黑龍江省哈爾濱市道外區(qū)青衿協(xié)作體2025-2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．2．下列運(yùn)算中，正確的是（）A． B． C． D．3．如圖：若，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．54．點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．中，，的外角為，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，已知PE=3，則點(diǎn)P到AB的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．67．某市要在河流上修建一個(gè)水站，向居民區(qū)提供自來水，要使點(diǎn)到的距離之和最短，則下列確定點(diǎn)位置的作法正確的是（

）A．

B．

C．

D．

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于點(diǎn)D，AD=4，則BC的長(zhǎng)為（）A．8 B．4 C．12 D．69．下列說法正確的有（）①到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，②關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分，③等腰三角形腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半，④等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題10．計(jì)算：．11．計(jì)算：．12．如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則的度數(shù)是．13．如圖，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)恰好落在如圖的位置，交于，，則的長(zhǎng)為．14．計(jì)算：．15．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，是的垂直平分線，的周長(zhǎng)為19，的周長(zhǎng)為12，則線段的長(zhǎng)為．16．定義一種新運(yùn)算：，例如：，則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是．17．在中，，為邊上的高．，則線段的長(zhǎng)為．18．如圖，在中，，，，的面積為，則三、解答題19．計(jì)算：(1)(2)(3)(4)20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．21．如圖．三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別為．，(1)畫出向下平移5個(gè)單位的；（A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、）；(2)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的三角形是；（A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為）：(3)直接寫出的面積___________．22．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度數(shù)．

23．如圖，點(diǎn)D，E在的邊上，，，求證：．24．在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在上.連接，.（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若，直接寫出圖中所有等腰三角形.25．我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖所示的圖表是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問題：(1)圖中括號(hào)內(nèi)的數(shù)為___________；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式：___________．(3)的展開式共有___________項(xiàng)，第99項(xiàng)的系數(shù)為___________．26．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC上，CE＝BD，連接CD，BE，BE與CD相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若△ACD為等邊三角形，且CE＝DF，求∠CEF的度數(shù)；（2）如圖2，若AC＝AD，求證：EF＝FB；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠CFE＝45°，△BCD的面積為4，求線段CD的長(zhǎng)．27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，線段OC的垂直平分線分別交OC，BC于點(diǎn)D，E．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為線段ED的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接PC，PA，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△ACP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F為線段BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接OF，若OF＝CP，求∠OFP的度數(shù)．參考答案1．B解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B．是軸對(duì)稱圖形，故符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：B．2．D解：A：，故該選項(xiàng)不合題意；B：，故該選項(xiàng)不合題意；C：，故該選項(xiàng)不合題意；D：，故該選項(xiàng)符合題意．故選：D．3．C解：∵，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故選：C．4．B解：點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，其橫坐標(biāo)1保持不變，縱坐標(biāo)2變?yōu)?，因此?duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選B．5．B解：∵中，，的外角為，∴底角．故選：B．6．A解：∵角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，PE=3，PE⊥AC，∴點(diǎn)P到AB的距離是3，故選：A7．B解：根據(jù)題意，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，即點(diǎn)的位置即為所求水站的位置，故選：．8．C解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵AB⊥AD，∴BD=2AD=2×4=8，∠B+∠ADB=90°，∴∠ADB=60°，∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=4∴BC=BD+DC=8+4=12，故選：C．9．C解：①到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)（外心），正確；②軸對(duì)稱圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分，正確；③等腰三角形腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半（設(shè)頂角α，底角β，，夾角為），正確；④等腰三角形只有底邊上的高、中線、角平分線互相重合，腰上的不一定重合，錯(cuò)誤．∴正確的有①②③，共3個(gè)．故選：C．10．解：原式．故答案為：．11．解：根據(jù)積的乘方法則，，以及冪的乘方法則，，可得．故答案為．12．/66度解：∵兩個(gè)全等三角形，∴；故答案為：．13．7解：由題意可知：，，∵，∴，∴，又∵，∴，故答案為：7．14．解：故答案為：．15．7解：∵是的垂直平分線，∴，∵的周長(zhǎng)為19，的周長(zhǎng)為12，∴，，∴．故答案為：7．16．解：∵，∴；故答案為：．17．2或6解：在中，，∴．當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，．故答案為：2或6．18．7解：如圖所示，由題意可知，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，又，∴，∵的面積為，∴，解得：，∴．故答案為：7．19．(1)(2)(3)(4)（1）解：原式===（2）解：原式===（3）解：原式===（4）解：原式====20．解：，，，把，代入原式．21．(1)見解析；(2)見解析；(3)（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：如圖所示；，故答案為：．22．∠A=36°，∠ABC=∠C=72°解：設(shè)∠A=x，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，∴在△ABC中，x+2x+2x=180°，∴x=36°，2x=72°，即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．23．見解析；解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),∵，∴,又∵，∴,同理得：,∴,∴24．（1）見解析

（2）、、、（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE；（2）∵∠BEC=2∠BAC，BE=CE，∴∠BED=2∠BAE，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE，∴AE=BE=EC等腰三角形有：△ABE，△AEC，△ABC，△BEC．25．(1)6，(2)(3)101；4950（1）解：由所給的楊輝三角發(fā)現(xiàn)，括號(hào)里的數(shù)應(yīng)該是其肩上的兩個(gè)數(shù)之和，∴括號(hào)里的數(shù)為，故答案為：6；（2）解：由題中可知展開共有2項(xiàng)，系數(shù)依次為1，1；展開共有3項(xiàng)，系數(shù)為依次1，2，1；展開共有4項(xiàng)，系數(shù)依次為1，3，3，1，展開共有5項(xiàng)，系數(shù)依次為1，4，6，4，1，展開共有6項(xiàng)，系數(shù)依次為1，5，10，10，5，1，∴的展開式為，故答案為：；（3）解：由（2）中規(guī)律可知展開式共有101項(xiàng)，由（2）中規(guī)律可發(fā)現(xiàn)倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)從次數(shù)為2開始依次為：1，3，6，10，15，21，28，…，，∴展開式中，第99項(xiàng)的系數(shù)為；故答案為：101；4950．26．（1）90°；（2）證明見解析；（3）4.（1）∵CE＝BD，CE＝DF，∴BD＝DF，∴∠DFB＝∠B，∵△ACD為等邊三角形，∴∠ADC＝∠C＝60°，∴∠DFB＝∠B＝30°，∴∠CEF＝90°；（2）證明：作BG∥AC交CD的延長(zhǎng)線于G，∴∠C＝∠G，∵AC＝AD，∴∠C＝∠ADC，∴∠BDG＝∠G，∴BD＝BG，∵CE＝BD，∴BD＝CE，∵BG∥AC，在△CFE和△GFB中，，∴△CFE≌△GFB，∴EF＝FB；（3）解：作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，設(shè)EP＝x，GH＝a，∵∠CFE＝45°，∴FP＝EP＝x，∵△CFE≌△GFB，∴BH＝EP＝x，則FH＝BH＝x，∵BD＝BG，BH⊥CD，∴DH＝GH＝a，∴CF＝FG＝x+a，DF＝x﹣a，∴CD＝CF+DF＝2x，由題意得，×CD×BH＝4，即×2x×x＝4，解得，x＝2，則CD＝2x＝4．27．（1）C（0，3）；（2）S＝2t；（3）60°.（1）∵∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠ABO＝90°，∵∠CBO+∠ACB＝90°，∴∠ABO＝∠ACB，∴∠ACB＝30°，∴∠ABO＝30°，在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，∴AB＝2OA，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∵A（0，﹣1），∴OA＝1，∴AB＝2，AC＝4，∴OC＝AC﹣OA＝4﹣1＝3，∴C（0，3）；（2）∵DE所在直線為線段OC的垂直平分線，∴PD⊥OC，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴PD＝t，∵AC＝4，∴S△ACP＝＝2t，即S＝2t；（3）如圖3，過點(diǎn)O