1/10專題15分式方程與參數(shù)、規(guī)律、新定義型問題的七類綜合題型目錄TOC\o"1-2"\h\u典例詳解類型一、解分式方程類型二、解分式方程錯(cuò)解復(fù)原問題類型三、已知分式方程的增根求參數(shù)類型四、已知分式方程的無解求參數(shù)類型五、根據(jù)分式方程解的情況求值類型六、分式方程中的規(guī)律探究問題類型七、分式方程中的新定義型問題壓軸專練類型一、解分式方程1.去分母，化為整式方程：首先找到所有分母的最簡公分母。然后方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)最簡公分母。這樣可以消去所有分母，把方程變成一個(gè)整式方程。2.解這個(gè)整式方程：用學(xué)過的方法解這個(gè)整式方程，求出未知數(shù)的值。3.檢驗(yàn)根的有效性：這是最關(guān)鍵的一步。把求出的未知數(shù)的值代入最簡公分母。如果結(jié)果不等于0，這個(gè)解就是原分式方程的解。如果等于0，這個(gè)解就是增根，原方程無解。例1．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)【分析】本題主要考查了解分式方程．（1）將分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后將所求的方程的解代入分式方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．（2）將分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后將所求的方程的解代入分式方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】（1）解：去分母得：整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，∴是分式方程的增根，∴原方程無解．（2）解：去分母得：，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原方程的解是．【變式1-1】解方程：(1)；(2)．【答案】(1)是原方程的解(2)原方程無解【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得；（2）先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】（1）解：去分母得，解得

檢驗(yàn)：將代入∴是原方程的解；（2）解：去分母得，解得檢驗(yàn)：將代入∴是原方程的增根∴原方程無解．【變式1-2】解方程．(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵，注意驗(yàn)根．（1）方程兩邊同乘，變成整式方程，解整式方程，再檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊同乘，變成整式方程，解整式方程，再檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解．（2）方程兩邊同乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴不是原方程的解．即原方程無解．【變式1-3】解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解．【分析】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．（1）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊都乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以分式方程的解是；（2）解：，，方程兩邊都乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是增根，即分式方程無解．類型二、解分式方程錯(cuò)解復(fù)原問題1.定位錯(cuò)誤，反推條件：仔細(xì)閱讀題目，找出"小明"或"小紅"是在哪一步出錯(cuò)的。通常是去分母時(shí)漏乘了不含分母的項(xiàng)，或忘記檢驗(yàn)導(dǎo)致保留了增根。順著他的錯(cuò)誤步驟和得到的結(jié)果，反向推算出題目中隱藏的關(guān)鍵信息。2.使用正確條件，重新求解：拿到正確的條件后，把它當(dāng)作一道全新的解分式方程問題。完全忘掉之前的錯(cuò)誤解法，按照**"去分母、解整式方程、檢驗(yàn)"**的正確步驟重新解一遍。3.得出正確答案：最后，根據(jù)正確的解題過程，得出原分式方程的正確解。例2．對于分式方程的求解過程，小葉同學(xué)的解答如下．解：方程兩邊同乘，得，

第一步，

第二步．

第三步檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，所以，是分式方程的解．

第四步小芳同學(xué)發(fā)現(xiàn)小葉的解法有錯(cuò)誤，請你回答：(1)小葉的解法從第_______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請寫出正確的解答過程．【答案】(1)一(2)，過程見解析【分析】本題主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）第一步去分母時(shí)方程右邊的1沒有乘以公分母，據(jù)此可得答案；（2）先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即可得到答案．【詳解】（1）解：觀察解題過程可知，從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是去分母時(shí)方程右邊的1沒有乘以公分母；（2）解：方程兩邊同乘，得，∴，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解．【變式2-1】下面是小亮同學(xué)解方程的過程，請閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：去分母得，，第一步，去括號得，，第二步，解得，．第三步，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，第四步，∴是原方程的根，第五步．任務(wù)：(1)小亮同學(xué)的求解過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是；(2)請你改正并寫出完整的解方程過程；(3)解分式方程產(chǎn)生增根的原因是．【答案】(1)一，去分母時(shí)3沒有乘最簡公分母；(2)正確過程見解析；(3)去分母時(shí)，在分式方程兩邊同乘最簡公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，若該整式方程的解恰好使最簡公分母為零，就產(chǎn)生增根．【分析】此題考查了解分式方程，分式方程的增根，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）觀察小亮解分式方程的過程，找出出錯(cuò)的步驟，分析錯(cuò)誤原因即可；（2）寫出正確的解方程過程即可；（3）分析解分式方程產(chǎn)生增根的原因即可．【詳解】（1）解：小亮同學(xué)的求解過程從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去分母時(shí)3沒有乘最簡公分母；故答案為：一，去分母時(shí)3沒有乘最簡公分母；（2）解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，解得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是增根，分式方程無解；（3）解：解分式方程產(chǎn)生增根的原因是去分母時(shí)，在分式方程兩邊同乘最簡公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，若該整式方程的解恰好使最簡公分母為零，就產(chǎn)生增根．故答案為：去分母時(shí)，在分式方程兩邊同乘最簡公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，若該整式方程的解恰好使最簡公分母為零，就產(chǎn)生增根．【變式2-2】佳佳計(jì)算分式方程的過程如下：解方程：去分母，得

第①步移項(xiàng)，得

第②步合并同類項(xiàng)，得

第③步系數(shù)化1，得

第④步經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解．(1)佳佳在計(jì)算過程中，第一次出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是_______（填序號）：(2)請你寫出正確的解答過程．【答案】(1)①(2)【分析】本題考查了解分式方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）觀察式子特征，第一次出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，即可作答．（2）先把分式方程化為整式方程，再解出，驗(yàn)根，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，第一次出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，則正確的是：去分母得．（2）解：去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解．【變式2-3】解分式方程：．下面是解題過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．解：………第一步…………第二步……第三步解得：……第四步任務(wù)一：填空（1）第______步是去分母，去分母的依據(jù)是______．（2）第______步出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______．任務(wù)二：填空（3）直接寫出該分式方程的正確結(jié)果______．（4）解完分式方程，最后還少了一步，請補(bǔ)充完整．【答案】（1）二，等式的性質(zhì)2；（2）三，去括號時(shí)忘記變號；（3）；（4）見解析【分析】本題考查解分式方程．根據(jù)題意逐一對步驟進(jìn)行分析，并解出最后答案即可．【詳解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2，即等式兩邊同時(shí)乘以相同的數(shù)，等式大小不變，故答案為：二，等式的性質(zhì)2；（2）第三步出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)橥耆椒秸归_后去括號忘記變號了，故答案為：三，去括號時(shí)忘記變號；（3），，，，解得：，檢驗(yàn)：將代入分式方程，方程有解，∴為分式方程的解；（4）最后一步忘記檢驗(yàn)檢驗(yàn)：將代入分式方程，方程有解，∴為分式方程的解．類型三、已知分式方程的增根求參數(shù)1.

確定增根的可能值：讓原分式方程的每個(gè)分母都等于0，解出的x值就是增根的"候選"。這一步是解題的關(guān)鍵前提。2.

代入整式方程求參數(shù)：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。這樣就可以解出題目中要求的參數(shù)值。3.

結(jié)果驗(yàn)證：把求出的參數(shù)值代入原分式方程。檢查它是否真的會(huì)導(dǎo)致方程產(chǎn)生增根，而不是讓方程無解。這一步能確保你的答案萬無一失。例3．關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為；【答案】【知識點(diǎn)】解分式方程（化為一元一次）、分式方程無解問題【分析】本題考查了分式方程有增根的問題，解題的關(guān)鍵是理解增根的含義．依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的步驟是：①分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；②由題意求出增根；③將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：，分式方程有增根，最簡公分母，解得，，將代入，得，故答案為：【變式3-1】若關(guān)于x的方程有增根，則a的值是．【答案】【知識點(diǎn)】分式方程無解問題【分析】本題考查分式的增根問題，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母為0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值．【詳解】解：由分式方程的最簡公分母是，得分式方程的增根是.分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程為，把代入，得，解得．故答案為：．【變式3-2】當(dāng)時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根．【答案】【知識點(diǎn)】分式無意義的條件、分式方程無解問題【分析】本題考查了分式方程的增根，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的父母為的根．先把方程化為整式方程得到，根據(jù)題意得到，，代入求出．【詳解】解：把方程化為整式方程得，方程有增根，，，把代入得，，故答案為：．【變式3-3】若分式方程有增根，則它的增根是．【答案】【知識點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、分式方程無解問題【分析】本題主要考查了分式方程的增根．熟練掌握增根的意義和產(chǎn)生過程，是解決問題的關(guān)鍵．去分母化分式方程為整式方程，讓最簡公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可確定增根．【詳解】解：由，去分母，得，∵分式方程有增根，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，矛盾，a不存在．故答案為：．類型四、已知分式方程的無解求參數(shù)1.整式方程本身無解：把分式方程去分母后，會(huì)得到一個(gè)整式方程。如果這個(gè)整式方程是

0x=非零數(shù)

的形式，那么它本身就沒有解。這種情況下，原分式方程自然也無解。2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但這個(gè)解會(huì)讓原分式方程的分母為零。這個(gè)解就是增根。因此，原分式方程無解。這種情況的解法和上一輪"已知增根求參數(shù)"是一樣的。例4．關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】或或【知識點(diǎn)】分式方程無解問題【分析】本題考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)分式方程無解的兩種情況即可求出的值．【詳解】解：去分母得，，當(dāng)增根為或時(shí)，或解得或，即或時(shí)，分式方程無解，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，整式方程無解，分式方程無解，綜上可知，當(dāng)?shù)闹禐榛蚧颍蚀鸢笧椋夯蚧颉咀兪?-1】如果關(guān)于的方程無解，則的值為．【答案】或【知識點(diǎn)】解分式方程（化為一元一次）、根據(jù)分式方程解的情況求值、分式方程無解問題【分析】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，掌握方程無解時(shí)滿足的條件是解題的關(guān)鍵．先求方程的解得到，再由方程無解可得或，求出即可．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘，得，去括號得，，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，，方程無解，或，解得或，故答案為：或．【變式4-2】已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為．【答案】3【知識點(diǎn)】分式方程無解問題【分析】本題考查了分式方程的解，根據(jù)題意，解分式方程可得，因?yàn)榉匠虩o解，即，，即，求出，據(jù)此解答．【詳解】解：，去分母得：，解得，，因?yàn)榉匠虩o解，即，解得，，即，得：．故答案為：3．【變式4-3】已知關(guān)于的分式方程，若分式方程無解，則的值為．【答案】或【知識點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、分式方程無解問題【分析】本題考查了分式方程的解，根據(jù)分式方程無解，分兩種情況求解即可，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，整理得：，當(dāng)，方程無解，∴，∴原分式方程無解，當(dāng)時(shí)，，若分式方程無解，則，∴，綜上，的值為或，故答案為：或．類型五、根據(jù)分式方程解的情況求值1.方程有解：先把分式方程化為整式方程。再將解代入，確保分母不為零。這是最基礎(chǔ)的"先解方程，后代入"思路。2.方程無解：這種情況要分兩種子情況討論：-情況一：轉(zhuǎn)化后的整式方程本身無解。-情況二：整式方程有解，但這個(gè)解是原方程的增根。3.方程解為正/負(fù)數(shù)：先求出整式方程的解。然后根據(jù)要求列出不等式，如解>0或解<0。最后，一定要加上一個(gè)重要條件：解不能讓原方程的分母為零。例5．若關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．【答案】且【知識點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解為負(fù)數(shù)確定出m的范圍即可．【詳解】解：原方程去分母，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得：∵關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，∴且．∴且．故答案為：且．【變式5-1】關(guān)于x的方程的解是個(gè)正數(shù)，那么m的取值范圍是．【答案】且【知識點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識．根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是正數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不為零．【詳解】解：由原方程去分母，得，解得，關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，，解得，又，，，，故m的取值范圍為且，故答案為：且．【變式5-2】若關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，則整數(shù)m的值為．【答案】3，4，0【知識點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值【分析】本題考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根據(jù)解為整數(shù)即可求得整數(shù)m的值．【詳解】解：方程兩邊乘以，得：，整理得：；由于方程有解，則，即，∴；由于方程有整數(shù)解，則，解得：或或或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解；綜上，整數(shù)m的值為3，4，0．【變式5-3】已知分式方程．（1）若分式方程無解，則b的值為．（2）若分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍為．【答案】且【知識點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、分式方程無解問題【分析】本題考查分式方程的解，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是求解本題的關(guān)鍵．（1）先將分式方程化為整式方程，再求b．（2）先表示分式方程的解，再求范圍．【詳解】（1）方程兩邊同乘得：．∴．方程無解，，．∴．∴．故答案為：．（2）由（1）知：．∴．方程的解是非負(fù)數(shù)．∴．∴．，∴．∴．∴且故答案為：且．類型六、分式方程中的規(guī)律探究問題1.

解前幾個(gè)方程，找規(guī)律：題目通常會(huì)給你n=1,n=2,n=3...時(shí)的分式方程。你先把這幾個(gè)方程的解都求出來，然后把解和序號n放在一起觀察。2.

猜想并寫出通項(xiàng)公式：看看解的分子、分母和序號n之間有什么聯(lián)系。試著用含n的式子把這個(gè)規(guī)律表示出來，這就是通項(xiàng)公式。3.

驗(yàn)證規(guī)律的正確性：找到規(guī)律后，最好再用n=4或n=5來驗(yàn)證一下。把n值代入你總結(jié)的通項(xiàng)公式，看得到的解是否能滿足對應(yīng)的分式方程。例6．（24-25八年級下·湖北十堰·期末）下列一組方程：①；②；③；……小明通過觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，并順利地求出了前三個(gè)方程的解，解答過程如下：由①，得或；由②，得或；由③，得或．(1)請寫出第4個(gè)方程，并按照小明的解題思路求出該方程的解．(2)若n為正整數(shù)，請寫出第n個(gè)方程及其方程的解．(3)若n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程的一個(gè)解是，求n的值．【答案】(1)第4個(gè)方程為：，得或，(2)第個(gè)方程為：，得或，(3)或．【分析】本題主要考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵在于找對規(guī)律并計(jì)算正確．（1）根據(jù)前三個(gè)方程蘊(yùn)含的規(guī)律求解，即可解題；（2）根據(jù)前三個(gè)方程蘊(yùn)含的規(guī)律，寫出第n個(gè)方程及其方程的解即可；（3）根據(jù)原方程得到方程的一個(gè)解是，再結(jié)合題干規(guī)律分析，即可得出n的值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，第4個(gè)方程為：，得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或是該方程的解；（2）解：根據(jù)題意可知，第個(gè)方程為：，即；得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或是該方程的解；（3）解：n為正整數(shù)，關(guān)于x的方程的一個(gè)解是，即方程的一個(gè)解是，則，得或，解得或．【變式6-1】（24-25七年級下·浙江紹興·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；．．．．．．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想的解為；(2)利用（1）中的結(jié)論，將方程變形為的形式并求解；(3)解方程：．【答案】(1)，；(2)，，(3)，．【分析】（1）仿照材料解方程，歸納總結(jié)得到結(jié)果；（2）先將原方程進(jìn)行變形可得：，然后利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）先將原方程進(jìn)行變形可得：，然后利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)上面的規(guī)律，猜想的解為：，．故答案為：，（2）解：由，得，∴，∴，由（1）中法規(guī)律得方程的解為：，；（3）解：由，得，∴，∴，∴，∴，或，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（24-25八年級上·北京順義·期中）觀察下列方程及其解的特征第1個(gè)方程：的解為第2個(gè)方程：的解為第3個(gè)方程的解為解答下列問題：(1)猜想，第5個(gè)方程，方程的解為________．(2)關(guān)于的第個(gè)方程為________，它的解為________；(3)利用上述規(guī)律解關(guān)于的分式方程：【答案】(1)(2)，(3)【分析】本題考查了解分式方程，數(shù)式規(guī)律問題，分式方程的解，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）仿照題中規(guī)律，解答即可；（2）仿照題中規(guī)律，解答即可；（3）先把原方程兩邊同時(shí)乘2，進(jìn)行變形為，利用得出的規(guī)律解答即可．【詳解】（1）解：，即，∴，，故答案為：，；（2）解：可猜想第n個(gè)方程為：的解為，，故答案為：，；（3）解：方程兩邊乘2得，，移項(xiàng)，得，∴或，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)得，，是原方程的解．類型七、分式方程中的新定義型問題1.

仔細(xì)審題，吃透定義：這是最關(guān)鍵的一步。題目會(huì)用一個(gè)新的符號（比如※、⊕、△等）來定義一種新的運(yùn)算。你需要仔細(xì)閱讀這個(gè)定義，弄清楚它到底代表什么樣的計(jì)算過程。2.

套用公式，列出方程：理解新定義后，把題目給出的具體數(shù)字或字母，嚴(yán)格按照定義的運(yùn)算順序代入進(jìn)去。根據(jù)題目要求的等量關(guān)系，列出一個(gè)新的分式方程。3.

求解并檢驗(yàn)：列出分式方程后，就按照解分式方程的常規(guī)步驟來解。別忘了最后一定要檢驗(yàn)，確保解的有效性，避免出現(xiàn)增根。例7．（24-25七年級上·上海虹口·階段練習(xí)）閱讀理解題．我們定義：如果兩個(gè)分式與的差為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為正數(shù)，則稱是的“和諧式”，這個(gè)常數(shù)稱為關(guān)于的“和諧值”．例：分式，，，則是的“和諧式”，關(guān)于的“和諧值”為2．(1)已知分式，，判斷是否為的“和諧式”．若不是，請說明理由；若是，請求出關(guān)于的“和諧值”．(2)已知分式，，是的“和諧式”，關(guān)于的“和諧值”是1，為整數(shù)，且的值也為整數(shù)，①求所表示的代數(shù)式．②求所有符合條件的的值．(3)已知分式，，是的“和諧式”，則關(guān)于的“和諧值”是______．（直接寫出答案即可）．【答案】(1)不是的“和諧式”，理由見解析(2)①；②2，4，0，6(3)【分析】本題考查的是新定義情境下的分式的運(yùn)算，分式的化簡，解二元一次方程組，（1）計(jì)算，再根據(jù)“和諧值”的定義可得答案；（2）①由定義可得，即有，整理可得：的表達(dá)式；②化簡，根據(jù)為整數(shù)，且“和諧式”的值也為整數(shù)，得到：是3的因數(shù)，從而可得答案；（3）首先表示出，然后根據(jù)題意設(shè)，得到，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1），，，不是的“和諧式”；（2）①是的“和諧式”，且關(guān)于的“和諧值”是1，，，，，，，②，為整數(shù)，且的值也為整數(shù)，是的因數(shù)，可能是：，，的值為：2、4、0、6，且都滿足；（3）∵是的“和諧式”，∴設(shè)∴∴解得∴．∴關(guān)于的“和諧值”是．【變式7-1】（24-25八年級下·山東棗莊·期末）新定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的分式方程的解是成立，那么我們就把實(shí)數(shù)，組成的數(shù)對稱為關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”．例如：使得關(guān)于的分式方程的解是成立，所以數(shù)對就是關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”(1)下列數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”有________．（填字母）A．；B．(2)若數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，求的值．【答案】(1)B(2)．【分析】本題考查了新定義，分式方程的解，讀懂題意，準(zhǔn)確理解新定義，運(yùn)用知識的遷移能力求解即可，理解“關(guān)聯(lián)數(shù)對”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義逐個(gè)計(jì)算判斷即可得到答案；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，分式方程，解得，，不是“關(guān)聯(lián)數(shù)對”；當(dāng)，時(shí)，分式方程，解得，，是“關(guān)聯(lián)數(shù)對”；故答案為：B；（2）解：數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，，，，解得，，，解得．【變式7-2】（24-25八年級上·湖南邵陽·期中）新定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b使得關(guān)于的分式方程的解是成立，那么我們就把實(shí)數(shù)a，b組成的數(shù)對稱為關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”．例如：，使得關(guān)于的分式方程的解是成立，所以數(shù)對就是關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”．(1)判斷下列數(shù)對是否為關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，若是，請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)打“”．若不是，打“”．①（

）；②（

）．(2)若數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，求的值．(3)若數(shù)對（，且，）是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，且關(guān)于的方程有整數(shù)解，求整數(shù)的值．【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】本題考查了新定義，分式方程的解，讀懂題意，準(zhǔn)確理解新定義，運(yùn)用知識的遷移能力求解即可，理解“關(guān)聯(lián)數(shù)對”的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義逐個(gè)計(jì)算判斷即可得到答案；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案；（3）根據(jù)“關(guān)聯(lián)數(shù)對”定義，先求分式方程的解及，列方程解得，再由關(guān)于的方程有整數(shù)解，將代入恒等變形為，解出，進(jìn)而得到或或或，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，分式方程，解得，，①的答案是；當(dāng)，時(shí)，分式方程，解得，，②的答案是；故答案為：；；（2）解：數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，，，，解得，，，解得；（3）解：數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，解得，將化簡得：，解得，關(guān)于的方程有整數(shù)解，且為整數(shù)，或，即或或或，解得或或（不是整數(shù)，舍去）或（不是整數(shù)，舍去），，．一、單選題1．（24-25八年級上·貴州遵義·期末）已知關(guān)于的分式方程的解為，則的值為（

）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】A【分析】本題主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知識點(diǎn)，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．將代入得到關(guān)于a的方程求解即可．【詳解】解：將代入可得：，解得：．故選：A．2．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于的分式方程有增根，則增根是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的增根問題，由分式方程有增根，得到最簡公分母，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：方程的最簡公分母為，由分式方程有增根，得到，即，則增根是，故選：．3．（20-21八年級上·陜西西安·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)掌握分式方程無解的條件，即可求解．【詳解】解：方程兩邊同乘，得：，整理得：，解得：，原方程無解，，，故選：C．4．（24-25八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了新定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解分式方程，由題干中的新定義得出方程，解分式方程即可得解．【詳解】解：∵對于實(shí)數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“”為：，∴，∵，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，，∴方程的解是，故選：A．5．（24-25八年級上·河南安陽·期末）觀察規(guī)律：，，……若（n為正整數(shù)），則n的值為（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】本題考查了利用平方差公式的規(guī)律類運(yùn)算，理解規(guī)律和掌握平方差公式是解題關(guān)鍵.根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，利用平方差公式分解因式，然后約分即可求得答案.【詳解】∵解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，故選：C．二、填空題6．（2024八年級上·湖南岳陽·競賽）已知關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為．【答案】5或【分析】本題主要考查了根據(jù)分式的無解求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握分式無解的情況．化分式方程為整式方程，然后利用分式無解的情況求參數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原分式方程無解，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，代入上式得，；當(dāng)時(shí)，，代入上式無解；綜上a的值為5或，故答案為：5或．7．（25-26九年級上·北京海淀·開學(xué)考試）若關(guān)于的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)的取值范圍，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根據(jù)解的情況得到關(guān)于的不等式，求出的取值范圍，并求出最簡公分母不等于時(shí)的取值即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程兩邊乘以，得，∴，∵方程的解是正數(shù)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴的取值范圍是且，故答案為：且．8．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）對于實(shí)數(shù)m、n，定義一種新運(yùn)算“※”為，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算，例如：，則方程的解為．【答案】【分析】本題是新定義題型，主要考查了解分式方程，正確理解新定義法則是關(guān)鍵；根據(jù)新定義的法則可得關(guān)于x的方程，解方程并檢驗(yàn)后即得答案．【詳解】解：根據(jù)題意：方程即為：，即，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；故答案為：．9．（2024·寧夏吳忠·一模）觀察下列等式①的解是；②的解是；③的解是；④的解是．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第n個(gè)方程和它的解．【答案】第n個(gè)方程為，其解為【分析】本題主要考查了與分式方程有關(guān)的規(guī)律探索，觀察可得規(guī)律，第n個(gè)方程左邊的式子的分子為n，分母為，方程右邊的式子，第一項(xiàng)分子為，分母為，第二項(xiàng)為，其解為，據(jù)此規(guī)律求解即可．【詳解】解：①的解是；②的解是；③的解是；④的解是；……，以此類推，可知，第n個(gè)方程為，其解為，故答案為：第n個(gè)方程為，其解為．10．（23-24九年級上·重慶九龍坡·期中）如果關(guān)于的不等式組至少有個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和是．【答案】【分析】本題考查了由不等式組的解的情況求參數(shù)的取值范圍，由分式方程解的情況求參數(shù)的取值范圍，有理數(shù)的加法運(yùn)算，先求出不等式組的解集，根據(jù)解的情況可得，再求出分式方程的解，根據(jù)分式方程解的情況可得且，進(jìn)而得到的取值范圍，即可求出符合條件的所有整數(shù)的值，最后相加即可求解，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解不等式組，得，∵不等式組至少有個(gè)整數(shù)解，∴，解分式方程，得，∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴且，∴符合條件的整數(shù)的值為，，，，∴符合條件的所有整數(shù)的和是，故答案為：．三、解答題11．（25-26八年級上·山東淄博·階段練習(xí)）解分式方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了解分式方程，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗(yàn)．（1）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可．（2）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可．（3）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可．【詳解】（1），兩邊都乘以，得，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原分式方程的解為．（2），兩邊同乘以，去分母得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原方程的解為；（3）兩邊都乘以，得，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原方程的解為．12．（24-25八年級下·寧夏銀川·期末）請閱讀下列材料并回答問題：在解分式方程時(shí)，小明的解法如下：解：方程兩邊同乘以，得，①去括號，得，②解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，③所以是原分式方程的解．④(1)你認(rèn)為小明在哪里出現(xiàn)了錯(cuò)誤（只填序號）；(2)針對小明解分式方程出現(xiàn)的錯(cuò)誤和解分式方程中的其他重要步驟，請你提出兩條解分式方程時(shí)的注意事項(xiàng)；(3)寫出上述分式方程的正確解法．【答案】(1)①②(2)注意方程中的每項(xiàng)都要乘以最簡公分母；解分式方程求出x的值要進(jìn)行檢驗(yàn)（答案不唯一）(3)【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)去分母、去括號法則可以判斷出出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①②；（2）根據(jù)解分式方程的方法寫出注意事項(xiàng)即可；（3）把分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠蹋庹椒匠糖蟪鰔的值，然后檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：第①步去分母錯(cuò)誤，應(yīng)該為第②步移項(xiàng)后變號和去括號錯(cuò)誤，應(yīng)該為小明在①②出現(xiàn)了錯(cuò)誤；故答案為：①②；（2）兩條注意事項(xiàng)：注意方程中的每項(xiàng)都要乘以最簡公分母；解分式方程求出x的值要進(jìn)行檢驗(yàn)（答案不唯一）；（3），方程兩邊同時(shí)乘，得，去括號，得，解得：，檢驗(yàn)：把代入，∴分式方程的解為．13．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，求m的取值范圍．【答案】且【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的運(yùn)算法則，以及分式有意義的條件，把m當(dāng)作已知數(shù)，根據(jù)解分式方程的運(yùn)算法則求出x，再根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)，即可得出m的取值范圍，再根據(jù)分式方程有意義的條件即可求解．【詳解】解：去分母，得．去括號、移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．，，即．，∵解為非負(fù)數(shù)，，，且．14．（23-24八年級下·江蘇宿遷·期中）定義．根據(jù)定義，解答下列問題：(1)________；(2)計(jì)算；(3)求方程的解．【答案】(1)3(2)(3)【分析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，分式的運(yùn)算，分式方程的解．（1）根據(jù)定義列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)定義列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)定義列出分式方程并解方程及檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，故答案為：3；（2）；（3）由題意得，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解原方程的解為．15．（24-25七年級下·安徽合肥·階段練習(xí)）觀察下列方程及其解的特征：①的解為，；②的解為，；③的解為，；……解答下列問題：(1)第4個(gè)方程的解為________．(2)請猜想第個(gè)方程為_______；第個(gè)方程的解為_______．(3)請根據(jù)方程的解的定義驗(yàn)證（2）中猜想的方程的解的正確性．【答案】(1)(2)，，(3)見解析【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律問題，分式方程的解，理解并找出題目中的特征是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中給出的特征即可得到解答；（2）根據(jù)題中給出的特征及其對應(yīng)的解總結(jié)規(guī)律即可；（3）將方程的解代入原方程，判斷左右兩邊是否相等即可解答．【詳解】（1）解：的解為：，，故答案為：，；（2）解：∵