1/10專(zhuān)題14分式運(yùn)算與規(guī)律、新定義型問(wèn)題的七類(lèi)綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類(lèi)型一、分式的混合運(yùn)算問(wèn)題類(lèi)型二、分式的混合運(yùn)算先化簡(jiǎn)求值問(wèn)題類(lèi)型三、分式的混合運(yùn)算錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題類(lèi)型四、分式的混合運(yùn)算規(guī)律探究問(wèn)題類(lèi)型五、分式的混合運(yùn)算假分?jǐn)?shù)問(wèn)題類(lèi)型六、分式的混合運(yùn)算“倒數(shù)法”求值問(wèn)題類(lèi)型七、分式的混合運(yùn)算新定義型問(wèn)題壓軸專(zhuān)練類(lèi)型一、分式的混合運(yùn)算問(wèn)題1.遵循運(yùn)算順序：和有理數(shù)混合運(yùn)算一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減。如果有括號(hào)，要先算括號(hào)里面的。2.靈活運(yùn)用乘法公式：在計(jì)算過(guò)程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用對(duì)公式可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。3.及時(shí)化簡(jiǎn)：每一步運(yùn)算完成后，都要檢查分子和分母是否有公因式。能約分的一定要先約分，這樣可以避免最后處理大數(shù)字，讓計(jì)算更簡(jiǎn)單。例1．化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的性質(zhì)，分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)，分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式1-1】計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算．（1）先計(jì)算分式的乘方，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后計(jì)算分式的乘法即可；（2）先分解分式，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算分式的乘法，最后計(jì)算減法即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式1-2】計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分式的乘除法計(jì)算，分式的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算積的乘方，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)即可得到答案；（2）先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式．【變式1-3】化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）將括號(hào)內(nèi)分式進(jìn)行通分化解，然后因式分解化簡(jiǎn)即可；（2）將括號(hào)內(nèi)分式進(jìn)行通分化解，將除法換算成乘法，對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．類(lèi)型二、分式的混合運(yùn)算先化簡(jiǎn)求值問(wèn)題1.先化簡(jiǎn)，再代入：這是最關(guān)鍵的一步。先把整個(gè)分式表達(dá)式化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，再把字母的值代進(jìn)去計(jì)算。千萬(wàn)不要直接代入，那樣計(jì)算量會(huì)非常大。2.化簡(jiǎn)時(shí)注意運(yùn)算順序：化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加減"的順序。有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。3.代入前先檢驗(yàn)：把字母的值代入原式的分母和除式中，檢查是否會(huì)使它們等于0。如果等于0，這個(gè)值就不能用，題目可能需要你重新選擇一個(gè)合適的值代入。例2．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】2【分析】本題需要先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值，首先處理括號(hào)內(nèi)的加法運(yùn)算，將整式與分式合并為一個(gè)分式，然后進(jìn)行分式的除法運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為乘法后約分，最后代入數(shù)值計(jì)算，【詳解】解：，，，，，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于分式的通分和因式分解，解題的關(guān)鍵是將括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)通分為一個(gè)分式，然后利用分式除法的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【變式2-1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算小括號(hào)內(nèi)的分式的減法，再計(jì)算除法，結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式，然后利用零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算，再代入前面化簡(jiǎn)的式子計(jì)算即可．掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則、公式及運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵，∴原式．【變式2-2】先化簡(jiǎn)：，再?gòu)模?，2中選擇一個(gè)合適的值代入求值．【答案】，【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，先通分再運(yùn)算除法，化簡(jiǎn)得，經(jīng)分析，得，，故把代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：，∵，，，原式．【變式2-3】化簡(jiǎn)求值：，從不等式中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)值為3【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行求值即可．本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，分式有意義的條件，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)椋覟檎麛?shù)，所以不等式組中符合條件的整數(shù)有，0,或2，所以當(dāng)時(shí)，原式．（答案不唯一）……類(lèi)型三、分式的混合運(yùn)算錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題1.

順著錯(cuò)解，倒推條件：仔細(xì)閱讀題目，找出"小明"或"小紅"是在哪一步、因?yàn)槭裁匆?guī)則用錯(cuò)了。然后，順著他的錯(cuò)誤步驟和得到的錯(cuò)誤結(jié)果，反向推算出題目中隱藏的關(guān)鍵信息，比如某個(gè)字母的值。2.

回到正軌，正確化簡(jiǎn)：拿到正確的條件后，把它當(dāng)作一道全新的"先化簡(jiǎn)再求值"問(wèn)題。完全忘掉之前的錯(cuò)誤解法，按照正確的運(yùn)算順序和分式化簡(jiǎn)規(guī)則，重新把原式化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式。3.

代入計(jì)算，得出正解：最后，將之前推算出的正確條件代入到化簡(jiǎn)好的式子中，進(jìn)行計(jì)算，得出正確的最終答案。例3．下面是小華化簡(jiǎn)分式的過(guò)程：解：原式．第一步第二步第三步(1)小華的化簡(jiǎn)過(guò)程從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫(xiě)出正確的化簡(jiǎn)過(guò)程，并從2，3，4，5中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】(1)二(2)，7【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算法則．（1）根據(jù)小華的解答過(guò)程及小華的化簡(jiǎn)過(guò)程從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，即可得出結(jié)果；（2）先通分，計(jì)算括號(hào)內(nèi)，除法變乘法，約分化簡(jiǎn)后，選擇一個(gè)使分式有意義的值，代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：小華的化簡(jiǎn)過(guò)程中，小華的化簡(jiǎn)過(guò)程從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二；（2）解：，∵，∴，當(dāng)時(shí)，原式．【變式3-1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．小文的部分解答過(guò)程如下：原式……①……②……③當(dāng)時(shí)，原式．請(qǐng)指出小文解答過(guò)程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】最早出現(xiàn)錯(cuò)誤步驟的序號(hào)是①，見(jiàn)解析【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．先找出最早出現(xiàn)錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，再計(jì)算即可．【詳解】解：第①步不應(yīng)該乘以，即最早出現(xiàn)錯(cuò)誤步驟的序號(hào)是①，原式當(dāng)時(shí)，原式【變式3-2】下面是小聰同學(xué)進(jìn)行分式運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成任務(wù)．解：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)任務(wù)一：小聰同學(xué)的求解過(guò)程從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)任務(wù)二：請(qǐng)你寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．【答案】(1)二(2)【分析】本題主要考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行分析，即可解題；（2）利用分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行正確計(jì)算，即可解題．【詳解】（1）小聰同學(xué)的求解過(guò)程從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）．【變式3-3】以下是小明同學(xué)完成課本129頁(yè)計(jì)算的解答過(guò)程．解：①②③④⑤小明的解答過(guò)程對(duì)嗎？如果正確，請(qǐng)寫(xiě)出每一步運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)；如果不對(duì)，請(qǐng)寫(xiě)出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】小明的解答過(guò)程錯(cuò)誤，錯(cuò)誤出現(xiàn)在第③步，見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)以及分式的加減運(yùn)算法則去判斷即可求解．【詳解】解：小明的解答過(guò)程錯(cuò)誤，錯(cuò)誤出現(xiàn)在第③步，正確的解題過(guò)程如下：．類(lèi)型四、分式的混合運(yùn)算規(guī)律探究問(wèn)題1.先算前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律：題目通常會(huì)讓你計(jì)算n=1,n=2,n=3...時(shí)的結(jié)果。你先把這幾項(xiàng)的結(jié)果算出來(lái)，寫(xiě)在一起。2.觀察結(jié)果，總結(jié)通項(xiàng)：仔細(xì)看一下你算出來(lái)的這幾個(gè)結(jié)果，看看分子、分母和序號(hào)n之間有什么聯(lián)系。試著用n把這個(gè)規(guī)律表示出來(lái)，這就是通項(xiàng)公式。3.驗(yàn)證規(guī)律，確保正確：找到規(guī)律后，最好再用n=4或n=5驗(yàn)證一下。把值代入你總結(jié)的公式，看結(jié)果是否和直接計(jì)算的一樣。例4．觀察下列一組等式，根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答問(wèn)題：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；…(1)第5個(gè)等式是_______________；(2)用含（為正整數(shù)）的代數(shù)式表示第個(gè)等式，并證明等式的正確性．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、分式的加減乘除混合運(yùn)算，數(shù)字規(guī)律，列代數(shù)式，關(guān)鍵是找出數(shù)字的規(guī)律變化．(1)觀察規(guī)律寫(xiě)出即可；(2)觀察出規(guī)律：等號(hào)左邊第一個(gè)分?jǐn)?shù)分母為n，分子比分母大1；第二個(gè)分?jǐn)?shù)分母為，分子固定為2；等號(hào)右邊的分?jǐn)?shù)分母為等號(hào)左邊兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的乘積，分子為.【詳解】（1）解：(1)第1個(gè)等式：；

第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……根據(jù)此規(guī)律，第5個(gè)等式為：.故答案為：.（2）由題目中給定的規(guī)律，第n個(gè)等式為：.下面證明：等式左邊=右邊∴.【變式4-1】觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；．．．按照以上規(guī)律，解決下冽問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第7個(gè)等式；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：_______________________（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查數(shù)字類(lèi)變化規(guī)律，仔細(xì)觀察每個(gè)式子中對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字，并找到相關(guān)系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)前5個(gè)等式得出第7個(gè)等式即可；（2）通過(guò)觀察分子和分母上的數(shù)字規(guī)律，再結(jié)合每個(gè)式子找到規(guī)律，最后寫(xiě)出即可．【詳解】（1）解：由題意可知，第7個(gè)等式為．（2）解：猜想的第個(gè)等式：，證明：∵左邊右邊，∴等式成立．【變式4-2】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：________________________；(2)猜想：用含的等式表示第個(gè)等式：________________，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；理由見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)前4個(gè)等式得出第五個(gè)等式即可；（2）通過(guò)觀察減號(hào)后面的數(shù)字規(guī)律，再結(jié)合每個(gè)式子找到規(guī)律，最后寫(xiě)出即可．本題主要考查數(shù)字類(lèi)變化規(guī)律，分式混合運(yùn)算，仔細(xì)觀察每個(gè)式子中對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字，并找到相關(guān)系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……∴第5個(gè)等式：（2）解：用含的等式表示第個(gè)等式：，理由：左邊，右邊．∴左邊右邊，即猜想的等式成立．【變式4-3】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式_____；(2)猜想并寫(xiě)出第n個(gè)等式_____（用含n的式子表示）；(3)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算說(shuō)明（2）中猜想正確．【答案】(1)；(2)；(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，理解題意，找出規(guī)律是關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料提示方法計(jì)算即可；（2）結(jié)合材料提示方法得到猜想；（3）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算判定即可．【詳解】（1）解：根據(jù)材料提示方法得到，，故答案為：；（2）解：根據(jù)材料的計(jì)算方法得到，，故答案為：；（3）解：說(shuō)明如下，左邊，∴左邊右邊，∴等式成立，即猜想正確．類(lèi)型五、分式的混合運(yùn)算假分?jǐn)?shù)問(wèn)題1.拆分假分?jǐn)?shù)：當(dāng)分式的分子次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時(shí)，就可以把它拆成一個(gè)整式加上一個(gè)真分?jǐn)?shù)。例如，(x2+2x+3)/(x+1)可以拆成(x+1)+2/(x+1)。2.拆分后再通分：拆分后，原式通常會(huì)變成幾個(gè)整式和簡(jiǎn)單分式的加減。這時(shí)候再進(jìn)行通分，計(jì)算量會(huì)比直接對(duì)假分?jǐn)?shù)通分小得多。3.利用拆分求最值：在一些求最值的題目中，拆分假分?jǐn)?shù)后可能會(huì)出現(xiàn)可以使用基本不等式的形式。這能幫你快速找到最大值或最小值。例5．分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱(chēng)這樣的分式為真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱(chēng)這樣的分式為假分式．例如：．(1)將假分式化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分式的和；(2)若x是整數(shù)，且假分式的值為正整數(shù)，求x的值；(3)若假分式化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和的形式為，A，B均為關(guān)于x的多項(xiàng)式，若，，求的最小值．【答案】(1)(2)或4或6(3)75【知識(shí)點(diǎn)】分式加減乘除混合運(yùn)算、分式化簡(jiǎn)求值【分析】本題主要考查了分式的性質(zhì)、分式的化簡(jiǎn)、分式的加減等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）仿照例題操作即可得解；（2）先將化成一個(gè)整式和真分式的和，再看真分式是整數(shù)即可得解；（3）先將式化成A的形式，再得到a和b的式子，進(jìn)而利用完全平方式求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵為正整數(shù)，，∴，∴，∵，又，且為整數(shù)，為正整數(shù)，∴或2或4，∴或4或6；（3）解：，，，，，，，，，，，當(dāng)，即時(shí)，有最小值75，的最小值為75．【變式5-1】閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”，例如：，這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式，我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如：．類(lèi)似的，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：；．請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．②把下列假分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式：______+______．(2)把分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)分式的值為整數(shù)．【答案】(1)①真；②x，；(2)，或或或【知識(shí)點(diǎn)】分式加減乘除混合運(yùn)算、分式化簡(jiǎn)求值【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)真分式的定義判斷即可；②根據(jù)材料中的方法變形即可得到結(jié)果；（2）原式利用材料中的方法變形，即可確定出分式的值為整數(shù)時(shí)整數(shù)x的值；【詳解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次數(shù)是；分母的最高次數(shù)是，分子的最高次數(shù)低于分母的最高次數(shù)，∴分式是真分式；②；故答案為：真；x，；（2）解：，∵這個(gè)分式的值為整數(shù)，∴或或或，或或或.【變式5-2】閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”．而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“真分式”．如：這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類(lèi)似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）如：；再如：．解決下列問(wèn)題：(1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）；(2)如果分式的值為整數(shù)，求出所有符合條件的整數(shù)x的值．(3)把分式化成一個(gè)帶分式（即：整式與真分式的和的形式），體現(xiàn)化簡(jiǎn)過(guò)程．【答案】(1)假(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷、分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了分式的加減法、分式的定義，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由假分式的定義即可判斷得解；（2）依據(jù)題意得，結(jié)合題意可得從而求出結(jié)果；（3）根據(jù)題意化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意，∵當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”，∴分式是假分式．故答案為：假；（2）由題意得：，分式的值為整數(shù)，．或；（3）．類(lèi)型六、分式的混合運(yùn)算“倒數(shù)法”求值問(wèn)題1.

取倒數(shù)，化繁為簡(jiǎn)：如果題目給的條件或要求的式子看起來(lái)很復(fù)雜，像是一個(gè)分式套分式，就可以嘗試對(duì)它取倒數(shù)。取倒數(shù)后，復(fù)雜的分式結(jié)構(gòu)常常會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。2.

結(jié)合已知條件：取倒數(shù)后，得到的新等式通常能和題目給的已知條件聯(lián)系起來(lái)。你可以把已知條件代入，快速求出這個(gè)倒數(shù)的值。3.

再倒回來(lái)，得到答案：求出倒數(shù)的值后，再取一次倒數(shù)，就能得到原來(lái)那個(gè)復(fù)雜式子的值了。例6．閱讀下面的解題過(guò)程：已知：，求的值．解：由，可知，，即①②，故的值為．(1)第②步運(yùn)用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）(2)上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：已知：，求的值；(3)已知：，求的值．【答案】(1)或(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值、分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算以及倒數(shù)法的應(yīng)用，讀懂題意并能正確應(yīng)用倒數(shù)法解題是關(guān)鍵．（1）由完全平方公式變化得到結(jié)果；（2）仿照示例，應(yīng)用倒數(shù)法，可求得結(jié)果；（3）先分別求出的值，應(yīng)用倒數(shù)法，即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：或；（2）；（3）．【變式6-1】（一）操作發(fā)現(xiàn)：閱讀下列解題過(guò)程：已知，求的值．解：由，知，所以，即．，的值為7的倒數(shù)，即．以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數(shù)”，然后求出待求式子倒數(shù)的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數(shù)法”，（二）實(shí)踐探索：請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面問(wèn)題：已知，求的值．（三）問(wèn)題解決：已知：．求代數(shù)式的值．【答案】實(shí)踐探索：；問(wèn)題解決：6【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)、通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值、分式的求值、分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】實(shí)踐探索：把已知等式變形求出的值，再把所求的式子變形后進(jìn)行計(jì)算即可；問(wèn)題解決：得出，，，求出，得出，，，再求出結(jié)果即可．【詳解】實(shí)踐探索：解：由，知，∴，∴，∴，∴，∴的值為61的倒數(shù)，即．問(wèn)題解決：由可知：，，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了分式加減運(yùn)算，倒數(shù)定義，完全平方公式的變形求值，理解例題的思路是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】閱讀下面的解題過(guò)程：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值為該題的解法叫“倒數(shù)法”，請(qǐng)你也利用“倒數(shù)法”解決下列問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)拓展：已知，，，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值、分式加減乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了分式的運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式分解因式，解決本題的關(guān)鍵是理解題目給出的解題思路，仿照例題的解題思路解題．根據(jù)可得，根據(jù)求出的值，可得；仿照例題先求倒數(shù)可得：，根據(jù)可求的值，可得；仿照例題求倒數(shù)可得：，，，可得，所以可得，利用倒數(shù)法可得．【詳解】（1）解：，可知，，，，；（2）解：，可知，，，，，；（3）解：，，，可知，，，，，，，，，，，，．【變式6-3】閱讀下面的解題過(guò)程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：已知，求的值．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】倒數(shù)、分式加減乘除混合運(yùn)算、分式化簡(jiǎn)求值【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意求出的值，再求出代數(shù)式倒數(shù)的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：由知，即，．類(lèi)型七、分式的混合運(yùn)算新定義型問(wèn)題1.

仔細(xì)審題，吃透定義：這是最關(guān)鍵的一步。題目會(huì)用一個(gè)新的符號(hào)（比如※、⊕、△等）來(lái)定義一種新的運(yùn)算。你需要仔細(xì)閱讀這個(gè)定義，弄清楚它到底代表什么樣的計(jì)算過(guò)程。2.

套用公式，代入計(jì)算：理解新定義后，把題目給出的具體數(shù)字或字母，嚴(yán)格按照定義的運(yùn)算順序代入進(jìn)去。這就像套用一個(gè)新的數(shù)學(xué)公式一樣。3.

結(jié)合已有知識(shí)，綜合求解：在套用新定義的同時(shí)，別忘了分式運(yùn)算的基本法則。在新定義的運(yùn)算過(guò)程中，可能還會(huì)涉及到分式的化簡(jiǎn)、通分等，這些都需要用我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決。例7．定義：如果一個(gè)分式能夠化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱(chēng)這個(gè)分式為“和美分式”，如：(1)下列分式中，屬于“和美分式”的是（填序號(hào)）；①②③④(2)請(qǐng)將“和美分式”化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式；(3)若為整數(shù)，且“和美分式”的值也為整數(shù)，求符合條件的整數(shù)x的所有取值．【答案】(1)①②③(2)(3)，，，【分析】本題考查了分式的加減，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)和美分式的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)和美分式的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）先把化為，根據(jù)為整數(shù)，也為整數(shù)，可得，或，即可求出答案．【詳解】（1）解：①，②，③，④不能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，上列分式中，屬于“和美分式”的是①②③，故答案為：①②③；（2）；（3）為整數(shù)，也為整數(shù)，，或，或或或．【變式7-1】定義：若分式與分式的差等于它們的積．即，則稱(chēng)分式是分式的“友好分式”．如與．因?yàn)?，．所以是的“友好分式”?1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表達(dá)式；②若整數(shù)x使得分式A的值是正整數(shù)，求分式A的值．【答案】(1)是(2)①；②1?,3?或4?【分析】分析??（1）計(jì)算和?，判斷是否相等．??（2）???①?設(shè)分式A，由定義，解方程求A．?②?令A(yù)為正整數(shù)，求整數(shù)x，再得A的值．【詳解】（1）解：設(shè)．，，故?是的“友好分式”，故答案為：?是；（2）???①?分式是分式A的“友好分式”，設(shè)分式．則移項(xiàng)，得，，，，分式A為??．?②?，要求A為正整數(shù)，x為整數(shù)且．令（k正整數(shù)），則：，，，，x整數(shù)，故k?2整除2，即：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)（舍去，非正整數(shù)）A的值為1?,3?或4?．【點(diǎn)睛】本題考查了分式運(yùn)算（減法、乘法）、分式有意義的條件，解方程、整數(shù)解問(wèn)題．解題的?關(guān)鍵?是理解新定義“友好分式”（差等于積），并轉(zhuǎn)化為方程求解．【變式7-2】定義：如果兩個(gè)分式A與B的差為1，則稱(chēng)A是B的“最友好分式”，如分式，則A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，請(qǐng)判斷C是否為D的“最友好分式”，并說(shuō)明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若為定值，求m與n之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由見(jiàn)解析(2)①，②【分析】本題主要考查新定義下分式的混合運(yùn)算和解一元一次方程，（1）根據(jù)“最友好分式”的定義，計(jì)算的值即可；（2）①根據(jù)題意得，結(jié)合E是F的“最友好分式”可求得；②當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，設(shè)，可得，結(jié)合定值得且，即可求得m和n之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：∵∴C是D的“最友好分式”；（2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”，∴，解得；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，∴，∴，∵為定值，∴且，由解得，把代入，得∴．【變式7-3】定義：若分式A與分式B的和等于它們的積的倍（為常數(shù)，），即，則稱(chēng)分式互為“n倍和積分式”．例如與，因?yàn)?，，所以與互為“2倍和積分式”．(1)下列每組兩個(gè)分式互為“倍和積分式”的是______；（填序號(hào)）①與，②與，③與，④與．(2)已知與互為“n倍和積分式”，則n的值為_(kāi)_____；(3)若分式與分式互為“倍和積分式”，則分式為_(kāi)_____；(4)若關(guān)于x的分式與（為常數(shù)）互為“n倍和積分式”，則的值為_(kāi)_____．【答案】(1)②④(2)(3)(4)【分析】本題主要考查分式的混合運(yùn)算、解一元一次方程方程，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)新定義“n倍和積分式”的理解與應(yīng)用，涉及分式的運(yùn)算、方程求解及代數(shù)變形能力．（1）逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的和與積是否成固定倍數(shù)關(guān)系；（2）正確通分并化簡(jiǎn)，注意分母變形技巧；（3）設(shè)未知分式A，建立方程并解出A；（4）通過(guò)分式恒等條件，建立關(guān)于p和q的方程，消去n后求代數(shù)式的值．【詳解】（1）解：對(duì)于①，，，所以與不是互為“n倍和積分式”；對(duì)于②，，，所以與互為“4倍和積分式”；對(duì)于③，，，所以與不是互為“n倍和積分式”；對(duì)于④，，，，所以與互為“倍和積分式”；故答案為：②④；（2）解：因?yàn)榕c互為“n倍和積分式”，所以，，，所以與互為“倍和積分式”，n的值為，故答案為：；（3）解：分式與分式互為“倍和積分式”，所以，即，所以，所以，，故答案為：；（4）解：若關(guān)于x的分式與（為常數(shù)）互為“n倍和積分式”，所以，，所以可得：，，即，．故答案為：．一、單選題1．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了分式的乘除運(yùn)算，掌握分式的乘除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用分式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：B．2．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．依次對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分式的運(yùn)算，判斷其計(jì)算是否正確即可．【詳解】解：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故B項(xiàng)正確，符合題意；，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．3．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則M等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了分式的乘法和除法，由題意可得，結(jié)合分式的除法法則計(jì)算即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故選：C．4．（25-26七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）若，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分式的通分、解二元一次方程組，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的運(yùn)算法則．先根據(jù)分式的通分求出，再求解即可．【詳解】解：，，，解得．故選：．5．（2025·山東威?！ひ荒＃┒x運(yùn)算：（，且為正整數(shù)）．若，；；…，化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，分式的加法運(yùn)算，先根據(jù)給定的式子，推出，再根據(jù)異分母的分式的加法法則，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，，∴，∴；故選A．二、填空題6．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是【答案】4【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值，先把除法化為乘法，再化簡(jiǎn)，得，然后把代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：，∵，∴原式，故答案為：4．7．（2025·四川成都·三模）已知，則的值為．【答案】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是通過(guò)分式的運(yùn)算化簡(jiǎn)代數(shù)式，再代入已知條件求值．先對(duì)括號(hào)內(nèi)的分式進(jìn)行通分相加，再將分子因式分解，通過(guò)約分簡(jiǎn)化代數(shù)式；最后將已知條件整體代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算結(jié)果．【詳解】解：原式∵，∴原式的值為．故答案為：．8．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”，其規(guī)律是，則．【答案】【分析】本題考查了新定義運(yùn)算、分式乘法，根據(jù)新定義運(yùn)算規(guī)則，把原式轉(zhuǎn)化成分式運(yùn)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)新定義運(yùn)算，把原式化成分式乘法，按法則計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：．9．（2024八年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·競(jìng)賽）根據(jù)，，，，…所蘊(yùn)含的規(guī)律可得等于．【答案】【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)列的計(jì)算公式得出其循環(huán)周期是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分別用含的式子表示出、、、，從而得出數(shù)列的循環(huán)周期為3，據(jù)此即可得解答．【詳解】解：，，，，每3個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，，，故答案為：．10．（24-25七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等2式；第3個(gè)等式；第4個(gè)等式；……按照以上規(guī)律，寫(xiě)出第10個(gè)等式．【答案】【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，整式混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是由所給的等式分析歸納出存在的規(guī)律．根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行分析歸納第n個(gè)等式為：，然后將代入即得．【詳解】解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等2式；第3個(gè)等式；第4個(gè)等式；……，第n個(gè)等式，當(dāng)時(shí)，．．三、解答題11．（25-26八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查了分式的乘除運(yùn)算，熟練掌握因式分解和分式乘除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，通過(guò)約分計(jì)算．（2）先利用平方差公式對(duì)因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，通過(guò)約分計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（25-26八年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先計(jì)算乘方，再算乘除法，最后算加減；（2）先算括號(hào)里的，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法后分解因式進(jìn)行約分；（3）先算乘方和括號(hào)里的，再算加減；本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握因式分解和相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉進(jìn)行分式化簡(jiǎn)求值的過(guò)程．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．解：原式…第一步…第二步…第三步當(dāng)時(shí)，原式．…第四步(1)嘉嘉的解題過(guò)程中，從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．【答案】(1)一(2)，原式的值為【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算分式的除法，再算加減，逐一判斷即可解答；（2）先計(jì)算分式的除法，再算加減，即可解答．【詳解】（1）解：嘉嘉的解題過(guò)程中，從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：一；（2）解：正確的解題過(guò)程如下：原式，當(dāng)時(shí)，原式．14．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知分式，分式，分式．(1)為何值時(shí)，分式A和分式B的值相等？(2)當(dāng)時(shí)，求分式的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值、列分式方程、解分式方程等，掌握這些是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)分式值相等列出方程，通過(guò)因式分解、去分母求解，再檢驗(yàn)解的合理性；（2）先將分式除法轉(zhuǎn)化為乘法，化簡(jiǎn)后進(jìn)行減法運(yùn)算．再代入x的值計(jì)算結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由題意得：去分母得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解．所以，當(dāng)時(shí)，分式和分式的值相等.（2）由題意得：，當(dāng)時(shí)，原式．所以當(dāng)時(shí)，求分式的值為．15．（25-26八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）（1）已知：，，，若，求．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，且為滿足?的整數(shù)．【答案】（1）（2）?；?；【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）先對(duì)、、進(jìn)行因式分解，再根據(jù)，通過(guò)分式的乘除運(yùn)算求出．（2）先對(duì)括號(hào)內(nèi)的分式進(jìn)行因式分解，再通分計(jì)算，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后根據(jù)分式有意義的條件確定的值，代入求值．【詳解】解：（1）∵，，，，∴，，；（2）原式；∵且且，且為整數(shù)，∴，原式．16．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）【觀察】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：【類(lèi)比】（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式．【猜想、驗(yàn)證】（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律探究、列代數(shù)式，整式的運(yùn)算．（1）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫(xiě)出第5個(gè)等式；（2）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫(xiě)出猜想，然后將等式左邊展開(kāi)，看是否相等即可證明猜想．【詳解】解：（1）．（2）第n個(gè)等式為．證明：∵，∴猜想成立．17．（24-25八年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）閱讀理解題．我們定義：如果兩個(gè)分式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱(chēng)A是B的“和諧式”，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為A關(guān)于B的“和諧值”．例：分式，，，則A是B的“和諧式”，A關(guān)于B的“和諧值”為2．(1)已知分式，，判斷C是否為D的“和諧式”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：若是，請(qǐng)求出C關(guān)于D的“和諧值”．(2)已知分式，，M是N的“和諧式”，M關(guān)于N的“和諧值”是1，x為整數(shù)，且M的值也為整數(shù)，①求E所表示的代數(shù)式．②求所有符合條件的x的值．【答案】(1)C不是D的“和諧式”，理由見(jiàn)解析(2)①；②0，2，4，6【分析】本題主要考查了分式的減法計(jì)算，正確理解“和諧式”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）計(jì)算出的結(jié)果，再根據(jù)“和諧式”的定義求解即可；（2）①根據(jù)“和諧式”的定義得到，則，據(jù)此求解即可；②根