1/10專題12角的和與差及角平分線問題的五類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、角的和與差的計算問題類型二、角中單條角平分線的計算問題類型三、角中雙條角平分線的計算問題類型四、角中多條角平分線的計算問題類型五、與余角、補角有關的計算問題壓軸專練類型一、角的和與差的計算問題如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．例1．（24-25七年級下·湖南湘西·開學考試）若，則的度數(shù)是．【變式1-1】（24-25七年級上·遼寧盤錦·期末）已知，則的度數(shù)為．【變式1-2】（2024七年級上·全國·專題練習）以的頂點為端點引射線，使．若，求的度數(shù)．【變式1-3】（24-25六年級下·山東泰安·階段練習）如圖，已知，射線是內(nèi)部的一條射線，且．

(1)求的度數(shù)；(2)若過點作射線，使，求的度數(shù)．類型二、角中單條角平分線的計算問題從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB例2．（24-25七年級上·全國·期末）如圖，已知，是內(nèi)的一條射線，且．(1)求的度數(shù)；(2)過點O作射線，若，求的度數(shù)．【變式2-1】（23-24七年級上·廣東·期末）已知：如圖，O是直線上的一點，，平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【變式2-2】（24-25七年級上·全國·期末）已知O是直線上一點，是直角，平分．(1)如圖①所示，若，則的度數(shù)為________；若，則的度數(shù)為______（用含a的式子表示）；(2)將圖①中的繞點O順時針旋轉至②的位置，試探究和度數(shù)之間的關系，并說明理由．【變式2-3】（24-25七年級上·江蘇蘇州·期末）點為直線上一點，在直線上方作射線，使，直角三角板的直角頂點放在處．將直角三角板繞點轉動，在轉動過程中，直角邊始終保持在直線上或上方．(1)如圖，若三角板的直角邊在射線上，則______；(2)繞點轉動三角板，①如圖，當恰好平分時，試說明平分；②在轉動過程中，試探究與之間的數(shù)量關系，并給出證明．類型三、角中雙條角平分線的計算問題共頂點的三條射線組成的三個角中（兩角共一邊），已知任意兩個角的平分線，求角平分線夾角。圖1圖21）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：。證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：。證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，∴，∴。例3．（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）如圖，已知直線，相交于點，平分，平分，．(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【變式3-1】（24-25七年級上·河南洛陽·期末）如圖所示，，是的平分線，是的平分線．(1)求的度數(shù)；(2)如果，那么等于多少？(3)如果，那么等于多少呢？【變式3-2】（23-24七年級上·福建漳州·期末）點O為直線上一點，在直線同側作射線、，使得．(1)如圖1，過點O作射線，若平分，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點O作射線、，若平分，平分，且，求的度數(shù)；(3)過點O作射線，當恰好為的平分線時，另作射線，使得平分，當時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【變式3-3】（24-25七年級上·全國·期末）在內(nèi)部作射線在的右側，且．(1)如圖1，若平分平分，則；(2)如圖2平分，探究與之間的數(shù)量關系，并證明；(3)設在的左側，過點O作射線，使為的平分線，再作的平分線，若，畫出相應的圖形并求出的度數(shù)．（用含m的式子表示）類型四、角中多條角平分線的計算問題條件：如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線；結論：．證明：∵分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：。例4．（24-25七年級下·重慶·開學考試）如圖1，已知，，在內(nèi)，在內(nèi)，，．（本題中所有角均大于且小于等于）(1)從圖1中的位置繞點逆時針旋轉到與重合時，如圖2，則____；(2)從圖2中的位置繞點順時針旋轉（且，其中為正整數(shù)），直接寫出所有使的值．【變式4-1】（24-25七年級上·江西上饒·期末）定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成的兩個角的射線，叫作這個角的三分線，顯然，一個角的三分線有兩條．例如：如圖①，若，則是的一條三分線．(1)已知：如圖①，是的一條三分線，且，若，求的度數(shù)；(2)已知：，如圖②，若是的兩條三分線，求的度數(shù)．【變式4-2】（24-25七年級上·四川成都·期末）若同一平面內(nèi)三條射線有公共端點，且滿足時，我們稱是（）的“新風尚線”，但不是（）的“新風尚線”．如果或者，我們稱是和的“新風尚線”．(1)如圖（1），已知，是的三等分線，則射線是（）的“新風尚線”；(2)如圖（2），若，是（）的“新風尚線”，求．類型五、與余角、補角有關的計算問題1.記住定義，用好公式-兩個角加起來等于90°，它們互為余角。-兩個角加起來等于180°，它們互為補角。-遇到"一個角的余角"或"補角"時，直接用90°或180°減去這個角即可。2.善用方程，解決復雜問題-當問題涉及多個角的關系時，設未知數(shù)是最佳策略。-通常設"這個角"為x°，然后根據(jù)題意列出方程。-例如："一個角的補角比它的余角大多少度？"-列出算式：

(180-x)-(90-x)=90

，輕松求解。3.利用性質，簡化計算-記住一個重要性質：等角或同角的余角相等，補角也相等。-例如：如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3。-這個性質能幫你繞開復雜計算，直接得出角相等的結論。例5．（24-25七年級下·四川成都·階段練習）已知一個角的余角是這個角的補角的，求這個角的度數(shù)．【變式5-1】（24-25七年級上·遼寧朝陽·期末）如圖，是內(nèi)三條射線，平分，平分．(1)已知，，求的度數(shù)；(2)若與互余，求的度數(shù)．【變式5-2】（24-25七年級上·湖南邵陽·期末）如圖，已知直線經(jīng)過點，與互余，是的平分線．(1)若，則______；(2)若，求的度數(shù)；(3)，直接寫出______；（用含的式子表示）【變式5-3】（24-25七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，直線與相交于點，射線在內(nèi)．(1)若的補角是它的余角的倍，求的度數(shù)；(2)在（1）的條件下，若比大，則的度數(shù)為_________；(3)若射線平分，，求的度數(shù)．一、單選題1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，將兩個含角的三角板按如圖方式擺放在水平桌面上，下列表述正確的是（）A． B．C． D．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如果兩個角互為補角，而其中一個角比另一個角的4倍少，那么這兩個角的度數(shù)是（

）A．， B．， C．， D．，3．（24-25七年級下·安徽淮北·期末）如圖，直線相交于點，，平分，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（16-17七年級下·黑龍江大慶·期末）如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，擺放方式中的圖形有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（24-25六年級下·山東泰安·期末）如圖，射線，都在的內(nèi)部，和都是直角，下列說法：①；②若變小，則也變??；③若，則；④若OM平分平分，則．其中正確的說法有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（24-25七年級下·山東棗莊·階段練習）如圖，在同一平面內(nèi)，，平分，點為反向延長線上一點（圖中所有角均指小于的角），給出下列四個結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．（24-25七年級上·安徽亳州·階段練習）若與互余，且，則的度數(shù)為8．（24-25七年級上·山東棗莊·階段練習）如圖，將一個三角板角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，，則的度數(shù)是．9．（24-25七年級上·河北邢臺·階段練習）如圖，桌面上平放著一把長方形直尺和它上方的一塊三角板，小明將三角板的直角頂點C緊靠直尺的邊緣，若分別作出與的平分線與．則．10．（24-25七年級下·山東青島·期末）新定義：如果的內(nèi)部有一條射線將分成的兩個角，其中一個角是另一個角的倍，那么我們稱射線為的倍分線，例如，如圖，，則為的倍分線應用：若，為的二倍分線，且，則．11．（24-25七年級上·河南南陽·階段練習）如圖，與互余，且，從O點出發(fā)一條射線，若，請你求的度數(shù)為度．12．（24-25七年級上·湖南永州·階段練習）如圖，已知為從頂點出發(fā)的射線，，且，射線平分．平面內(nèi)有射線和射線，射線平分．若，則．三、解答題13．（24-25七年級下·安徽合肥·開學考試）若一個角的補角比這個角的余角的4倍大，求這個角的余角的度數(shù)．14．（24-25七年級上·陜西西安·期末）如圖，在中，射線平分，連接，射線平分．(1)若是直角，，求的度數(shù)；(2)若，，則是多少度？15．（21-22七年級下·浙江溫州·開學考試）如圖，將一副直角三角板的直角頂點疊放在一起．(1)若，則；(2)若，則；(3)若，求的度數(shù)．16．（24-25七年級下·河北廊坊·階段練習）已知直線與直線交于點O，過點O作．(1)如圖1，為內(nèi)的一條射線，若，求證：．(2)如圖2，若，求的度數(shù)．17．（23-24七年級上·寧夏銀川·階段練習）如圖，O是直線上的一點，射線、是不與重合的兩條射線，，平分．(1)如圖1，若，則_____°，_____°；(2)如圖2，若，求的度數(shù)；(3)當時，直接寫出此時的度數(shù)．18．（25-26七年級上·全國·期末）如圖，鐘表上顯示的時間是時分．(1)時針與分針的夾角為．(2)設時針與分針的交點為，時針為，分針為，過點引一條射線，且平分，平分．①若在內(nèi)部，且，則．②若在外部，且，則的度數(shù)為多少？19．（24-25七年級上·吉林·期末）已知點B、O、C在同一條直線上，．(1)如圖1，若，，則_____．(2)如圖2，若，，平分，求．(3)如圖3，若與互余，也與互余，請在圖3中畫出符合條件的射線加以計算后，直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）20．（23-24七年級上·天津·期末）已知：如圖，點、、依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉，同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度旋轉，如圖，設旋轉時間為秒．(1)用含t的代數(shù)式表示，其結果是：______度．(2)在運動過程中，當時，求的值．(3)在旋轉過程中是否存在這樣的，使得射線是由射線、射線所組成的角指大于而