《線性代數(shù)》復習提綱第一部分：基本規(guī)定（計算方面）

四階行列式的計算；

N階特殊行列式日勺計算（如有行和、列和相等）；

矩陣的運算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運算）；

求矩陣的秩、逆（兩種措施）；解矩陣方程；

含參數(shù)的線性方程組解的狀況日勺討論；

齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多睇）：

討論一種向量能否用和向量組線性表達；

討論或證明向量組口勺有關性；

求向量組的極大無關組，并將多出向量用極大無關組線性表達；

將無關組正交化、單位化；

求方陣的特性值和特性向量；

討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；

通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；

寫出二次型的矩陣，并將二次型原則化，寫出變換矩陣：

鑒定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。

第一部分：基本知識

一、行列式

1.行列式口勺定義

用n八2個元素aij構成日勺記號稱為n階行列式。

（1）它表達所有也許的取自不一樣行不一樣列的n個元素乘積的代數(shù)和：

（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；

2.行列式H勺計算

一階|CJ|二CJ行列式，二、三階行列式有對角線法則；

N階（n>=3）行列式的計算：降階法

定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）口勺各元素與其對應日勺代數(shù)余子式乘積的

和。

措施：選用比較簡樸的一行（列），保保留一種非零元素，其他元素化為0,運用定理

展開降階。

特殊狀況

上、下三角形行列式、為角形行列式日勺值等于主對角線上元素的乘積；

（2）行列式值為0的幾種狀況:

I行列式某行（列）元素全為0；

II行列式某行（列）的對應元素相似；

III行列式某行（列）的元素對應成比例；

IV奇數(shù)階的反對稱行列式。

二.矩陣

1.矩陣的基本概念（表達符號、某些特殊矩陣一一如單位矩陣、對角、對稱矩陣

等）；

2.矩陣I向運算

（1）加減、數(shù)乘、乘法運算的J條件、成果；

（2）有關乘法的幾種結(jié)論：

①矩陣乘法一般不滿足互換律（若AB=BA,稱A、B是可互換矩陣）；

②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；

③若A、B為同階方陣,M|AB|=|A|*|B|；

@|kA|=kAn|A|

3.矩陣的秩

（1）定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩：

（2）秩H勺求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論:

矩陣日勺初等變換不變化矩陣的秩；階梯形矩陣的J秩等于非零行日勺個數(shù)(每行日勺第?種非零

元所在列，從此元開始往下全為0日勺矩陣稱為行階梯陣)。

求秩：運用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。

4.逆矩陣

(1)定義：A、B為n階方陣，若AB=BA=L稱A可逆，B是A的逆矩陣(滿足半邊

也成立)；

AAAAA

(2)性質(zhì)：(AB)-1=(B-1)*(A-1),(A')-1=(A-1),;(AB的逆矩陣，你懂的)

(注意次序)

(3)可逆的條件：

①|(zhì)A|*0：②r(A)=n;③A->I;

(4)逆H勺求解

伴隨矩陣法AA-1=(1/|A|)A*：(A*A的伴隨矩陣~)

②初等變換法(A:I)?>(施行初等變換)(I:AA-1)

5.用逆矩陣求解矩陣方程：

AX=B,則X=(AA-1)B：

XB=A,MX=B(AA-1)；

AXB=C,則X=(AA-1)C(BA-1)

三、線性方程組

1.線性方程組解［向鑒定

定理：

(1)r(A,b)*r(A)無解;

有唯一解;

(2)r(Azb)=r(A)=n

有無窮多組解:

(3)r(Azb)=r(A)<n

尤其地：對齊次線性方程組AX=O

(1)r(A)=n只有零解；

(2)r(A)<n有非零解；

再尤其，若為方陣，

(1)|A|*O只有零解

(2)|A|=0有非零解

2.齊次線性方程組

(1)解日勺狀況:

r(A)=n,(或系數(shù)行列式D/0)只有零解；

r(A)<n,(或系數(shù)行列式D=0)有無窮多組非零解。

(2)解口勺構造：

X=clal+c2a2+...+Cn-ran-r<>

(3)求解的措施和環(huán)節(jié):

①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；

②寫出對應同解方程組；

③移項，運用自由未知數(shù)表達所有未知數(shù)；

④表達出基礎解系；

⑤寫出通解。

3.非齊次線性方程組

(1)解口勺狀況:

運用鑒定定理。

（2）解的構造：

X=u4-clal+c2a24-...+Cn-rQn-ro

（3）無窮多組解的求解措施和環(huán)節(jié)：

與齊次線性方程組相似，

（4）唯一解的解法：

有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。

四、向量組

1.N維向量的定義

注：向量實際上就是特殊為矩陣（行矩陣和列矩陣）。

2.向量的運算：

（1）加減、數(shù)乘運算（與矩陣運算相似）；

(2)向量內(nèi)積a'3=albl+a2b2+-,,+anbn；

(3)向量長度

|a|=Va'a=V(alA2+a2A2+...+anA2)(V根號)

(4)向量單位化(1/1a|)a；

(5)向?qū)徑M的正交化(施密特措施)

設al,a2,....an線性無關，則

pl=al,

p2=a2-(a2zpl/prp)*fl,

P3=a3-(aS'pi/prpl)*01-(。3下2他2但)*p2...........0

3.線性組合

(1)定義若B=klal+k2a2+…+knan,則稱0是向量組al,a2,...?an口勺一種線性組

合，或稱B可以用向量組。1,a2,anH勺一種線性表達。

(2)鑒別措施將向量組合成矩陣，記

A=(al,a2,...?an),B=(al,a2,anzp)

若r(A)=r(B),則B可以用向量組al,a2,…，an的一種線性表達;

若r(A)±r(B),則B不可以用向量組。1，a2,an曰勺一種線性表達。

(3)求線性表達體現(xiàn)式的措施：

將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最終一列元素就是表達H勺系數(shù)。

4.向量組的線性有關性

(1)線性有關與線性無關口勺定義

設klal+k2a2+...+knan=0,

若kl,k2,...,kn不全為0,稱線性有關；

若kl,k2,...,kn全為0,稱線性無關。

(2)鑒別措施:

①r(al,a2,an)<n,線性有關;

r(al,a2......an)=n,線性無關。

②若有n個n維向量，可用行列式鑒別：

n階行列式aij=O,線性有關(KO無關)(行列式太不好打了)

5.極大無關組與向量組的秩

(1)定義極大無關組所含向量個數(shù)稱為向量組H勺秩

(2)求法設A=(al,a2,an),將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而

每行的第一種非零元所在列的向量就構成了極大無關組。

五、矩陣的特性值和特性向量

1.定義對方陣A,若存在非零向量X和數(shù)入使AX=AX,則稱人是矩陣A的特性值，向

量X稱為矩陣A的對應于特性值A的特性向量。

2.特性值和特性向量II勺求解:

求出特性方程|M-A|二O日勺根即為特性值，將特性值A代入對應齊次線性方程組（入I-A）X=

0中求出方程組的所有非零解即為特性向量。

3.重要結(jié)論：

（1）A可逆的充要條件是A的特性值不等于0：

（2）A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相似的特性值；

（3）不一樣特性值對應的特性向量線性無關。

六、矩陣的相似

1.定義對同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P~1AP=B,則稱A與B相似。

2.求A與對角矩陣八相似的措施與環(huán)節(jié)（求P和八）：

求出所有特性值；

求出所有特性向量；

若所得線性無關特性向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相似，則A可對角化（否則不能對角化），將這

n個線性無關特性向量構成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對應特性值構成對角陣即

為八。

3.求通過正交變換Q與實對稱矩陣A相似的對角陣：

措施與環(huán)節(jié)和一般矩陣相似，只是第三步要將所得特性向量正交化且單位化。

七、二次型

n

1.定義n元二次多項式f（xl,x2,...,xn）=ZaijXiXj稱為二次型，若aij=O（i句），則稱為二

交型的原則型。