1/10專題14分式運(yùn)算與規(guī)律、新定義型問(wèn)題的七類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、分式的混合運(yùn)算問(wèn)題類型二、分式的混合運(yùn)算先化簡(jiǎn)求值問(wèn)題類型三、分式的混合運(yùn)算錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題類型四、分式的混合運(yùn)算規(guī)律探究問(wèn)題類型五、分式的混合運(yùn)算假分?jǐn)?shù)問(wèn)題類型六、分式的混合運(yùn)算“倒數(shù)法”求值問(wèn)題類型七、分式的混合運(yùn)算新定義型問(wèn)題壓軸專練類型一、分式的混合運(yùn)算問(wèn)題1.遵循運(yùn)算順序：和有理數(shù)混合運(yùn)算一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減。如果有括號(hào)，要先算括號(hào)里面的。2.靈活運(yùn)用乘法公式：在計(jì)算過(guò)程中，要留意分子和分母是否能使用乘法公式，比如平方差公式或完全平方公式。用對(duì)公式可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。3.及時(shí)化簡(jiǎn)：每一步運(yùn)算完成后，都要檢查分子和分母是否有公因式。能約分的一定要先約分，這樣可以避免最后處理大數(shù)字，讓計(jì)算更簡(jiǎn)單。例1．化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【變式1-1】計(jì)算：(1)；(2)．【變式1-2】計(jì)算：(1)；(2)【變式1-3】化簡(jiǎn)：(1)；(2)．類型二、分式的混合運(yùn)算先化簡(jiǎn)求值問(wèn)題1.先化簡(jiǎn)，再代入：這是最關(guān)鍵的一步。先把整個(gè)分式表達(dá)式化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式，再把字母的值代進(jìn)去計(jì)算。千萬(wàn)不要直接代入，那樣計(jì)算量會(huì)非常大。2.化簡(jiǎn)時(shí)注意運(yùn)算順序：化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循"先乘方，再乘除，最后算加減"的順序。有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。3.代入前先檢驗(yàn)：把字母的值代入原式的分母和除式中，檢查是否會(huì)使它們等于0。如果等于0，這個(gè)值就不能用，題目可能需要你重新選擇一個(gè)合適的值代入。例2．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式2-1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【變式2-2】先化簡(jiǎn)：，再?gòu)模?，2中選擇一個(gè)合適的值代入求值．【變式2-3】化簡(jiǎn)求值：，從不等式中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．類型三、分式的混合運(yùn)算錯(cuò)解復(fù)原問(wèn)題1.

順著錯(cuò)解，倒推條件：仔細(xì)閱讀題目，找出"小明"或"小紅"是在哪一步、因?yàn)槭裁匆?guī)則用錯(cuò)了。然后，順著他的錯(cuò)誤步驟和得到的錯(cuò)誤結(jié)果，反向推算出題目中隱藏的關(guān)鍵信息，比如某個(gè)字母的值。2.

回到正軌，正確化簡(jiǎn)：拿到正確的條件后，把它當(dāng)作一道全新的"先化簡(jiǎn)再求值"問(wèn)題。完全忘掉之前的錯(cuò)誤解法，按照正確的運(yùn)算順序和分式化簡(jiǎn)規(guī)則，重新把原式化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)形式。3.

代入計(jì)算，得出正解：最后，將之前推算出的正確條件代入到化簡(jiǎn)好的式子中，進(jìn)行計(jì)算，得出正確的最終答案。例3．下面是小華化簡(jiǎn)分式的過(guò)程：解：原式．第一步第二步第三步(1)小華的化簡(jiǎn)過(guò)程從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫(xiě)出正確的化簡(jiǎn)過(guò)程，并從2，3，4，5中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【變式3-1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．小文的部分解答過(guò)程如下：原式……①……②……③當(dāng)時(shí)，原式．請(qǐng)指出小文解答過(guò)程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【變式3-2】下面是小聰同學(xué)進(jìn)行分式運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成任務(wù)．解：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)任務(wù)一：小聰同學(xué)的求解過(guò)程從第________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)任務(wù)二：請(qǐng)你寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．【變式3-3】以下是小明同學(xué)完成課本129頁(yè)計(jì)算的解答過(guò)程．解：①②③④⑤小明的解答過(guò)程對(duì)嗎？如果正確，請(qǐng)寫(xiě)出每一步運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)；如果不對(duì)，請(qǐng)寫(xiě)出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．類型四、分式的混合運(yùn)算規(guī)律探究問(wèn)題1.先算前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律：題目通常會(huì)讓你計(jì)算n=1,n=2,n=3...時(shí)的結(jié)果。你先把這幾項(xiàng)的結(jié)果算出來(lái)，寫(xiě)在一起。2.觀察結(jié)果，總結(jié)通項(xiàng)：仔細(xì)看一下你算出來(lái)的這幾個(gè)結(jié)果，看看分子、分母和序號(hào)n之間有什么聯(lián)系。試著用n把這個(gè)規(guī)律表示出來(lái)，這就是通項(xiàng)公式。3.驗(yàn)證規(guī)律，確保正確：找到規(guī)律后，最好再用n=4或n=5驗(yàn)證一下。把值代入你總結(jié)的公式，看結(jié)果是否和直接計(jì)算的一樣。例4．觀察下列一組等式，根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答問(wèn)題：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；…(1)第5個(gè)等式是_______________；(2)用含（為正整數(shù)）的代數(shù)式表示第個(gè)等式，并證明等式的正確性．【變式4-1】觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；．．．按照以上規(guī)律，解決下冽問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第7個(gè)等式；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：_______________________（用含的等式表示），并證明．【變式4-2】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：________________________；(2)猜想：用含的等式表示第個(gè)等式：________________，并說(shuō)明理由．【變式4-3】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式_____；(2)猜想并寫(xiě)出第n個(gè)等式_____（用含n的式子表示）；(3)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算說(shuō)明（2）中猜想正確．類型五、分式的混合運(yùn)算假分?jǐn)?shù)問(wèn)題1.拆分假分?jǐn)?shù)：當(dāng)分式的分子次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時(shí)，就可以把它拆成一個(gè)整式加上一個(gè)真分?jǐn)?shù)。例如，(x2+2x+3)/(x+1)可以拆成(x+1)+2/(x+1)。2.拆分后再通分：拆分后，原式通常會(huì)變成幾個(gè)整式和簡(jiǎn)單分式的加減。這時(shí)候再進(jìn)行通分，計(jì)算量會(huì)比直接對(duì)假分?jǐn)?shù)通分小得多。3.利用拆分求最值：在一些求最值的題目中，拆分假分?jǐn)?shù)后可能會(huì)出現(xiàn)可以使用基本不等式的形式。這能幫你快速找到最大值或最小值。例5．分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如：．(1)將假分式化為一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分式的和；(2)若x是整數(shù)，且假分式的值為正整數(shù)，求x的值；(3)若假分式化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和的形式為，A，B均為關(guān)于x的多項(xiàng)式，若，，求的最小值．【變式5-1】閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：，這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式，我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如：．類似的，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：；．請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．②把下列假分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式：______+______．(2)把分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)分式的值為整數(shù)．【變式5-2】閱讀下列材料：通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”．而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如：這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）如：；再如：．解決下列問(wèn)題：(1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）；(2)如果分式的值為整數(shù)，求出所有符合條件的整數(shù)x的值．(3)把分式化成一個(gè)帶分式（即：整式與真分式的和的形式），體現(xiàn)化簡(jiǎn)過(guò)程．類型六、分式的混合運(yùn)算“倒數(shù)法”求值問(wèn)題1.

取倒數(shù)，化繁為簡(jiǎn)：如果題目給的條件或要求的式子看起來(lái)很復(fù)雜，像是一個(gè)分式套分式，就可以嘗試對(duì)它取倒數(shù)。取倒數(shù)后，復(fù)雜的分式結(jié)構(gòu)常常會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。2.

結(jié)合已知條件：取倒數(shù)后，得到的新等式通常能和題目給的已知條件聯(lián)系起來(lái)。你可以把已知條件代入，快速求出這個(gè)倒數(shù)的值。3.

再倒回來(lái)，得到答案：求出倒數(shù)的值后，再取一次倒數(shù)，就能得到原來(lái)那個(gè)復(fù)雜式子的值了。例6．閱讀下面的解題過(guò)程：已知：，求的值．解：由，可知，，即①②，故的值為．(1)第②步運(yùn)用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）(2)上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：已知：，求的值；(3)已知：，求的值．【變式6-1】（一）操作發(fā)現(xiàn)：閱讀下列解題過(guò)程：已知，求的值．解：由，知，所以，即．，的值為7的倒數(shù)，即．以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數(shù)”，然后求出待求式子倒數(shù)的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數(shù)法”，（二）實(shí)踐探索：請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面問(wèn)題：已知，求的值．（三）問(wèn)題解決：已知：．求代數(shù)式的值．【變式6-2】閱讀下面的解題過(guò)程：已知，求的值．解：由知，所以，即所以：所以的值為該題的解法叫“倒數(shù)法”，請(qǐng)你也利用“倒數(shù)法”解決下列問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)拓展：已知，，，求的值．【變式6-3】閱讀下面的解題過(guò)程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：已知，求的值．類型七、分式的混合運(yùn)算新定義型問(wèn)題1.

仔細(xì)審題，吃透定義：這是最關(guān)鍵的一步。題目會(huì)用一個(gè)新的符號(hào)（比如※、⊕、△等）來(lái)定義一種新的運(yùn)算。你需要仔細(xì)閱讀這個(gè)定義，弄清楚它到底代表什么樣的計(jì)算過(guò)程。2.

套用公式，代入計(jì)算：理解新定義后，把題目給出的具體數(shù)字或字母，嚴(yán)格按照定義的運(yùn)算順序代入進(jìn)去。這就像套用一個(gè)新的數(shù)學(xué)公式一樣。3.

結(jié)合已有知識(shí)，綜合求解：在套用新定義的同時(shí)，別忘了分式運(yùn)算的基本法則。在新定義的運(yùn)算過(guò)程中，可能還會(huì)涉及到分式的化簡(jiǎn)、通分等，這些都需要用我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決。例7．定義：如果一個(gè)分式能夠化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和美分式”，如：(1)下列分式中，屬于“和美分式”的是（填序號(hào)）；①②③④(2)請(qǐng)將“和美分式”化為一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式；(3)若為整數(shù)，且“和美分式”的值也為整數(shù)，求符合條件的整數(shù)x的所有取值．【變式7-1】定義：若分式與分式的差等于它們的積．即，則稱分式是分式的“友好分式”．如與．因?yàn)?，．所以是的“友好分式”?1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表達(dá)式；②若整數(shù)x使得分式A的值是正整數(shù)，求分式A的值．【變式7-2】定義：如果兩個(gè)分式A與B的差為1，則稱A是B的“最友好分式”，如分式，則A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，請(qǐng)判斷C是否為D的“最友好分式”，并說(shuō)明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若為定值，求m與n之間的數(shù)量關(guān)系．【變式7-3】定義：若分式A與分式B的和等于它們的積的倍（為常數(shù)，），即，則稱分式互為“n倍和積分式”．例如與，因?yàn)椋?，所以與互為“2倍和積分式”．(1)下列每組兩個(gè)分式互為“倍和積分式”的是______；（填序號(hào)）①與，②與，③與，④與．(2)已知與互為“n倍和積分式”，則n的值為_(kāi)_____；(3)若分式與分式互為“倍和積分式”，則分式為_(kāi)_____；(4)若關(guān)于x的分式與（為常數(shù)）互為“n倍和積分式”，則的值為_(kāi)_____．一、單選題1．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則M等于（

）A． B． C． D．4．（25-26七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）若，則（

）A．， B．， C．， D．，5．（2025·山東威?！ひ荒＃┒x運(yùn)算：（，且為正整數(shù)）．若，；；…，化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是7．（2025·四川成都·三模）已知，則的值為．8．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”，其規(guī)律是，則．9．（2024八年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·競(jìng)賽）根據(jù)，，，，…所蘊(yùn)含的規(guī)律可得等于．10．（24-25七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等2式；第3個(gè)等式；第4個(gè)等式；……按照以上規(guī)律，寫(xiě)出第10個(gè)等式．三、解答題11．（25-26八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．12．（25-26八年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．13．（2025·河北·一模）下面是嘉嘉進(jìn)行分式化簡(jiǎn)求值的過(guò)程．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．解：原式…第一步…第二步…第三步當(dāng)時(shí)，原式．…第四步(1)嘉嘉的解題過(guò)程中，從第______步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解題過(guò)程．14．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知分式，分式，分式．(1)為何值時(shí)，分式A和分式B的值相等？(2)當(dāng)時(shí)，求分式的值．15．（25-26八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）（1）已知：，，，若，求．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，且為滿足?的整數(shù)．16．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）【觀察】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：【類比】（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式．【猜想、驗(yàn)證】（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．17．（24-25八年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）閱讀理解題．我們定義：如果兩個(gè)分式A與B的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“和諧式”，這個(gè)常數(shù)稱為A關(guān)于B的“和諧值”．例：分式，，，則A是B的“和諧式”，A關(guān)于B的“和諧值”為2．(1)已知分式，，判斷C是否為D的“和諧式”．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：若是，請(qǐng)求出C關(guān)于D的“和諧值”．(2)已知分