,【解答過程】由平行六面體ABCD?A1B1C設(shè)AB=a,AD=如圖所示，連接AE,AF,AC，由BE=2B1E可得EF=AC所以AC?EF=(故答案為：?414．（2425高二上·湖北荊門·期中）已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長都相等，E,F分別為AB,OC的中點(diǎn)，則向量OE與BF夾角的余弦值為.【答案】?【解題思路】根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用OA,OB,OC表示【解答過程】如圖，設(shè)OA=a→，OB=b由題意易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=π3，則因?yàn)?/p>