專題03解一元二次方程的八種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型 2類型二、用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程 3類型三、配方法的應(yīng)用 7類型四、用公式法求解一元二次方程 11類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 13類型六、用十字相乘法求解一元二次方程 15類型七、與新定義型有關(guān)的求解一元二次方程 18類型八、換元法解一元二次方程 21壓軸能力測(cè)評(píng)（12題） 25解題知識(shí)必備知識(shí)點(diǎn)一、直接開方法解一元二次方程直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.要點(diǎn)：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.知識(shí)點(diǎn)二、配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.要點(diǎn)：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．知識(shí)點(diǎn)三．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)四.用因式分解法解一元二次方程（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.壓軸題型講練類型一、利用直接開平方法解一元二次方程的復(fù)合型例1.（23-24九年級(jí)上·江西萍鄉(xiāng)·期末）解方程：【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·吉林白山·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋骸咀兪接?xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）解方程：．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋侯愋投⒂门浞椒ń舛雾?xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程例2.（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）配方法解一元二次方程：．【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）解方程：（配方法解）．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程：．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【變式訓(xùn)練4】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的過程如下，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，并回答問題：解：原方程可變形為，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答過程是從第______步開始出錯(cuò)的．(2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過程．類型三、配方法的應(yīng)用例3.（23-24九年級(jí)上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）閱讀理解：一位同學(xué)將代數(shù)式變形為，得到后分析發(fā)現(xiàn)，那么當(dāng)時(shí)，此代數(shù)式有最小值是4．請(qǐng)同學(xué)們思考以下問題：(1)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(2)已知代數(shù)式，此代數(shù)式有最值（填“大”或“小”），且值為．(3)通過閱讀材料分析代數(shù)式的最值情況，寫出詳細(xì)過程及結(jié)論．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）閱讀并解答問題：用配方法可以解一元二次方程，還可以用它來解決很多問題．例如：因?yàn)?，所以就有最小?，即，只有當(dāng)時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最小值1．同樣，因?yàn)椋杂凶畲笾?，即，只有當(dāng)時(shí)，才能得到這個(gè)式子的最大值1．(1)當(dāng)_______時(shí)，代數(shù)式有最_______（填寫“大”或“小”）值，為______．(2)代數(shù)式有最大值或最小值嗎？若有，請(qǐng)求出這個(gè)最大值或最小值．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）（1）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為__________．（2）當(dāng)__________時(shí)，多項(xiàng)式的最大值為__________．（3）當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式取最小值？并求出這個(gè)最小值．【變式訓(xùn)練3】（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與的大小，填“>”“<”或“=”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與有怎樣的大小關(guān)系?試說明理由；（3）拓展，試通過計(jì)算比較．與的大小．【變式訓(xùn)練4】（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）求代數(shù)式的最小值時(shí)，我們通常運(yùn)用“”這個(gè)結(jié)論對(duì)代數(shù)式進(jìn)行配方來解決．比如，，，的最小值是，試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：

(1)填空：（______）______；(2)如圖1所示的是一組鄰邊長分別為，的長方形，其面積為；如圖2所示的是邊長為的正方形，其面積為，，請(qǐng)比較與的大小，并說明理由．(3)如圖3，一個(gè)地塊一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用長的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，并且與墻平行的邊加建寬的門（用其他材料）．設(shè)，矩形的面積為．當(dāng)為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積最大?最大值為多少平方米?類型四、用公式法求解一元二次方程例4.（23-24八年級(jí)下·吉林長春·期中）解方程：．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·四川涼山·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【變式訓(xùn)練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·全國·假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．類型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例5．（23-24九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）解關(guān)于的方程（因式分解方法）：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練1】（2023八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）用因式分解解方程：．【變式訓(xùn)練2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）解方程：．【變式訓(xùn)練3】（23-24八年級(jí)下·廣西崇左·期中）解方程：(1)；(2)．類型六、用十字相乘法求解一元二次方程例6.（23-24九年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）根據(jù)乘法原理，若，則或，則方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得或試用上述這種十字相乘法解下列方程(1)；(2)；(3)；(4)．【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東廣州·二模）解方程：．【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）閱讀材料：解方程，我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）若，則或，所以方程可以這樣求解：方程左邊分解因式得∴或∴，上述這種解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．請(qǐng)參考以上方法解下列方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）（1）將進(jìn)行因式分解，我們可以按下面的方法解答：解：①堅(jiān)分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)（交叉相乘后的結(jié)果相加，其結(jié)果須等于多項(xiàng)式中的一次項(xiàng)）：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儼堰@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根據(jù)乘法原理：若，則或．試用上述方法和原理解下列方程：①；②；③；④．類型七、與新定義型有關(guān)的求解一元二次方程例題：（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期末）定義新運(yùn)算：規(guī)定，例如，若，則x的值為．【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：例如：，．若，則的值為．【變式訓(xùn)練2】（2024·山東聊城·二模）對(duì)于實(shí)數(shù)，，先定義一種新運(yùn)算“”如下：，若，則實(shí)數(shù)的值為．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·廣東珠?！るA段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“※”：，如果，則x的值為．類型八、換元法解一元二次方程例8.（23-24九年級(jí)上·河南信陽·開學(xué)考試）閱讀下列例題的解答過程：解方程：．解：設(shè)，則原方程可以化為．∴，，，∴，∴，∴y1=?1，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．∴原方程的解為，．請(qǐng)仿照上面的例題解方程：．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·廣西南寧·開學(xué)考試）閱讀下面的材料，解答后面的問題．材料：解方程．解：設(shè)，原方程變?yōu)?，解得或．?dāng)時(shí)，即，解得；當(dāng)時(shí)，即，解得．綜上所述，原方程的解為，，，．問題：(1)上述解答過程采用的數(shù)學(xué)思想方法是__________．A．加減消元法

B．代入消元法

C．換元法

D．待定系數(shù)法(2)采用類似的方法解方程：．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，將原方程化為，解得，．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，，．原方程的解為，，，．由原方程得到的過程，利用換元法達(dá)到了簡(jiǎn)化方程的目的，體現(xiàn)了整體轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．閱讀后解答問題：(1)利用上述材料中的方法解方程：；(2)已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別是什么？請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練3】（23-24九年級(jí)上·廣東汕頭·期中）綜合實(shí)踐：“通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式．方程是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個(gè)方程得：，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以原方程有四個(gè)根：，，．在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．請(qǐng)你用這種思維方式和換元法解決下面的問題：(1)解方程：．(2)若，求的值．壓軸能力測(cè)評(píng)（12題）一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·廣東湛江·期末）用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．2．（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”，使，則方程的解為（）A． B．，C． D．二、填空題3．（2024·山東泰安·二模）關(guān)于y的方程的解是．4．（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）已知代數(shù)式，則A的最小值為．三、解答題5．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）解下列方程：6．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期中）解方程：．7．（23-24九年級(jí)上·山東泰安·開學(xué)考試）解方程：(1)；(2)．8．（24-25九年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．9．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）選用適當(dāng)方法解下列方程：(1)(2)(3)(4)10．（23-24九年級(jí)上·吉林長春·期末）閱讀材料，并回答問題．小明在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，解方程的過程如下：解：．．①．②．③．④．⑤．⑥問題：(1)上述過程中，從步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤（填序號(hào)）；(2)發(fā)生錯(cuò)誤的原因是：；(3)寫出這個(gè)方程的解：．11．（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）閱讀材料，并解答問題：數(shù)學(xué)運(yùn)算中有一種非常重要的思想—“換元法”．它的本質(zhì)是將一個(gè)冗長的、前后具有相同形式的式子用一個(gè)字母來代替，將其化為我們所熟悉的形式．例如：為解方程，我們將看成一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程化為，∴，解得，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上所述：，，，．請(qǐng)利用以上方法解下面方程：(1)；(2)；(3)．12．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）學(xué)習(xí)的本質(zhì)是提高