2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：21，總分：1001.（填空題，3分）不等式（a2+1）x＜3的解為_(kāi)__．2.（填空題，3分）用描述法表示所有十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)___．3.（填空題，3分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy=20，則x+4y的最小值為_(kāi)__．4.（填空題，3分）給定正實(shí)數(shù)a，b，化簡(jiǎn)代數(shù)式?（）-1=___．5.（填空題，3分）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足log2a=log5b=，則lg（）=___．6.（填空題，3分）設(shè)集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m-1}．若A∩B=A．則m的取值范圍是___．7.（填空題，3分）已知集合A={（x，y）x2+y2=50，x，y是自然數(shù)}，則A的真子集共有___個(gè)．8.（填空題，3分）設(shè)集合A=N，B={x|＞0，x∈R}，則A∩?RB=___．9.（填空題，3分）若不等式ax2+bx-7＜0的解集為（-∞，2）∪（7，+∞），則不等式-7x2+bx+a＞0的解集為_(kāi)__．10.（填空題，3分）設(shè)x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）=0，則log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）=___．11.（填空題，3分）已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為_(kāi)__．12.（填空題，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有___個(gè)數(shù)在十進(jìn)制下的最高位為1．13.（單選題，4分）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若a＞b，則a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，則＞C.若＞b，則a＞b2D.若a＞b＞0，則a2＞ab＞b214.（單選題，4分）已知實(shí)數(shù)a，b，則“＞0”是“|a|＞|b|”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要15.（單選題，4分）設(shè)a=log35，b=log57，則=（）A.B.C.D.16.（單選題，4分）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，則a2+b2+c2的最大值為（）A.3B.9C.18D.2717.（問(wèn)答題，6分）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．18.（問(wèn)答題，8分）解下列不等式：

（1）x2-5x+7＜|2x-5|；

（2）+2x＜5．19.（問(wèn)答題，10分）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy+2x+y=4，

（1）求xy的最大值，并求取得最大值時(shí)x，y的值；

（2）求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x，y的值．20.（問(wèn)答題，10分）某廠家在“雙11”中擬舉辦促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠家的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿(mǎn)足關(guān)系式x=3-（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)；則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量是1萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定年投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的售價(jià)定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本只包括固定投入和再投入兩部分資金）．

（1）求k的值，并將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m（萬(wàn)元）的函數(shù)；

（2）該廠家年利潤(rùn)的最大值為多少萬(wàn)元？為此需要投入多少萬(wàn)元的年促銷(xiāo)費(fèi)用？21.（問(wèn)答題，14分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，d不全為0，給定函數(shù)f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．記方程f（x）=0的解集為A，方程g（f（x））=0的解集為B，若滿(mǎn)足A=B≠?，則稱(chēng)f（x），g（x）為一對(duì)“太極函數(shù)”．問(wèn)：

（1）當(dāng)a=c=d=1，b=0時(shí)，驗(yàn)證f（x），g（x）是否為一對(duì)“太極函數(shù)”；

（2）若f（x），g（x）為一對(duì)，“太極函數(shù)”，求d的值；

（3）已知f（x），g（x）為一對(duì)“太極函數(shù)”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范圍（用含有m的代數(shù)式表示）．

2021-2022學(xué)年上海中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：1001.（填空題，3分）不等式（a2+1）x＜3的解為_(kāi)__．【正確答案】：[1]（-∞，）【解析】：根據(jù)a2+1＞0，結(jié)合不等式性質(zhì)即可求解．

【解答】：解：因?yàn)閍2+1＞0，

所以該不等式解為x＜，

故答案為：（-∞，）．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．2.（填空題，3分）用描述法表示所有十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)___．【正確答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}【解析】：十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)為10n-1，（n∈N*），用描述法寫(xiě)入集合即可．

【解答】：解：十進(jìn)制下個(gè)位為9的正整數(shù)為10n-1，（n∈N*），

用描述法表示為{x|x=10n-1，（n∈N*）}，

故答案為：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了進(jìn)位制以及集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題．3.（填空題，3分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy=20，則x+4y的最小值為_(kāi)__．【正確答案】：[1]8【解析】：由基本不等式，即可得解．

【解答】：解：因?yàn)閤＞0，y＞0，

所以x+4y≥2=2=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y，即x=4，y=時(shí)，等號(hào)成立，

所以x+4y的最小值為8．

故答案為：8．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.（填空題，3分）給定正實(shí)數(shù)a，b，化簡(jiǎn)代數(shù)式?（）-1=___．【正確答案】：[1]【解析】：由=，=?，）-1=代入化簡(jiǎn)即可．

【解答】：解：?（）-1

=??

=?=，

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題．5.（填空題，3分）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足log2a=log5b=，則lg（）=___．【正確答案】：[1]2【解析】：先把已知的對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，求出a，b的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．

【解答】：解：∵log2a=log5b=，

∴a=2，b=，

∴（ab）=（2）=102，

∴l(xiāng)g（）=lg102=2，

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．6.（填空題，3分）設(shè)集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m-1}．若A∩B=A．則m的取值范圍是___．【正確答案】：[1][4，+∞）【解析】：推導(dǎo)出A?B，列出方程組，能求出m的取值范圍．

【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m-1}，A∩B=A，

∴A?B，

∴，

解得m≥4．

∴m的取值范圍是[4，+∞）．

故答案為：[4，+∞）．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7.（填空題，3分）已知集合A={（x，y）x2+y2=50，x，y是自然數(shù)}，則A的真子集共有___個(gè)．【正確答案】：[1]7【解析】：采用列舉法，列舉出A中的元素，再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)．

【解答】：解：∵A={（x，y）|x2+y2=50，x，y是自然數(shù)}．

∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3個(gè)元素．

∴A的真子集有23-1=7個(gè)．

故答案為：7．

【點(diǎn)評(píng)】：用列舉法寫(xiě)出A的所有元素是解答本題的關(guān)鍵．屬于易做題．8.（填空題，3分）設(shè)集合A=N，B={x|＞0，x∈R}，則A∩?RB=___．【正確答案】：[1]{0，1，2，3}【解析】：先解一元二次不等式求出集合B，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解．

【解答】：解：∵B={x|＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x＞3或x＜-2}，

∴?RB={x|-2≤x≤3}，

∵A=N，

∴A∩（?RB）={0，1，2，3}，

故答案為：{0，1，2，3}．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查集合的基本運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．9.（填空題，3分）若不等式ax2+bx-7＜0的解集為（-∞，2）∪（7，+∞），則不等式-7x2+bx+a＞0的解集為_(kāi)__．【正確答案】：[1]（，）【解析】：設(shè)y=ax2+bx-7，ax2+bx-7＜0的解集為（-∞，2）∪（7，+∞），得到開(kāi)口向下，2和7為函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出a與b的關(guān)系，化簡(jiǎn)不等式-7x2+bx+a＞0即可求得答案．

【解答】：解：因?yàn)椴坏仁絘x2+bx-7＜0的解集為（-∞，2）∪（7，+∞），

所以，解得，

則不等式-7x2+bx+a＞0即為14x2-9x+1＜0，

解得，

故-7x2+bx+a＞0的解集為（，）．

故答案為：（，）．

【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了一元二次不等式的解法，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.（填空題，3分）設(shè)x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）=0，則log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）=___．【正確答案】：[1]-【解析】：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．

【解答】：解：∵log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）=0，

∴++log2（log2x）=0，

∴=0，

∴??=1，

∴=4，

∵log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）====-，

故答案為：-．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．11.（填空題，3分）已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為_(kāi)__．【正確答案】：[1]【解析】：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，利用a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，即可求出的最大值．

【解答】：解：a、b、c均為正實(shí)數(shù)，則a2+b2≥ab，b2+c2≥bc，

∴=≤=，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=b時(shí)，等號(hào)成立，

∴的最大值為．

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．12.（填空題，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有___個(gè)數(shù)在十進(jìn)制下的最高位為1．【正確答案】：[1]1859【解析】：由2m的最高位為1，得到2mx（210）n的最高位也為1，構(gòu)成以指數(shù)冪為10的周期性，得到前三個(gè)數(shù)最高位數(shù)字為l的數(shù)為20，24，27，結(jié)合周期性，即可求解．

【解答】：解：若2m的最高位為1，由210=1024，其中210的最高位為1，可得2m×（210）n的最高位也為1，所以構(gòu)成以指數(shù)冪為10的周期性，

其中前三個(gè)數(shù)最高位數(shù)字為1的數(shù)為20，24，27，

即每個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)最高位為1的數(shù)字，

又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位為1，

所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位為1的共有619×3+2=1859個(gè)．

故答案為：1859．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了進(jìn)位制，周期性，屬于中檔題．13.（單選題，4分）設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若a＞b，則a2＞b2B.若a＞b＞0，c＞d＞0，則＞C.若＞b，則a＞b2D.若a＞b＞0，則a2＞ab＞b2【正確答案】：D【解析】：根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法和作差法，即可求解．

【解答】：解：對(duì)于A，令a=1，b=-1，滿(mǎn)足a＞b，但a2=b2，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，滿(mǎn)足a＞b＞0，c＞d＞0，但，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，令a=1，b=-1，滿(mǎn)足＞b，但a=b2，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D，∵a＞b＞0，

∴a-b＞0，a2＞b2，

∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，

∴a2＞ab＞b2，故D正確．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了作差法，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題．14.（單選題，4分）已知實(shí)數(shù)a，b，則“＞0”是“|a|＞|b|”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正確答案】：C【解析】：由分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，結(jié)合平方差公式和絕對(duì)值不等式，由充分必要條件的定義可得結(jié)論．

【解答】：解：已知實(shí)數(shù)a，b，不等式＞0等價(jià)為（a+b）（a-b）＞0，

即為a2-b2＞0，即a2＞b2，即為|a|＞|b|，

所以“＞0”是“|a|＞|b|”的充要條件．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查不等式的性質(zhì)和充分必要條件的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于基礎(chǔ)題．15.（單選題，4分）設(shè)a=log35，b=log57，則=（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解．

【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，

∴=log1549-log1545

=2log157-log155-2log153

=--

=--

=--

=--

=，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．16.（單選題，4分）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，則a2+b2+c2的最大值為（）A.3B.9C.18D.27【正確答案】：C【解析】：利用絕對(duì)值的性質(zhì)可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a，b，c=±3，不合題意，再取a=3，b=-3，c=0，符合題意，即可得解．

【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c）-a-b+c|=2|c|，

∴|c|≤3，

同理可得|a|≤3，|b|≤3，

若a，b，c=±3，顯然不可能；

若a=3，b=-3，c=0，此時(shí)符合題意，則a2+b2+c2=18．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查代數(shù)式最值的求解，考查絕對(duì)值的性質(zhì)及意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17.（問(wèn)答題，6分）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．【正確答案】：

【解析】：由集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此時(shí)，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能夠求出x，y的值．

【解答】：解：由集合{x，xy，lg（xy）}與集合{0，|x|，y}相等知，lg（xy）=0，

即xy=1，

此時(shí)，{0，1，x}={0，|x|，y}．

所以或，

解得x=y=1或x=y=-1．

當(dāng)x=y=1時(shí)，A=B={0，1，1}，與集合元素互異性矛盾，應(yīng)舍去；

當(dāng)x=y=-1時(shí)，A=B={-1，0，1}，

故x=y=-1．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查集合相等的概念，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意集合中元素互異性的合理運(yùn)用．18.（問(wèn)答題，8分）解下列不等式：

（1）x2-5x+7＜|2x-5|；

（2）+2x＜5．【正確答案】：

【解析】：（1）結(jié)合不等式的特征，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性去掉絕對(duì)值符號(hào)求解不等式即可；

（2）將不等式進(jìn)行變形，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值可得不等式的解集．

【解答】：解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，

整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，

令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5

注意到函數(shù)f（x），g（x）均關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得當(dāng)時(shí)不等式的解集為1＜x＜2，

綜上可得，不等式的解集為（1，2）?（3，4）．

（2）不等式即，不等式有解時(shí)，x≥1，

注意到函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=-2x+5單調(diào)遞減，

且f（2）=g（2）=1，

結(jié)合函數(shù)的定義域可得不等式的解集為{x|1≤x＜2}．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．19.（問(wèn)答題，10分）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy+2x+y=4，

（1）求xy的最大值，并求取得最大值時(shí)x，y的值；

（2）求x+y的最小值，并求取得最小值時(shí)x，y的值．【正確答案】：

【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y，然后結(jié)合基本不等式即可求解；

（2）由已知先用y表示x，然后代入后結(jié)合基本不等式可求．

【解答】：解：（1）因?yàn)閤y+2x+y=4，

所以4-xy=2x+y，

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào)，

解得，

故xy的最大值8-4，此時(shí)x=，y=2-2；

（2）因?yàn)閤y+2x+y=4，

所以x==-1+，

所以x+y=-1++y=-3++y+2=-3+2，

當(dāng)且僅當(dāng)y+2=，即y=-2，x=-1時(shí)取等號(hào)，x+y的最小值-3+2．

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行合理的配湊基本不等式的應(yīng)用條件．20.（問(wèn)答題，10分）某廠家在“雙11”中擬舉辦促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠家的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿(mǎn)足關(guān)系式x=3-（k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)；則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量是1萬(wàn)件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定年投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的售價(jià)定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本只包括固定投入和再投入兩部分資金）．

（1）求k的值，并將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m（萬(wàn)元）的函數(shù)；

（2）該廠家年利潤(rùn)的最大值為多少萬(wàn)元？為此需要投入多少萬(wàn)元的年促銷(xiāo)費(fèi)用？【正確答案】：

【解析】：（1）當(dāng)m=0時(shí)，x=1，求出k的值，從而得到x，然后利用每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×元，列出y的函數(shù)關(guān)系式即可；

（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．

【解答】：解：（1）由題意可知，當(dāng)m=0時(shí)，x=1，

則1=3-k，解得k=2，

所以x=3-，

因?yàn)槊考a(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×元，

∴利潤(rùn)函數(shù)y=x[1.5×]-（8+16x+m）

=4+8x-m=4+8（3-）-m

=-[+（m+1）]+29（m≥0）．

（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)y=-[+（m+1）]+29（m≥0），

所以，當(dāng)m≥0時(shí)，+（m+1）≥2=8，

∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)=m+1，即m=3（萬(wàn)元）時(shí)，ymax=21（萬(wàn)元）．

所以，該廠家促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬(wàn)元．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立符合條件的函數(shù)