2025年高三數(shù)學(xué)高考MATLAB軟件應(yīng)用模擬試題一、選擇題（共6小題，每小題5分，共30分）1.函數(shù)圖像繪制與性質(zhì)分析已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3-2x^2+\sinx}{e^x+\sqrt{1+x^2}}$，使用MATLAB繪制該函數(shù)在區(qū)間$[-5,5]$上的圖像，觀察圖像后判斷下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在$x=0$處取得極大值B.函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間$[2,4]$上單調(diào)遞增D.函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)MATLAB操作提示：x=-5:0.01:5;f=(x.^3-2*x.^2+sin(x))./(exp(x)+sqrt(1+x.^2));plot(x,f);gridon;2.矩陣運(yùn)算與線性方程組某物流公司用矩陣$A=\begin{bmatrix}2&1&3\4&0&2\1&5&1\end{bmatrix}$表示三種貨物的運(yùn)輸成本（行：運(yùn)輸方式，列：貨物類型），矩陣$B=\begin{bmatrix}100\200\150\end{bmatrix}$表示三種貨物的運(yùn)輸量（單位：噸）。使用MATLAB計(jì)算總成本向量$C=A\timesB$，則$C$中第2個(gè)元素的值為（）A.800B.950C.1100D.1350MATLAB操作提示：A=[213;402;151];B=[100;200;150];C=A*B;3.數(shù)值積分與實(shí)際應(yīng)用某水庫(kù)的水位高度$h(t)$（單位：米）隨時(shí)間$t$（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為$h(t)=2\sin\left(\frac{\pit}{12}\right)+10$，其中$t\in[0,24]$。使用MATLAB計(jì)算該水庫(kù)在一天內(nèi)的平均水位高度（精確到0.01米），結(jié)果為（）A.9.85B.10.00C.10.23D.10.50MATLAB操作提示：h=@(t)2*sin(pi*t/12)+10;average_h=integral(h,0,24)/24;4.概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)可視化某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，用MATLAB生成的頻率分布直方圖如下（虛擬數(shù)據(jù)）：scores=normrnd(75,10,100,1);%生成均值75，標(biāo)準(zhǔn)差10的成績(jī)數(shù)據(jù)histogram(scores,8);%繪制8組直方圖若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率約為（）A.15%B.23%C.31%D.40%5.微分方程求解與物理模型物體在黏性介質(zhì)中做直線運(yùn)動(dòng)，其速度$v(t)$滿足微分方程$\frac{dv}{dt}=-0.5v+2$，初始條件$v(0)=0$。使用MATLAB求解$t=4$秒時(shí)的速度（精確到0.01m/s），結(jié)果為（）A.3.43B.3.86C.4.00D.4.25MATLAB操作提示：dvdt=@(t,v)-0.5*v+2;[t,v]=ode45(dvdt,[0,4],0);v_end=v(end);6.優(yōu)化問(wèn)題與線性規(guī)劃某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1噸甲需3噸A原料和2噸B原料，利潤(rùn)5萬(wàn)元；生產(chǎn)1噸乙需1噸A原料和4噸B原料，利潤(rùn)3萬(wàn)元。現(xiàn)有A原料12噸，B原料16噸，使用MATLAB求解最大利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為（）A.18B.20C.22D.24MATLAB操作提示：f=[-5;-3];%目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（最大化轉(zhuǎn)為最小化）A=[31;24];%約束條件系數(shù)矩陣b=[12;16];%約束條件常數(shù)項(xiàng)lb=[0;0];%變量非負(fù)約束[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb);max_profit=-fval;二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）7.數(shù)列求和與迭代運(yùn)算已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n+3}{a_n+1}$，使用MATLAB迭代計(jì)算前10項(xiàng)的和。MATLAB代碼片段：a=1;sum_a=a;forn=2:10a=(2*a+3)/(a+1);sum_a=sum_a+a;end則輸出sum_a的值為_(kāi)_______（精確到整數(shù)）。8.復(fù)數(shù)運(yùn)算與信號(hào)處理復(fù)數(shù)$z=3e^{i\pi/6}$（極坐標(biāo)形式），使用MATLAB計(jì)算$z^3+\overline{z}$（$\overline{z}$為共軛復(fù)數(shù)），結(jié)果的實(shí)部為_(kāi)_______。MATLAB操作提示：z=3*exp(1i*pi/6);result=z^3+conj(z);real_part=real(result);9.三維圖形繪制與空間幾何使用MATLAB繪制球面$x^2+y^2+z^2=9$與平面$z=1$的交線，該交線的形狀為_(kāi)_______，其周長(zhǎng)為_(kāi)_______（第一空2分，第二空3分）。MATLAB操作提示：[x,y,z]=sphere(50);x=3*x;y=3*y;z=3*z;%半徑為3的球面surf(x,y,z);holdon;plane_z=ones(size(x))*1;%平面z=1surf(x,y,plane_z,'FaceAlpha',0.5);10.數(shù)據(jù)擬合與回歸分析某城市2015-2024年的人口數(shù)量（單位：萬(wàn)人）如下表：|年份|2015|2016|2017|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------||人口|120|128|135|143|150|158|165|172|180|188|使用MATLAB進(jìn)行線性擬合$y=at+b$（$t$為年份-2014），則擬合系數(shù)$a=$________（精確到0.1），預(yù)測(cè)2025年人口為_(kāi)_______萬(wàn)人。MATLAB操作提示：t=1:10;%2015對(duì)應(yīng)t=1，2024對(duì)應(yīng)t=10y=[120,128,135,143,150,158,165,172,180,188];p=polyfit(t,y,1);%線性擬合（一次多項(xiàng)式）a=p(1);%斜率y_2025=polyval(p,11);%預(yù)測(cè)t=11（2025年）三、解答題（共5小題，共100分）11.函數(shù)極值與MATLAB符號(hào)運(yùn)算（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$，在$x=1$處取得極小值$-2$。（1）求$a$，$b$的值；（2）使用MATLAB符號(hào)運(yùn)算工具箱求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和極大值；（3）繪制函數(shù)在區(qū)間$[-2,4]$上的圖像，并標(biāo)記極值點(diǎn)。MATLAB符號(hào)運(yùn)算示例：symsxab;f=x^3-3*x^2+a*x+b;df=diff(f,x);%求導(dǎo)eq1=subs(df,x,1)==0;%x=1處導(dǎo)數(shù)為0eq2=subs(f,x,1)==-2;%x=1處函數(shù)值為-2[a,b]=solve(eq1,eq2);12.微分方程模型與傳染病預(yù)測(cè)（20分）某地區(qū)爆發(fā)流感，感染人數(shù)$N(t)$滿足Logistic模型：$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$，其中$r=0.5$（日增長(zhǎng)率），$K=10000$（環(huán)境容納量），初始感染人數(shù)$N(0)=100$。（1）使用MATLAB求解微分方程，繪制$t\in[0,30]$天的感染人數(shù)曲線；（2）計(jì)算感染人數(shù)達(dá)到5000人的時(shí)間（精確到0.1天）；（3）若采取隔離措施使$K$降至8000，重新計(jì)算（2）的結(jié)果，并分析$K$對(duì)疫情發(fā)展的影響。MATLAB求解微分方程示例：r=0.5;K=10000;dNdt=@(t,N)r*N*(1-N/K);[t,N]=ode45(dNdt,[0,30],100);plot(t,N);xlabel('天數(shù)');ylabel('感染人數(shù)');13.線性代數(shù)與密碼學(xué)應(yīng)用（20分）某密碼系統(tǒng)使用矩陣加密：明文向量$M=\begin{bmatrix}m_1\m_2\m_3\end{bmatrix}$經(jīng)加密矩陣$A$變換為密文$C=A\timesM$。已知加密矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2&3\0&1&4\5&6&0\end{bmatrix}$，密文$C=\begin{bmatrix}29\16\37\end{bmatrix}$。（1）使用MATLAB求矩陣$A$的逆矩陣$A^{-1}$；（2）解密明文向量$M=A^{-1}\timesC$；（3）若明文對(duì)應(yīng)字母表（$a=1,b=2,...,z=26$），寫(xiě)出密文對(duì)應(yīng)的單詞（提示：三個(gè)字母）。MATLAB求逆矩陣示例：A=[123;014;560];A_inv=inv(A);14.概率統(tǒng)計(jì)與機(jī)器學(xué)習(xí)（25分）某電商平臺(tái)收集到100名用戶的“每日在線時(shí)長(zhǎng)$x$（分鐘）”與“日均消費(fèi)額$y$（元）”數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：|$x$|20|30|40|50|60|...||-----|----|----|----|----|----|-----||$y$|50|80|100|130|150|...|（1）使用MATLAB繪制散點(diǎn)圖，判斷$x$與$y$的相關(guān)性（正/負(fù)/無(wú)）；（2）進(jìn)行線性回歸$y=ax+b$，求系數(shù)$a$、$b$及相關(guān)系數(shù)$R^2$；（3）預(yù)測(cè)在線時(shí)長(zhǎng)為120分鐘的用戶日均消費(fèi)額，并分析回歸模型的局限性。MATLAB回歸分析示例：x=[20,30,40,50,60,...];%完整數(shù)據(jù)需補(bǔ)充y=[50,80,100,130,150,...];scatter(x,y);model=fitlm(x,y);%線性回歸模型a=model.Coefficients.Estimate(2);b=model.Coefficients.Estimate(1);R2=model.Rsquared.Ordinary;15.最優(yōu)化問(wèn)題與工程設(shè)計(jì)（20分）某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為$V=1000,\text{m}^3$的無(wú)蓋圓柱形容器，成本由材料費(fèi)用和焊接費(fèi)用組成：材料費(fèi)用：側(cè)面$20,\text{元/m}^2$，底面$30,\text{元/m}^2$；焊接費(fèi)用：接縫總長(zhǎng)度（底面圓周+側(cè)面高）$\times5,\text{元/m}$。（1）設(shè)底面半徑為$r$，高為$h$，建立總成本$C(r)$的函數(shù)關(guān)系式（用$r$表示，$\pi$取3.14）；（2）使用MATLAB的fminbnd函數(shù)求最低成本及對(duì)應(yīng)的$r$、$h$；（3）若焊接費(fèi)用上漲至10元/m，重新計(jì)算最低成本，并分析成本對(duì)焊接費(fèi)用的敏感度。MATLAB優(yōu)化示例：V=1000;pi=3.14;C=@(r)30*pi*r^2+20*2*pi*r*(V/(pi*r^2))+5*(2*pi*r+V/(pi*r^2));[r_min,C_min]=fminbnd(C,0.1,10);%在(0.1,10)區(qū)間內(nèi)求最小值四、開(kāi)放性