歐氏空間在幾何學(xué)中（編者按:在數(shù)學(xué)中），沒(méi)有專(zhuān)門(mén)為國(guó)王設(shè)置的捷徑。---歐幾里德(Euclid,約前325-約前265)7.1向量的內(nèi)積一、內(nèi)容分布

7.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義7.1.2向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角7.1.3兩向量正交、正交向量組的定義、性質(zhì)

二、教學(xué)目的：1．準(zhǔn)確理解并掌握以下概念及其基本性質(zhì)：向量的內(nèi)積、歐氏空間、向量的長(zhǎng)度、單位向量、兩非零向量的夾角、兩向量正交、兩向量的距離．2．掌握常見(jiàn)的幾種歐氏空間；會(huì)用向量的內(nèi)積及歐氏空間的定義判斷向量ξ與η的內(nèi)積<ξ,η>，以及向量空間關(guān)于這個(gè)內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間．3．掌握及其它不等式，并會(huì)用它來(lái)證明另三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1.準(zhǔn)確理解并掌握向量的內(nèi)積、歐氏空間及兩向量正交的概念;2.不等式的靈活運(yùn)用.一些不等式7.1.1向量的內(nèi)積、歐氏空間的定義

1)

2)

3)4)當(dāng)時(shí),定義1

設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上一個(gè)向量空間.如果對(duì)于V中任意一對(duì)向量有一個(gè)確定的記作

的實(shí)數(shù)與它們對(duì)應(yīng)，并且下列條件被滿(mǎn)足：

這里是V的任意向量，a是任意實(shí)數(shù)，

那么這個(gè)內(nèi)積來(lái)說(shuō)的一個(gè)歐氏空間（簡(jiǎn)稱(chēng)歐氏空間）.叫做向量ξ與η的內(nèi)積，而V叫做對(duì)于例1

在規(guī)定里,對(duì)于任意兩個(gè)向量容易驗(yàn)證,關(guān)于內(nèi)積的公理被滿(mǎn)足,因而對(duì)于這樣定義的內(nèi)積來(lái)說(shuō)作成一個(gè)歐氏空間.例2

在規(guī)定里,對(duì)于任意向量不難驗(yàn)證,也作成一個(gè)歐氏空間.

例3

令C[a,b]是定義在[a,b]上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)我們規(guī)定所成的向量空間,根據(jù)定積分的基本性質(zhì)可知,內(nèi)積的公理1)---4)都被滿(mǎn)足,因而C[a,b]作成一個(gè)歐氏空間.例4

令H是一切平方和收斂的實(shí)數(shù)列所成的集合.在H中用自然的方式定義加法和標(biāo)量與向量的乘法:設(shè)規(guī)定

向量的內(nèi)積由公式給出，那么H是一個(gè)歐氏空間.練習(xí)1

為向量空間中任意兩向量,證明:對(duì)作成歐氏空間的充分必要條件是m>0,n>0.

7.1.2向量的長(zhǎng)度、兩非零向量的夾角定義2

設(shè)ξ是歐氏空間的一個(gè)向量，非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)根叫做ξ的長(zhǎng)度，向量ξ的長(zhǎng)度用符號(hào)表示：定理7.1.1

在一個(gè)歐氏空間里,對(duì)于任意向量有不等式(6)當(dāng)且僅當(dāng)ξ與η線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，上式才取等號(hào).定義3

設(shè)ξ與η是歐氏空間的兩個(gè)非零向量，ξ與η的夾角θ由以下公式定義：例5

令是例1中的歐氏空間.中向量的長(zhǎng)度是由長(zhǎng)度的定義,對(duì)于歐氏空間中任意向量ξ和任意實(shí)數(shù)a,有例6

考慮例1的歐式空間由不等式(6)推出,對(duì)于任意實(shí)數(shù)有不等式(7)(7)式稱(chēng)為柯西(Cauchy)不等式.注：一個(gè)實(shí)數(shù)a與一個(gè)向量ξ的乘積的長(zhǎng)度等于a的絕對(duì)值與ξ的長(zhǎng)度的乘積.例7

考慮例3的歐氏空間C[a,b]，由不等式（6）推出，對(duì)于定義在[a,b]上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式(8)(8)式稱(chēng)為施瓦茲(Schwarz)不等式.

（7）和（8）在歐氏空間的不等式（6）里被統(tǒng)一起來(lái).因此通常把(6)式稱(chēng)為柯西-施瓦茲不等式.

例8

設(shè)為歐氏空間V中任意兩個(gè)(1)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膴A角為0;非零向量.證明:(2)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膴A角為π;7.1.3向量的正交

定義4

歐氏空間的兩個(gè)向量ξ與η說(shuō)是正交的,如果定理7.1.2

在一個(gè)歐氏空間里，如果向量ξ中每一個(gè)正交，

那么ξ與

的任意一個(gè)線(xiàn)性組合也正交.

與思考題1：設(shè)是n維歐氏空間V中證明:

兩個(gè)不同的向量,且

思考題2：在歐氏空間中,設(shè)

兩兩正交,且

的長(zhǎng)度

求A的行列式

的值.

7.2正交基一、內(nèi)容分布

7.2.1正交組的定義、性質(zhì)

7.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性7.2.3子空間的正交補(bǔ)

7.2.4正交矩陣的概念

7.2.5n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別

二、教學(xué)目的：1．準(zhǔn)確理解和掌握正交向量組、n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念及基本性質(zhì)．2．能熟練運(yùn)用施密特正交化方法，由一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組求出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組3．能掌握一個(gè)向量與一個(gè)非空子集正交、子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì)，并會(huì)求某些子空間的正交補(bǔ)．4．掌握正交矩陣的概念及其與標(biāo)準(zhǔn)正交基的關(guān)系．5．掌握n維歐氏空間同構(gòu)的概念及基本理論．三、重點(diǎn)難點(diǎn)：正交向量組、n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念;子空間的正交補(bǔ)的概念及基本性質(zhì);施密特正交化方法7.2.1正交組的定義、性質(zhì)

定義1

歐氏空間V的一組兩兩正交的非零向量叫做V的一個(gè)正交組,如果一個(gè)正交組的每一個(gè)向量都是單位向量,這個(gè)正交組就叫做一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組.

1．正交組的定義例1

向量構(gòu)成

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組，因?yàn)?/p>

例2

考慮定義在閉區(qū)間函數(shù)所作成的歐氏空間（參看8.1例3），函數(shù)組的一個(gè)正交組。(1)1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…構(gòu)成上一切連續(xù)事實(shí)上，我們有把（1）中每一向量除以它長(zhǎng)度，我們就得C[0，2π]的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組

2．正交組的性質(zhì)定理7.2.1

設(shè)

一個(gè)正交組，那么

線(xiàn)性無(wú)關(guān).

是歐氏空間的證：設(shè)有

使得

因?yàn)楫?dāng)i≠j

時(shí)

，所以

但

，所以

即

線(xiàn)性無(wú)關(guān).

7.2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、性質(zhì)及存在性

1．標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義

設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，如果V中有n個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)正交組，那么由定理7.2.1，這個(gè)n個(gè)向量構(gòu)成V的一個(gè)基，叫做V的一個(gè)正交基。如果V的一個(gè)正交基還是一個(gè)規(guī)范正交級(jí)，那么就稱(chēng)這個(gè)基是一個(gè)規(guī)范的正交基。

例2

歐氏空間

的基是

i=1,2,…,n,的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

如果

正交基。令ξ是V的任意一個(gè)向量那么ξ是可是是n維歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)以唯一寫(xiě)成

是ξ關(guān)于

的坐標(biāo)。由于是規(guī)范正交基，我們有（3）

這就是說(shuō)，向量ξ關(guān)于一個(gè)規(guī)范正交基的第i個(gè)坐標(biāo)等于ξ與第i個(gè)基向量的內(nèi)積；其次，令那么

（4）

由此得

（5）

（6）

2．標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)設(shè)

是的一個(gè)基，但不一定是正交基

問(wèn)題就解決了,因?yàn)閷?/p>

再分別除以它們的長(zhǎng)度，就得到一個(gè)規(guī)范正交借助幾何直觀，為了求出

正交基。從這個(gè)基出發(fā)，只要能得出

的一個(gè)基。先取我們考慮線(xiàn)性組合

從這里決定實(shí)數(shù)a，

使

正交，由

及得取那么

又因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)a因而這就得到

的一個(gè)正交基

3．標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性

定理7.2.2（施密特正交化方法)設(shè)是歐氏空間V的一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量,那么可以求使得

可以由

線(xiàn)性表示，k=1,2,…,m.

出V的一個(gè)正交組

證

先取

那么

是

的線(xiàn)性組合，且

其次取

又由

所以正交。假設(shè)1＜k≤m，而滿(mǎn)足定理要求的都已作出.

那么是的線(xiàn)性組合，并且因?yàn)?/p>

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以

取所以

是

的線(xiàn)性組合。由于假定了

i=1,2,…,k-1，所以把這些線(xiàn)性組合代入上式，得

的線(xiàn)性組合，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，由

得

又因?yàn)榧俣?/p>

兩兩正交。這樣，也滿(mǎn)足定理的要求。所以定理得證。

定理7.2.3

任意n（n>0）維歐氏空間一定有正交基，因而有標(biāo)準(zhǔn)正交基.例4

在歐氏空間

中對(duì)基

施行正交化方法得出

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

解:第一步，取第二步，先取然后令第三步，取

再令于是

就是

的一個(gè)規(guī)范正交基。

練習(xí)1設(shè)

試把

的基的一個(gè)基,并將它標(biāo)準(zhǔn)正交化.擴(kuò)充成7.2.3子空間的正交補(bǔ)

1.向量與一個(gè)非空子集正交

定理7.2.4

令W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間，那么因而V的每一個(gè)向量ξ可以唯一寫(xiě)成這里(7)設(shè)令證明

當(dāng)W={0}時(shí)，定理顯然成立，這時(shí)

設(shè)由于W的維數(shù)有限，因而可以取到W的一個(gè)規(guī)范正交基那么而由于是W的基，所以ζ與W正交，這就證明了即剩下來(lái)只要證明這個(gè)和是直和。這是那么從而定理被證明。

顯然的，因?yàn)槿绻C明對(duì)于任意所以定理7.2.5

設(shè)W是歐氏空間V的一個(gè)有限維子空間，ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射影，那么對(duì)于W中任意向量，都有

于是如果

那么

所以

即我們也把向量ξ在子空間W上的正射影η叫做W到ξ的最佳逼近。例5

考慮上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所作成的所生成的子空間.由例2看到,歐氏空間令W是由以下2n+1個(gè)函數(shù)1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx是W的一個(gè)規(guī)范正交基.

W的每一元素都可以寫(xiě)成

………(8)

的形式.

叫做一個(gè)n次三角多項(xiàng)式.

設(shè)我們求一個(gè)n次三角多項(xiàng)式

使得

的值最小.

用歐氏空間的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：求

使得

這正是上面所說(shuō)的W對(duì)于f(x)的最佳逼近問(wèn)題.

最小.因此,所求的

應(yīng)該是f(x)在W上的正射影.由定理7.2.4,我們有與等式(8)作比較,我們得到

從而

k=1,2,…,n.注意到cos0x=1,我們有系數(shù)

叫做f(x)的富利葉系數(shù).

7.2.4正交矩陣的概念

定義2

一個(gè)n階實(shí)矩陣U叫做一個(gè)正交矩陣，如果

定理7.2.6

n維歐氏空間一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一標(biāo)準(zhǔn)正交基的過(guò)渡矩陣是一個(gè)正交矩陣.例6

設(shè)

是歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且

證明：當(dāng)T是正交矩陣時(shí),

是標(biāo)準(zhǔn)正交基.

練習(xí)2設(shè)

標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明:

也是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.是三維歐氏空間V的7.2.5n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別1．n維歐氏空間同構(gòu)的定義定義3

歐氏空間V與

說(shuō)是同構(gòu)的，如果

(i)作為實(shí)數(shù)域上向量空間，存在V到

的一個(gè)同構(gòu)映射(ii)對(duì)于任意，都有

2．n維歐氏空間同構(gòu)的概念及判別定理7.2.7

兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分且必要條件是它們的維數(shù)相等.推論7.2.8

任意n維歐氏空間都與

同構(gòu).

思考題

求的解空間W的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

并求其正交補(bǔ)7.3正交變換一、內(nèi)容分布7.3.2正交變換的等價(jià)條件7.3.1正交變換的定義1．掌握并會(huì)用正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)條件．3．掌握并會(huì)用正交矩陣的某些性質(zhì)．

二、教學(xué)目的：2．掌握的正交變換的全部類(lèi)型．三、重點(diǎn)難點(diǎn)：正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)條件

8.3.3的正交變換的類(lèi)型．7.3.3

的正交變換的類(lèi)型．7.3.1正交變換的定義定義1

歐氏空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換σ叫做一個(gè)正交變換，如果對(duì)于任意都有例1

在里,把每一向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角

的的一個(gè)正交變換.線(xiàn)性變換是

例2令H是空間里過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面.對(duì)于每一向量，令

對(duì)于H的鏡面反射與它對(duì)應(yīng).是的一個(gè)正交變換.例3歐氏空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換是正交變換的充要條件是使任意兩個(gè)向量的距離保持不變,即對(duì)一切,

都有.7.3.2正交變換的等價(jià)條件

定理7.3.1

歐氏空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換σ是正交變換的充分且必要條件是：對(duì)于V中任意向量

，.證明

條件的充分性是明顯的.因?yàn)椋?）中取ξ=η，就得到，從而.反過(guò)來(lái)，設(shè)σ是一個(gè)正交變換，那么對(duì)于ξ,η∈

V，我們有然而由于比較上面兩個(gè)等式就得到：定理7.3.2

設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，σ是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果σ是正交變換，那么σ把V的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基；反過(guò)來(lái)，如果σ把V的某一標(biāo)準(zhǔn)正交基仍舊變成V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么σ是V的一個(gè)正交變換.定理7.3.3

n維歐氏空間V的一個(gè)正交變換σ關(guān)于V的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是一個(gè)正交矩陣；反過(guò)來(lái)，如果V的一個(gè)線(xiàn)性變換關(guān)于某一標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是正交矩陣，那么σ是一個(gè)正交變換.例5

在歐氏空間中,規(guī)定線(xiàn)性變換σ為:證明:σ是正交變換.例6

將的每一向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角ψ的正交變換（參看例1）關(guān)于的任意標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是又令σ是例2中的正交變換.在平面H內(nèi)取兩個(gè)正交的單位向量，再取一個(gè)垂直于H的單位向量

,那么是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是以上兩個(gè)矩陣都是正交矩陣.7.3.3

的正交變換的類(lèi)型設(shè)σ是的一個(gè)正交變換，σ關(guān)于的一個(gè)規(guī)范正交基的矩陣是那么U是一個(gè)正交矩陣.于是（2）

由第一個(gè)等式，存在一個(gè)角α，使a=cosα，c=±sinα由于cosα=cos(±α)，±sinα=sin（±α）因此可以令a=cosφ，c=sinφ這里φ=α或–α.同理，由（4）的第二個(gè)等式，存在一個(gè)角ψ使b=cosψ，d=sinψ將a,b,c,d代入（4）的第三個(gè)等式得Cosφcosψ

+sinφsinψ=0或cos(φ+ψ)=0最后等式表明，φ

－ψ是π/2的一個(gè)奇數(shù)倍.由此

得所以或

在前一情形中，σ是將的每一向量旋轉(zhuǎn)角φ的旋轉(zhuǎn)；

這樣，的正交變換或者是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，或者是關(guān)于一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的反射.

如果是后一情形，我們可以取這條直線(xiàn)上一個(gè)單位向量和垂直于這條直線(xiàn)的一個(gè)單位向量作為的一個(gè)規(guī)范正交基.坐標(biāo)的向量.這時(shí)σ是直線(xiàn)的反射.

在后一情形，σ將中以（x,y）為坐標(biāo)的變量變成以(xcosφ+ysinφ,xsinφ–ycosφ)為而σ關(guān)于基的矩陣有形狀現(xiàn)在設(shè)σ是的一個(gè)正交變換.σ的特征多項(xiàng)式是一個(gè)實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式，因而至少有一個(gè)實(shí)根r.令是σ的屬于本征值r

的一個(gè)本征向量，并且是一個(gè)單位向量.再添加單位向量使

是的一個(gè)規(guī)范正交基，那么σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀由于U是正交矩陣，我們有于是由U的正交性推出，矩陣是一個(gè)二階正交矩陣.由上面的討論，存在一個(gè)解φ使在前一情形：

在后一情形，根據(jù)對(duì)的正交變換的討論，我們可以取的一個(gè)規(guī)范正交基使σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是

如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，σ關(guān)于的矩陣是

如果左上角的元素是–1，那么σ關(guān)于基的矩陣是

這樣，的任意正交變換σ關(guān)于某一正交基

的矩陣是下列的三種類(lèi)型之一：在第一種情形,σ是繞通過(guò)的直線(xiàn)的一個(gè)旋轉(zhuǎn)；在第二種情形,σ是對(duì)于平面的反射；第三種情形,σ是前兩種變換的合成.思考題

設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,試求正交變換σ,使σ適合

練習(xí)設(shè)V是一個(gè)歐氏空間,是一個(gè)非零向量,對(duì)于,規(guī)定V的一個(gè)變換證明:τ是V的一個(gè)正交變換,且ι是單位變換.7.4對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣

一、內(nèi)容分布

7.4.1對(duì)稱(chēng)變換的定義

7.4.2對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系

7.4.3對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)二、教學(xué)目的：

1．掌握對(duì)稱(chēng)變換的概念，能夠運(yùn)用對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系解題．

2．掌握對(duì)稱(chēng)變換的特征根、特征向量的性質(zhì)．

3．對(duì)一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Ａ，能熟練地找到正交矩陣Ｔ，使

為對(duì)角形三、重點(diǎn)難點(diǎn)：1.對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系;對(duì)稱(chēng)變換的特征根、特征向量的性質(zhì);2.對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Ａ，能熟練地找到正交矩陣Ｔ，使為對(duì)角形7.4.1對(duì)稱(chēng)變換的定義

定義1

設(shè)σ是歐氏空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果對(duì)于V中的任意向量，等式成立，那么就稱(chēng)σ是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.例1

以下的線(xiàn)性變換中,指出哪些是對(duì)稱(chēng)變換?7.4.2對(duì)稱(chēng)變換和對(duì)稱(chēng)矩陣之間的關(guān)系定理7.4.2

設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，如果σ關(guān)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣，那么σ是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.證

設(shè)σ關(guān)于V的一個(gè)規(guī)范正交基的矩陣是對(duì)稱(chēng)的，令是V的任意向量。那么同樣的計(jì)算可得因?yàn)樗约处沂且粋€(gè)對(duì)稱(chēng)變換。7.4.3對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)

定理7.4.3

實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征根都是實(shí)數(shù).證

設(shè)是一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.令λ是A在復(fù)數(shù)域內(nèi)一個(gè)特征根。于是存在不全為零的復(fù)數(shù)使得（2）

令的共軛復(fù)數(shù)。

用矩陣左乘（2）的兩邊得即:（3）

等式（3）兩端取軛復(fù)數(shù)，注意是實(shí)數(shù)。得（4）

又因?yàn)榍业仁剑?）與等式（4）左端相等，因此而不全為零，所以是一個(gè)正實(shí)數(shù)，所以，λ是實(shí)數(shù)。定理7.