?？碱}型08一元二次不等式的求解問題1.一元二次不等式：一般地，含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解與解集一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)一元二次不等式的解。一元二次不等式的所有解組成的集合，叫做這個(gè)一元二次不等式的解集。3.分式不等式若f(x)與g(x)是整式且g(x)中含有未知數(shù)(g(x)≠0)，則不等式f(x)>0(或<0)稱為分式不等式.4.一元高次不等式：最高次項(xiàng)的次數(shù)高于二次的不等式稱為高次不等式。5.含參數(shù)的不等式恒成立問題通過分離參數(shù)，把參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。6.一元二次不等式的恒成立問題通過拋物線的開口方向以及相應(yīng)方程的判別式與零的關(guān)系列式解決?？挤ㄒ唬航庖辉危ǜ叽危┎坏仁郊胺质讲坏仁?.解一元二次不等式(1)對(duì)不等式變形，使不等號(hào)一端二次項(xiàng)系數(shù)大于0，另一端為0，即化為ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的形式；(2)計(jì)算相應(yīng)方程的判別式；(3)當(dāng)△≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.2.解分式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)?(2)f(x)g(x)≥0(≤0)?f(x3.解一元高次不等式(1)將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正）或二次不可分解因式的積.(2)求出各因式等于0時(shí)的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上依次標(biāo)出。(3)自最右端上方起，用曲線自右至左依次由各根穿過數(shù)軸，遇到奇次重根一次穿過，遇到偶次重根穿而不過.(4)記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫出解集.這種方法叫根軸法或穿根法或穿針引線法。考法二：含參數(shù)的一元二次不等式的解法一般步驟：(1)二次項(xiàng)系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.(2)判斷相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式△與0的關(guān)系.(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式?？挤ㄈ憾尾坏仁胶愠闪⑴c有解問題1.圖象法：對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.2.更換主元法：如果不等式中含有多個(gè)變量，這時(shí)選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵，即需要確定合適的變量或參數(shù)，能使函數(shù)關(guān)系更加清晰明朗.一般思路為將已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量看作是參數(shù)，然后借助函數(shù)的單調(diào)性或其他方法進(jìn)行求解.3.分離參數(shù)法：如果欲求范圍的參數(shù)能夠分離到不等式的一邊，那么這時(shí)可以通過求出不等式另一邊式子的最值（或范圍）來得到不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍.一般地，a≥f(x)恒成立時(shí)，應(yīng)有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立時(shí)，應(yīng)有a≤f(x)min。探究一：解不含參數(shù)的一元二次不等式解下列不等式：(1)；(2)．思路分析：思路分析：（1）分解因式得，進(jìn)而解即可；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，再解不等式即可.【解析】（1）解：原不等式因式分解得，因?yàn)椋?，解得或，因此，原不等式的解集為或；?）解：由，得，即，等價(jià)于，解得或，因此，原不等式的解集為或．【答案】(1)或；(2)或【變式練習(xí)】1．不等式的解是___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，∴，可得，原不等式的解集為.故答案為：.2．不等式的解集是____________.【答案】【解析】依題意，不等式化為：，解得：或，解，即得：，所以不等式的解集是.故答案為：探究二：解含參數(shù)的一元二次不等式“已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式”有如下解法:由，得，令，則，即:，所以不等式的解集為.參考上述解法，已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為________.思路分析：思路分析：根據(jù)已知條件將不等式變形為，由此得到的取值范圍，從而可求解出的取值范圍，即可求解出不等式解集?！窘馕觥恳阎P(guān)于的不等式的解集為，令，原不等式化為，又因?yàn)椋?，解得故答案為?【答案】【變式練習(xí)】1．設(shè)，則關(guān)于的不等式的解集是_________.【答案】【解析】時(shí)，，且，則關(guān)于的不等式可化為，解得或，

所以不等式的解集為，，．故答案為：2．已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是______．【答案】【解析】解：由不等式的解集是，可知，且，所以，不等式可化為，解得．所以不等式的解集是.故答案為：探究三：由一元二次不等式的解確定參數(shù)已知關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集是___________．思路分析：思路分析：結(jié)合一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系可得的關(guān)系及范圍，然后結(jié)合一元二次不等式的求法即可求解?！窘馕觥拷猓宏P(guān)于x的不等式的解集為則方程的兩個(gè)分別為：，且由韋達(dá)定理得：所以不等式轉(zhuǎn)化為：，整理得即，解得：所以不等式的解集為：.故答案為：.【答案】【變式練習(xí)】1．如果關(guān)于的不等式的解集是，那么等于_________.【答案】81【解析】不等式可化為，其解集是，那么，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，；所以．故答案為：812．知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為______．【答案】2【解析】∵的解集為，∴,且方程的兩根為m，，∴,，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，∴的最小值為2．探究四：一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.思路分析：思路分析：對(duì)分兩種情況討論，再轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分別求出函數(shù)的最值，即可得到答案?！窘馕觥?，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，，，，綜上所述：.故答案為：.【答案】【變式練習(xí)】1．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】解：要使對(duì)任意的，恒成立，即在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像在函數(shù)圖像的下方，由圖像得，要使上述成立，只需，即，則①式解得，②式解得，所以.故答案為：.2．已知不等式，若對(duì)任意及，該不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是___________.【答案】【解析】由題意可知：不等式對(duì)于，恒成立，即對(duì)于，恒成立，令，則，在上恒成立，，，，故答案為：探究五：一元二次不等式在某區(qū)間上的有解問題設(shè)命題：對(duì)任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立，若為假命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.思路分析：思路分析：分別求出命題，為真時(shí)對(duì)應(yīng)的的取值范圍，依題意可知命題，一真一假，進(jìn)而可求得結(jié)果?！窘馕觥繉?duì)于：成立，而，有，∴，∴；對(duì)于：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；若為假命題，為真命題，則，一真一假.若為假命題，為真命題，則，所以；若為假命題，為真命題，則，所以.綜上，或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【答案】【變式練習(xí)】1．若存在實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】解：由題意可得，存在實(shí)數(shù)時(shí)，令，即，對(duì)稱軸為：所以在單調(diào)遞增故即所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：故答案為：2．若至少存在一個(gè)，使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________．【答案】【解析】解：不等式可化為：；若對(duì)任意，都有，作函數(shù)與的圖象如下，結(jié)合圖象可知，當(dāng)或時(shí)，對(duì)任意，都有；所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故答案為：，．一、單選題1．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A． B．C． D．或【答案】B【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，不等式變?yōu)椋?＜0恒成立，故a＝0滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，若恒成立，則，即，解得．綜上，．故選：B．2．不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【解析】可化為，即，即或．所以不等式的解集為或.故選：A3．若關(guān)于x的不等式在上有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由不等式在上有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于不等式在上有實(shí)數(shù)解，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又由，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.4．不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】可變形為，令，得，，所以或，即不等式的解集為.故選：A.5．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，又不等式恒成立，則不等式，即，解得.故選：C.6．已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【解析】∵函數(shù)（）的最小值為0，∴，∴，∴函數(shù)，其圖像的對(duì)稱軸為．∵不等式的解集為，∴方程的根為m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D．7．若使不等式成立的任意一個(gè)x都滿足不等式，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，由題意得不等式的解集是的子集，不等式，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，滿足；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，若，則，所以；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，滿足；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：B．8．已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解不等式，得或解方程，得，（1）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即；綜上，可知的取值范圍為故選：B二、多選題9．已知不等式的解集為，其中，則以下選項(xiàng)正確的有（

）A．B．C．的解集為D．的解集為或【答案】ABC【解析】不等式的解集為，，故A正確；，令，，即，故B正確；由上所述，易知，，由題意可得為一元二次方程，則，，則，，即為方程的解，則可知不等式的解集為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．關(guān)于x的不等式的解集可以是B．關(guān)于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個(gè)零點(diǎn)D．“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】若不等式的解集是，則且，得，而當(dāng)，時(shí)，不等式，即，得，與矛盾，故A錯(cuò)誤；取，，此時(shí)不等式的解集為，故B正確；取，，則由，得或3，故C正確；若關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則得，若，則，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且，即關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．因此“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”，故D正確．故選：BCD．11．已知，關(guān)于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，不等式的解集是；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得或．故選:BCD．三、填空題12．設(shè)集合，，若，則m的值為_________.【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以必有；?dāng)時(shí)，，顯然，不符合題意.故答案為：.13．“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】由題意可知，“，”的否定是真命題，即“，”是真命題，當(dāng)時(shí)，，不等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知，，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．設(shè)關(guān)于x的不等式，只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則a的取值是___________，全部不等式的整數(shù)解的和為___________.【答案】

-2或-1

-10【解析】若，則原不等式為，即，顯然原不等式的整數(shù)解有無數(shù)個(gè)，不符合題意，故.設(shè)，其圖象為拋物線，對(duì)于任意一個(gè)給定的值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足而整數(shù)解只有有限個(gè)，所以，因?yàn)?為其中一個(gè)解，所以，即，所以，又，所以或，若，則不等式為，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以；若，則不等式為，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.所以全部不等式的整數(shù)解的和為.故答案為：-2或-1；-10.四、解答題15．解下列關(guān)于x的不等式：(1)；(2)【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，原不等式變形為，解得，故不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，原不等式變形為，解得，故不等式的解集為，綜上所述，不等式的解集為；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，解得，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式因式分解可得，當(dāng)時(shí)，則，解得，故不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，解得，故不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，化為，解得或，故不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，化為，解得或，故不等式的解集為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.16．（1）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】（1）由題意，恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，滿足，即，解得；

（2）不等式等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，此時(shí)，所以不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為或；③當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為.17．設(shè)函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意可知：方程的兩根是，1所以解得（2）由得，成立，即使恒成立