1/10專題12因式分解的八類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例題詳解類型一、利用因式分解的定義求參數(shù)類型二、提公因式法因式分解類型三、綜合運用公式法因式分解類型四、綜合提公因式和公式法因式分解類型五、利用整體法提公因式因式分解類型六、十字相乘法因式分解類型七、分組分解法因式分解類型八、因式分解的應用壓軸專練類型一、利用因式分解的定義求參數(shù)知識點總結(jié)1.因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，其結(jié)果必須是整式乘積，且每個因式都是最簡整式（不能再分解），這是判斷是否為因式分解的核心標準。2.多項式相等的條件：若兩個多項式相等，則對應項的系數(shù)和常數(shù)項分別相等，即“同類項系數(shù)相同”，這是通過等式對比求參數(shù)的依據(jù)。解題技巧1.逆向構(gòu)造因式分解形式：根據(jù)題意設出分解后的整式乘積形式（如二次多項式可設為兩個一次式的積），展開后與原多項式對比，利用系數(shù)相等列方程求參數(shù)。2.驗證分解的有效性：求出參數(shù)后，代入原多項式進行因式分解，檢查結(jié)果是否符合定義（整式乘積、無公因式可提），排除使分解不成立的參數(shù)值。例1．（2025·貴州·模擬預測）如果二次三項式在整數(shù)范圍內(nèi)可因式分解為，那么m的值為（

）A．4 B． C．7 D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解和多項式的乘法．根據(jù)題意可將變?yōu)榈男问?，再根?jù)題意進行判斷即可．【詳解】解：由題意得，二次三項式在整數(shù)范圍內(nèi)可因式分解為，，，故選：C．【變式1-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）已知多項式分解因式的結(jié)果為，則b，c的值分別為（

）A．3， B．，4 C．20，4 D．20，【答案】C【分析】本題主要考查分解因式，先變形為，然后根據(jù)對應項相等計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得，故選：C．【變式1-2】（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如果把二次三項式因式分解得，那么常數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解，多項式的乘法運算，掌握多項式乘法與因式分解的關系是解題的關鍵．將因式分解的結(jié)果用多項式乘法公式展開，其結(jié)果與二次三項式比較即可求解．【詳解】解：，．故選：D．【變式1-3】（24-25八年級上·全國·期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為，得，則，，解得：，．另一個因式為，的值為問題：仿照以上方法解答下面問題：(1)已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．(2)已知二次三項式有一個因式是，a是正整數(shù)，求另一個因式以及a的值．【答案】(1)，(2)另一個因式是，a的值是2【分析】本題考查了因式分解與整式乘法的關系，方程組的解法，正確理解因式分解與整式的乘法互為逆運算是關鍵．（1）設另一個因式是，則，根據(jù)對應項的系數(shù)相等即可求得和的值．（2）設另一個因式是，則利用多項式的乘法運算法則展開，然后根據(jù)對應項的系數(shù)相等列式求出、的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】（1）解：設另一個因式是，則有：，則，解得：，則另一個因式是：，；（2）解：二次三項式有一個因式是，是正整數(shù)，設另一個因式是，則，則，解得，或（舍去，不符合題意），另一個因式是，故另一個因式是，．類型二、提公因式法因式分解知識點總結(jié)1.公因式的概念：多項式各項都含有的公共整式，包括系數(shù)（取各項系數(shù)的最大公約數(shù)）、相同字母（取最低次冪），是提公因式的前提。2.提公因式法法則：把多項式的各項都除以公因式，將多項式化為公因式與另一個多項式的積的形式，即ma+mb+mc=m(a+b+c)，遵循“一提二?！痹瓌t。解題技巧1.全面找公因式：先確定系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，注意隱藏公因式（如互為相反數(shù)的因式可通過符號轉(zhuǎn)化提取，如b-a=-(a-b)）。2.提凈后檢查：提取公因式后，剩余多項式的各項不應再含公因式，若有漏提需補提；多項式第一項為負時，通常先提負號，使括號內(nèi)第一項為正。例2．因式分解：．【答案】【知識點】提公因式法分解因式【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．【變式2-1】因式分解：．【答案】【知識點】提公因式法分解因式【分析】本題考查了因式分解．利用提公因式法進行因式分解．【詳解】解：．【變式2-2】把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】提公因式法分解因式【分析】本題考查了分解因式，熟練掌握分解因式的方法是解題的關鍵.（1）用提公因式法分解因式即可；（2）用提公因式法分解因式即可.【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【變式2-3】把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識點】提公因式法分解因式【分析】本題考查的是提公因式分解因式，確定公因式是解本題的關鍵．（1）直接利用提公因式法分解因式即可；（2）直接利用提公因式法分解因式即可；（3）將變形為，再直接提公因式進行求解，即可解題．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．類型三、綜合運用公式法因式分解知識點總結(jié)1.

常用乘法公式的逆用：包括平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)、完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，以及立方和（差）公式等，是公式法因式分解的核心依據(jù)。2.

多項式的結(jié)構(gòu)特征：需識別多項式是否符合公式形式，如平方差公式要求兩項異號且均為平方形式，完全平方公式需三項式且有兩項為平方項、一項為兩平方項底數(shù)乘積的2倍。解題技巧1.

先提公因式再用公式：若多項式各項有公因式，先提取公因式，使剩余部分滿足公式結(jié)構(gòu)（如2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2)）。2.

多次運用公式分解：對分解后仍可繼續(xù)分解的因式，重復使用公式（如x^4-16=(x^2+4)(x^2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2)），確保分解徹底。例3．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】綜合運用公式法分解因式【分析】本題主要考查因式分解，掌握乘法公式的運用是解題的關鍵．（1）運用完全平方公式，平方差公式因式分解即可；（2）運用平方差，完全平方公式因式分解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．【變式3-1】因式分解(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知識點】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、綜合運用公式法分解因式【分析】此題考查了因式分解的方法，多項式乘以多項式運算，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案；（2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（3）首先利用多項式乘以多項式運算法則展開，然后利用完全平方公式分解因式即可求解．【詳解】（1）；（2）；（3）．【變式3-2】因式分解．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】提公因式法分解因式、綜合提公因式和公式法分解因式、綜合運用公式法分解因式【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）利用提公因式法求解即可；（2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；（3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；（4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【變式3-3】因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、綜合運用公式法分解因式【分析】本題主要考查了分解因式：（1）先提取公因數(shù)2，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；（4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．類型四、綜合提公因式和公式法因式分解知識點總結(jié)1.公因式提取與公式結(jié)構(gòu)識別：需掌握公因式的確定方法（系數(shù)最大公約數(shù)、相同字母最低次冪），以及平方差公式、完全平方公式等的結(jié)構(gòu)特征（如兩項異號平方項、三項式中平方項與乘積項的關系）。2.因式分解的步驟原則：遵循“一提二套三查”，即先提取公因式，再套用公式，最后檢查是否分解徹底，確保結(jié)果為最簡整式乘積。解題技巧1.優(yōu)先提取公因式簡化多項式：無論多項式是否符合公式形式，先檢查是否有公因式，提取后使剩余部分更易匹配公式（如3a3-12a=3a(a2-4)=3a(a+2)(a-2)）。2.組合運用確保分解徹底：提取公因式后，若剩余部分仍可繼續(xù)分解（如符合平方差或完全平方形式），需再次套用公式，避免僅提取公因式就停止分解的不徹底情況。例4．因式分解：(1)(2)．【答案】(1)(2)【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關鍵：（1）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式進行因式分解即可；【詳解】（1）解：原式；（2）原式．【變式4-1】因式分解：(1)；(2)；【答案】(1)；(2)．【知識點】提公因式法分解因式、綜合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式4-2】把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】提公因式法分解因式、綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了因式分解，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）運用提公因式法進行因式分解，即可作答．（2）先提公因式，再運用平方差公式進行因式分解，即可作答．【詳解】（1）解：．（2）解：．【變式4-3】把下列各式進行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】提公因式法分解因式、綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法．（1）提取公因式即可得；（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得；（3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得；（4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式，；（3）解：原式，，；（4）解：原式，，．類型五、利用整體法提公因式因式分解知識點總結(jié)1.整體思想與公因式概念延伸：將多項式中的某個多項式（如a+b、x-y）視為一個整體“字母”，其公因式可表現(xiàn)為相同的整體整式，需理解整體作為因式的等價性（如b-a=-(a-b)）。2.提公因式法的拓展應用：在整體視角下，提公因式法仍遵循“提取公共整式”原則，即把整體公因式提取后，剩余部分為原多項式除以整體公因式的結(jié)果，保持整式乘積形式。解題技巧1.識別整體公因式結(jié)構(gòu)：觀察多項式各項，找出重復出現(xiàn)的多項式整體（如(x+y)在多項中出現(xiàn)），或通過符號轉(zhuǎn)化統(tǒng)一整體形式（如將(y-x)2轉(zhuǎn)化為(x-y)2）。2.分步提取簡化運算：先將整體視為單字母提取公因式，再對剩余部分檢查是否可繼續(xù)分解，如(a+b)(x-y)+(a+b)(x+y)=(a+b)[(x-y)+(x+y)]=(a+b)*2x。例5．因式分解：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【詳解】解：，故答案為：．【變式5-1】因式分解：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，關鍵是變形；式子變形后提取公因式，再把另一個因式用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式；故答案為：．【變式5-2】因式分解：【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．【變式5-3】分解因式：．【答案】【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：故答案為：．類型六、十字相乘法因式分解知識點總結(jié)1.

十字相乘法的原理：針對二次三項式ax2+bx+c（a≠0），通過尋找兩個數(shù)m、n（或整式），使m*n=a*c且m+n=b，將多項式分解為(px+q)(rx+s)的形式，本質(zhì)是逆用多項式乘法法則。2.

適用多項式特征：主要用于二次項系數(shù)為1（x2+bx+c）或可分解的二次三項式，需滿足常數(shù)項能拆分為兩個數(shù)的乘積，且這兩個數(shù)的和等于一次項系數(shù)。解題技巧1.

拆分常數(shù)項（或交叉項）：對x2+bx+c，將c拆為p*q，使p+q=b，直接分解為(x+p)(x+q)；對ax2+bx+c，先拆分a為m*n、c為p*q，使mq+np=b，交叉相乘后組合。2.

驗證結(jié)果正確性：分解后通過多項式乘法展開，檢查是否與原多項式一致，避免因拆分錯誤導致結(jié)果偏差，尤其注意符號（如常數(shù)項為負時，拆分的兩數(shù)異號）。例6．分解因式：【答案】【知識點】十字相乘法【分析】本題考查了利用了十字相乘法進行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原則是關鍵．將4化為，化為，用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：【變式6-1】分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】十字相乘法【分析】本題主要考查了分解因式，直接根據(jù)十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：（2）解：．【變式6-2】小亮自學人教版八年級上冊數(shù)學教材第121頁的“閱讀與思考”內(nèi)容介紹，在因式分解中有一類形如二次三項式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：將二次三項式因式分解，這個式子的二次項系數(shù)是1，常數(shù)項一次項系數(shù)，則．如圖所示：仿照上述解決下列問題：(1)因式分解：；小亮做了如下分析：一次項為：，則常數(shù)項為：；則__________；=_________；（）（）(2)因式分解：：(3)若二次三項式可以分解成兩個一次因式乘積的形式，求整數(shù)a所有可能的值．【答案】(1)見詳解(2)(3)，【知識點】十字相乘法【分析】此題考查了因式分解——十字相乘法，（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解分解可得；（3）找出所求滿足乘積為，相加為的值即可．【詳解】（1）解：一次項為：，則常數(shù)項為，則2；3；∴；（2）解：一次項為：，則常數(shù)項為，則；（3）解：若可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)的所有可能的值是：；；；，即整數(shù)的所有可能的值是：，．【變式6-3】【提出問題】某數(shù)學活動小組對多項式乘法進行如下探究：①；②；③．通過以上計算發(fā)現(xiàn)，形如的兩個多項式相乘，其結(jié)果一定為．（p，q為整數(shù)）因式分解是與整式乘法是方向相反的變形，故一定有，即可將形如的多項式因式分解成（p、q為整數(shù)）．例如：．【初步應用】（1）用上面的方法分解因式：_________；【類比應用】（2）規(guī)律應用：若可用以上方法進行因式分解，則整數(shù)m的所有可能值是_________；【拓展應用】（3）分解因式：．【答案】（1）；（2）或；（3）【知識點】十字相乘法【分析】本題主要考查了因式分解及其應用，解題關鍵是熟練掌握利用十字相乘法進行分解因式．（1）按照已知條件中方法進行分解因式即可；（2）先找出乘積為的兩個整數(shù)有哪些，然后按照條件中的方法，求出的值即可；（3）按照已知條件中的方法，先把分解成，然后把多項式進行第一次分解因式，再把分解成，分解成，進行第二次分解因式即可．【詳解】解：（1），，故答案為：；（2）∵，∴，，，，∴或或或，整數(shù)的值可能是或，故答案為：或；（3），，，，．類型七、分組分解法因式分解知識點總結(jié)1.

分組的目的與依據(jù)：分組分解法是將多項式各項適當分組，使每組能提取公因式或運用公式法分解，核心是分組后整體能繼續(xù)分解，依據(jù)多項式的項數(shù)（通常四項或六項）和結(jié)構(gòu)特征（如含相同因式的項分組）。2.

與其他分解方法的結(jié)合：分組后需結(jié)合提公因式法、公式法等，如分組后各組有公因式可提取，或分組后形成平方差、完全平方等公式結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)“分組—分解—再分解”的邏輯。解題技巧1.

按公因式分組：將含相同公因式的項分為一組，提取公因式后使兩組間出現(xiàn)新的公因式，如ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)。2.

按公式結(jié)構(gòu)分組：對四項式，可分組為“二二型”形成平方差（如a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)），或“三一型”形成完全平方后再用平方差，確保分組后可繼續(xù)分解。例7．閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分組分解．例1：“兩兩分組”：解：原式．例2：“三一分組”：解：原式．歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續(xù)分解．請同學們在閱讀材料的啟發(fā)下解答下列問題：分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【知識點】分組分解法、平方差公式分解因式【分析】本題主要考查因式分解，理解題目中的例題的方法是解題的關鍵．（1）根據(jù)“兩兩分組”中的例題因式分解即可；（2）根據(jù)“三一分組”中的例題寫出因式分解的結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式7-1】因式分解：．【答案】【知識點】分組分解法、提公因式法分解因式【分析】本題考查了因式分解—分組分解法，先把原式中一二兩項分成一組，三四兩項分成一組，每組分別提取公因式，最后組與組之間提取公因式即可．【詳解】解∶原式，故答案為∶．【變式7-2】分解因式：．【答案】【知識點】分組分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．本題利用分組分解法，十字相乘法和提公因式法進行因式分解即可．【詳解】原式．故答案為：．【變式7-3】“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學進行因式分解的過程如下：甲:（分成兩組）（直接運用公式）=乙（分成兩組）（提公因式）請在他們解法的啟發(fā)下，解答下列各題：(1)；(2)【答案】(1)(2)【知識點】分組分解法【分析】本題主要考查因式分解，靈活運用分組分解法是解答本題的關鍵．（1）原式先進行分組，再提取公因式，最后運用平方差公式進行因式分解即可；（2）原式先進行分組，再運用平方差公式進行因式分解即可．【詳解】（1）解：（2）解：類型八、因式分解的應用知識點總結(jié)1.

因式分解的基本方法：包括提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法、分組分解法等，能將多項式轉(zhuǎn)化為整式乘積形式，是解決應用問題的工具基礎。2.

代數(shù)式求值與等量關系轉(zhuǎn)化：利用因式分解簡化代數(shù)式，結(jié)合方程思想解決實際問題中的數(shù)量關系（如面積計算、整除問題、方程求解），需掌握“分解后整體代入”“轉(zhuǎn)化為乘積形式分析整除性”等思路。解題技巧1.

從實際問題提煉多項式：將應用場景中的數(shù)量關系（如面積公式、路程關系）轉(zhuǎn)化為多項式，通過因式分解簡化表達式（如用分解法求不規(guī)則圖形面積的和差）。2.

利用乘積特性分析問題：對于整除、最值等問題，將多項式分解后，根據(jù)整式乘積的性質(zhì)（如因數(shù)取值范圍、符號特征）求解，例如通過分解判斷某數(shù)是否為整數(shù)倍，或找到表達式的最值點。例8．我們已經(jīng)學過利用提公因式法和公式法進行分解因式．對于超過三項的多項式，可以利用分組的方法進行分解因式．即先將一個多項式進行適當?shù)姆纸M（或組合），再利用已經(jīng)學過的方法進行分解因式．如：分解因式：．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊滿足，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)等腰三角形，理由見解析【知識點】分組分解法、因式分解的應用、構(gòu)成三角形的條件【分析】本題考查因式分解—分組分解法及應用，三角形三邊關系，對于不能直接因式分解的式子可以用分組法因式分解，因式分解分組時要注意觀察式子特點、分好組是關鍵．（1）依據(jù)分組分解法，把分組為，然后用平方差公式和提公因式法分別因式分解，然后再提取公因式即可求解；（2）通過分組分解法把化成，然后利用三角形三邊關系得出，則，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：原式；（2）解：等腰三角形．由，可得．，．．是等腰三角形．【變式8-1】已知、、是的三邊，且滿足，則的形狀是（

）．A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，因式分解的應用，先把已知條件式左邊分解因式推出，進而得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵、、是的三邊，∴，∴，即，∴是等腰三角形，根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明是直角三角形和等邊三角形，故選：C．【變式8-2】若，是等腰三角形的兩邊長，且滿足關系式，則的周長是．【答案】10【知識點】完全平方公式分解因式、三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了因式分解的應用，等腰三角形的定義、非負數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關系；根據(jù)關系式得出，再根據(jù)是腰長和底邊長兩種情況討論求解．【詳解】解：∵，即，∴，，b=4，①若是腰長，則三角形的三邊長為：、、，不能組成三角形；②若是底邊長，則三角形的三邊長為：、、，能組成三角形周長為．故答案為：10．【變式8-3】在學習完“因式分解”這章內(nèi)容后，為了開拓學生的思維，張老師在黑板上寫了下面兩道題目讓學生解答：因式分解：①；②．下面是晶晶和小舒的解法：晶晶：（分成兩組）（直接提公因式）小舒：（分成兩組）（直接運用公式）請在她們的解法啟發(fā)下解答下面各題：(1)因式分解：；(2)已知的三邊a，b，c滿足，是什么三角形？【答案】(1)；(2)是等腰三角形．【知識點】因式分解的應用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了因式分解，等腰三角形的判定，解題的關鍵是根據(jù)題意進行拆項，將原等式重新分組后進行因式分解．（1）分組，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；（2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三邊關系即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）∵，∴，∴．∵，∴，即，∴是等腰三角形．一、單選題1．（24-25八年級上·湖北襄陽·期末）下列各式從左邊到右邊的變形是因式分解的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義．根據(jù)因式分解的定義，把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做因式分解，進行判斷即可．【詳解】解：A、，是整式的乘法，不屬于因式分解，該選項不符合題意；B、中，不屬于因式分解，該選項不符合題意；C、，不屬于因式分解，該選項不符合題意；D、，是因式分解，該選項符合題意；故選：D．2．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（

）（1）

（2）

（3）

（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了因式分解中的公式法，具體包括平方差公式和完全平方公式．依次對每個多項式進行判斷是否符合公式特征，從而確定能分解的個數(shù)．【詳解】解：（1），符合題意；（2）不能運用公式法分解因式，不符合題意；（3），符合題意；（4）不能運用公式法分解因式，不符合題意．∴能運用公式法分解因式的有2個．故選：B．3．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）把多項式分解因式得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了利用提公因式法進行多項式因式分解，先通過變形將多項式中互為相反數(shù)的因式化為相同形式，再提取公因式，最后對剩余部分繼續(xù)分解因式，再分析各選項的正誤即可．【詳解】解：．故選：A．4．（2025·浙江杭州·模擬預測）若，，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本題主要考查了因式分解的應用，熟練掌握提取公因式法因式分解是解題的關鍵．先將所求式子進行因式分解，再將已知條件代入求值．【詳解】解：∵，，∴．故選：D．5．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）多項式可以因式分解成，，為整數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查因式分解，先將多項式提取公因式得，然后與對照，即可求出，的值，再代入計算即可．對多項式提取公因式是解題的關鍵．【詳解】解：∵，又∵多項式可以因式分解成，，為整數(shù)，∴，∴，，∴，即的值是．故選：C．6．（2025八年級上·全國·專題練習）已知的三邊長分別是，，且滿足，判斷此三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】本題考查因式分解的應用，將題目中的式子變形，然后利用完全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì)，可以求得a、b、c的關系，從而可以判斷的形狀．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴是等邊三角形，故選：B．二、填空題7．（2025·吉林四平·模擬預測）分解因式．【答案】【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可．本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會結(jié)合多項式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關鍵．【詳解】解：，故答案為：．8．（24-25七年級下·全國·單元測試）若，且，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】本題主要考查了整式的化簡求值計算，因式分解的應用．由已知條件求得，，，再將原式化成，連接兩次代值計算便可得出答案．【詳解】解：∵，，，，，∵，，，原式．故答案為：．9．（25-26八年級上·全國·單元測試）若n為正整數(shù)，則一定能被最大的正整數(shù)整除．【答案】12【分析】本題考查了平方差公式，提公因式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．原式利用平方差公式變形，再提公因式，即可解答．【詳解】解：．∴一定能被最大的正整數(shù)12整除．故答案為：1210．（24-25七年級下·浙江金華·期末）在對多項式進行因式分解時，我們可以把它先分組再分解：原式，這種方法叫做分組分解法．請你用以上方法，寫出多項式因式分解的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查因式分解，利用分組分解法進行因式分解即可．【詳解】解：原式；故答案為：．11．（24-25七年級下·河北唐山·期末）在學了因式分解知識后，數(shù)學興趣小組的同學進行如下探究活動：如圖，將兩張邊長為m的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面積（陰影部分）分別記為和，當時，可得m與n的關系式為，則a的值為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積，矩形的面積，等腰直角三角形的面積公式解答即可．本題考查了正方形的面積，矩形的面積，等腰直角三角形的面積，熟練掌握計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，且，又∵，故，解得．即a的值為．故答案為：．12．（2025·四川成都·模擬預測）定義：若a，b，c不全為0，且滿足，，如果正整數(shù)n使得恒成立，那么正整數(shù)n稱為“好數(shù)”．例如，當時，恒成立，所以1是“好數(shù)”．把所有“好數(shù)”按從小到大的順序排列，則第3個“好數(shù)”是；大于100且不超過2025的正整數(shù)中所有“好數(shù)”的和為．【答案】51023669【分析】本題考查數(shù)的規(guī)律探究，因式分解的應用，解題關鍵是通過推導得出“好數(shù)”為正奇數(shù)，再利用規(guī)律計算．由變形得，代入，通過整式運算化簡，結(jié)合，推出．因為a、b、不全為0，所以其中只有一個數(shù)為0，不妨設，則．將，代入，分析得出滿足恒成立的正整數(shù)n是奇數(shù)，即“好數(shù)”為所有正奇數(shù)．按正奇數(shù)從小到大排列，找到第3個“好數(shù)”是5；確定大于100且不超過2025的正奇數(shù)，通過數(shù)的個數(shù)和首尾數(shù)，利用（首數(shù)尾數(shù)）個數(shù)的方法，算出這些“好數(shù)”的和．【詳解】解：由，得，則,∵，，、b、c不全為零，、b、c中只有一個數(shù)為零，不妨設，從而，恒成立即恒成立，顯然滿足條件的正整數(shù)n為奇數(shù)，即不超過2025的正整數(shù)中“好數(shù)”有1、3、5、、2025共1013個，大于100且不超過2025的正整數(shù)中“好數(shù)”有963個，第3個“好數(shù)”是5，大于100且不超過2025的正整數(shù)中所有“好數(shù)”的和為．故答案為：5，．三、解答題13．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）因式分解：(1)；；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握提取公因式法、平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．（1）先通過變形將式子化為有公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）先提取公因式，然后利用平方差公式、完全平方公式進行分解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．14．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是掌握因式分解的方法．（1）利用平方差公式進行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可；（3）先變形，再提公因式，然后利用平方差公式進行因式分解即可；（4）先利用完全平方公式進行分解，再利用平方差公式因式分解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．15．（2025八年級上·全國·專題練習）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)．(2)．(3)．(4)．【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關鍵是掌握提公因式法和公式法因式分解．（1）利用完全平方公式進行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進行因式分解即可；（3）利用提公因式法進行因式分解即可；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式進行因式分解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．16．（24-25八年級上·山東德州·期末）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”，下面是小涵同學用換元法對多項式進行因式分解的過程．解：設，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）請根據(jù)上述材料回答下列問題：(1)小涵同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的：______；A．提取公因式法

B．平方差公式法

C．完全平方公式法(2)老師說，小涵同學因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果：______；(3)請你用換元法對多項式進行因式分解．【答案】(1)C(2)(3)【分析】本題考查了因式分解-換元法，公式法，理解閱讀材料問題，熟練掌握利