2023學年第一學期八年級數(shù)學學科競賽測試卷一、單項選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.一個三角形的三條邊的長分別是5，8，9，另一個三角形的三條邊的長分別是5，，，若這兩個三角形全等，則的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得，或，，求出解即可．【詳解】解：∵這兩個三角形全等，∴，或，，解得，或，，則或，故選：C．2.已知△ABC的兩條高的長分別為5和20，若第三條高的長也是整數(shù)，則第三條高的長的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】設(shè)△ABC的面積為S，所求的第三條高線的長為h，根據(jù)三角形面積公式可知三邊長分別為、、，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，解不等式組即可確定第三條高的長的最大值．【詳解】解：設(shè)△ABC的面積為S，所求的第三條高線的長為h，則三邊長分別為、、，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系為，解得，所以h的最大整數(shù)值為6，即第三條高線的長的最大值為6．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式、三角形三邊關(guān)系及不等式組的解法，利用三角形的面積公式，表示出三邊的長度，從而運用三角形三邊關(guān)系列出不等式組是解題的關(guān)鍵．3.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像分別交x軸，y軸于點A，B，把直線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，交y軸于點，交直線于點C，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換及直角三角形的性質(zhì)等知識，依據(jù)題意，先求出的坐標，再根據(jù)直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)后的解析式，根據(jù)三角形面積公式即可求解，解題的關(guān)鍵是求出把直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的解析式．詳解】解：直線：分別交軸，軸于點，當時，，當時，，∴，點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的坐標為A'0,3,B設(shè)直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的解析式為∴，解得：，∴，聯(lián)立方程組，解得：，∴面積為：12×4-3故選：C．4.若不等式的解都能使關(guān)于x的一次不等式成立，則a的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【詳解】解不等式得，∵，①當時，，∴，∴；②當時，，不合題意，∴舍去．故選A．5.如圖，是的中線，分別在邊上（不與端點重合），且，則（）．A. B.C. D.與長短關(guān)系不確定【答案】A【解析】【分析】延長至點G，使，連接，證明，可得，進而根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得．【詳解】如圖，延長至點G，使，連接，是邊上的中線，,又，是的垂直平分線，，又(SAS)，，．故選A．【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，證明是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，，分別平分，，若，，則（）A.17 B.16 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)交于點，作平分，證明，，得到，進而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)交于點，作平分，∵，∴，∵分別平分，，∴，∴∠2+∠4=1∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴；故選A．7.如圖，在中，，為邊上的中線，于點E，交于點F，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，取的中點，連接，易得為的中位線，進而得到，推出，得到，進而得到，證明，進而得到，進行求解即可．【詳解】解：∵，為邊上的中線，∴，∵，，∴，取的中點，連接，則：為的中位線，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故選：B．8.如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E.若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）A.OD B.OE C.DE D.AC【答案】D【解析】【分析】由于∠ACB=90°，AB=AD+BD，AD、DB和CD都是有理數(shù)，OC是中線，那么AB是有理數(shù)，且OA=OB=OC=AB，于是OA、OB、OC是有理數(shù)，根據(jù)圖可知OD=OA-AD，那么OD是有理數(shù)；又在△CDO中，∠CDO=90，DE⊥OC，于是△OED∽△ODC，利用相似三角形的性質(zhì)可得OE：OD=OD：OC，DE：OD=CD：OC，從而可知OE、DE是有理數(shù)．【詳解】解：因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA=OB=OC=是有理數(shù)．于是，OD=OA-AD是有理數(shù)．

∵CD⊥AB，DE⊥OC，

∴Rt△DOE∽Rt△COD，

∴OE＝，DE=都是有理數(shù)，

而AC=不一定是有理數(shù)．

故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、有理數(shù)的加減乘除運算、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．注意幾個有理數(shù)的加減乘除的結(jié)果還是有理數(shù)．9.在中，已知，、分別是邊、上的點，且，，，則等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】延長AB到F使BF=AD，連接CF，如圖，先判斷△ADE為等邊三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接著證明AF=AC，從而可判斷△AFC為等邊三角形，則有CF=AC，∠F=60°，然后證明△ACD≌△FCB得到CB=CD，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算∠DCB的度數(shù)．【詳解】延長AB到F使BF=AD，連接CF，如圖，

∵∠CAD=60°，∠AED=60°，

∴△ADE為等邊三角形，

∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，

∴∠BDE=180°-∠ADE=120°，

∵∠CDB=2∠CDE，

∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，

∴∠CDB=2∠CDE=80°，

∵BF=AD，

∴BF=DE，

∵DE+BD=CE，

∴BF+BD=CE，即DF=CE，

∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，

∴AF=AC，

而∠BAC=60°，

∴△AFC為等邊三角形，

∴CF=AC，∠F=60°，

在△ACD和△FCB中

，

∴△ACD≌△FCB（SAS），

∴CB=CD，

∴∠CBD=∠CDB=80°，

∴∠DCB=180-（∠CBD+∠CDB）=20°．故選B．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于延長AB到F使BF=AD，構(gòu)建△FCB與△ACD全等．10.如圖，平面直角坐標系中，已知直線y＝x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點A，且BD＝2AD，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點Q，則點Q的坐標為（）A.（，） B.（3，3） C.（，） D.（，）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，求出∠MCP＝∠DPN，證△MCP≌△NPD，推出DN＝PM，PN＝CM，設(shè)AD＝a，求出DN＝2a﹣1，得出2a﹣1＝1，求出a＝1，得出D的坐標，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM＝2，得出C的坐標，設(shè)直線CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入求出直線CD的解析式，解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．【詳解】解：過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交AB于N，過D作DH⊥y軸，交y軸于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴設(shè)AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，則2a﹣1＝1，a＝1，即BD＝2．∵直線y＝x，∴AB＝OB＝3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，則C的坐標是（0，3），設(shè)直線CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直線CD的解析式是y＝﹣x+3，即方程組得：，即Q的坐標是（，）．故選：D．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式以及全等三角形的性質(zhì)和判定，解方程組，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．二、填空題（共7小題，每小題5分，共35分）11.一次函數(shù)，當時，，則的值是_________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的增減性問題．分兩種情況：若，若，結(jié)合一次函數(shù)的增減性，利用待定系數(shù)法解答即可求解．【詳解】解：若，此時y隨x的增大而增大，則當時，，當時，，∴3k+b此時；若，此時y隨x的增大而減小，則當時，，當時，，∴3k+b此時；綜上所述，的值是或．故答案為：或12.使得不等式對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為_____．【答案】144【解析】【分析】本題考查一元一次不等式的組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是找出不等關(guān)系成立的條件，求出的最大值，注意求得的一定使得整數(shù)具有唯一性，根據(jù)題目中的不等式，先變形，然后即可得到，再根據(jù)是唯一的整數(shù)，可以得到的取值范圍，然后通過計算可以得到唯一的整數(shù)，從而可以得到的最大正整數(shù)值．【詳解】解：，，，，是唯一的整數(shù)，且，，，當時，由，可得，可取唯一的整數(shù)127，由上可得，的最大值是144，故答案為：144．13.小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元，開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了________支圓珠筆．【答案】207【解析】【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，設(shè)鉛筆賣了支，圓珠筆賣了支，根據(jù)總價單價數(shù)量可得出關(guān)于的二元一次方程，進而可得出，結(jié)合均為整數(shù)，即可得出為的倍數(shù)，將代入中可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為的倍數(shù)可得出的最小值為208，進而可得出的最小值，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)鉛筆賣了支，圓珠筆賣了支，依題意得：，，，∵均整數(shù)，為整數(shù)，為的整數(shù)倍．，，又為的倍數(shù)，的最小值為，∴的最小值為，∴他至少賣出了支圓珠筆，故答案為：．14.在中，已知，，，則__________．【答案】##15度【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，延長到，使，連線段，根距三角形外角的定義和性質(zhì)可知，根據(jù)等角對等邊可知，作于點，則為的中點，即可求出，，根據(jù)余弦的定義求出，進而可求出．【詳解】解：延長到，使，連線段，則，∴．作于點，則為的中點，∴，．在中，，∴，∴．故答案為：15.如圖，在中，，，，D在上，E在上，使得為等腰直角三角形，，則的長是_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．過點E作，交于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理得，然后證明，可得，，設(shè)，則，可得，，可求出x的值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點E作，交于點F，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∵，，，∴△ADC∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，解得：，∴．故答案為：16.如圖，，，，于點F，則的度數(shù)是______．【答案】135##135度【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理．證明，可得，從而得到，繼而得到，即可解答．【詳解】解：∵，∴，即，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，即，∴．故答案為：13517.甲，乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，勻速前往B地，A地，兩人相遇時停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙兩人之間的距離y（）與甲所用時間x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有下列說法：①A，B之間的距離為；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上結(jié)論正確的有_______．（填序號）【答案】①②【解析】【分析】本題考查了函數(shù)圖象的識別，觀察函數(shù)圖象結(jié)合數(shù)量關(guān)系逐一分析四個說法的正誤是解題的關(guān)鍵．①當時，，可得出A、B之間的距離為；②根據(jù)速度路程時間可求出乙的速度，再根據(jù)甲的速度路程時間乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1．5倍；③根據(jù)路程二者速度和運動時間，即可求出；④根據(jù)甲走完全程所需時間兩地間的距離÷甲的速度，即可求出．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：①當時，，∴A、B之間的距離為，故結(jié)論①正確；②乙的速度為，甲的速度為1200÷12-60=40m/min∵∴乙行走的速度是甲的倍，故結(jié)論②正確；③，故結(jié)論③錯誤；④，故結(jié)論④錯誤．故結(jié)論正確的有①②．故答案為：①②．三、解答題（共4小題，共35分）18.解關(guān)于x的不等式：．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了求一元一次不等式組的解集，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．分三種情況：當時，當時，當時，即可求解．【詳解】解：當時，原不等式化為，解得：，此時；當時，原不等式化為，解得：，此時；當時，原不等式化為，解得：，此時；綜上所述，原不等式的解集為或．19.如圖，在等腰直角中，，P是內(nèi)一點，且，，求PB的長．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)．過P點作，過B作，過P作，垂足分別為E，F(xiàn)，G，則四邊形為矩形，可得，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，，然后在和中，利用勾股定理可得，從而得到，進而得到，再由勾股定理可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：過P點作，過B作，過P作，垂足分別為E，F(xiàn)，G，則四邊形為矩形，∴，，∵在等腰直角中，，∴，，∴，在和中，，∴，∵，，∴52解得：，∴，∴，∴PE=∴，∴，∴BP=故答案為：20.如圖，在四邊形中，已知，，，F(xiàn)為的中點，對角線交于點E．（1）求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)題意可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)可得∠BFD=2∠CAD（2）過點F作于點M，過點E作于點N，由（1）得：，，從而得到，∠DFM=∠BFM=12∠BFD，再由，可得，從而得到，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，可證明Rt△EFM≌Rt△EFNHL，從而得到【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵，，，∴，∵F為的中點，∴，∴，∴，，∴，∴∠BFD∴∠FBD【小問2詳解】證明：如圖，過點F作于點M，過點E作于點N，由（1）得：，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴Rt△∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角