試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)北京市順義區(qū)第一中學(xué)202-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．的展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)是（

）A．160 B． C．80 D．4．甲、乙、丙、丁4人排成一列，且甲、乙均不在第一個(gè)位置，則不同的排法種數(shù)共有（

）A．6 B．12 C．24 D．365．函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象（

）A．橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍 B．橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的C．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍 D．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的6．已知且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．87．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，則“”是“存在最小值”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要8．古生物學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來(lái)推斷古生物死亡的大致時(shí)間.當(dāng)生物體生存時(shí)，其體內(nèi)的碳14含量會(huì)保持在一定的水平，設(shè)為.當(dāng)生物體死亡后，碳14會(huì)發(fā)生衰變，且碳14含量隨時(shí)間（單位：年）的變化規(guī)律滿足，其中是衰變常數(shù).已知碳14的半衰期約為5730年，即每經(jīng)過(guò)5730年，碳14含量就會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的.現(xiàn)古生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個(gè)古生物化石，經(jīng)測(cè)量該古生物化石碳14含量為.由此可以推斷這個(gè)古生物的死亡時(shí)間點(diǎn)距今所經(jīng)過(guò)的時(shí)間（單位：年）的大致范圍是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，則函數(shù)所有零點(diǎn)之和為（

）A． B．0 C．2 D．410．已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，存在最小值；③的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)?；④?dāng)時(shí)，對(duì)任意，.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題11．函數(shù)的定義域是．12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則，.13．能夠說(shuō)明“若，，則”是假命題的一組整數(shù)，的值依次為.14．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是15．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列不是等比數(shù)列；②若與都是遞增數(shù)列，則數(shù)列是遞增數(shù)列；③對(duì)任意的，不可能為等差數(shù)列；④存在數(shù)列，對(duì)任意的，且，使得不能構(gòu)成等比數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題16．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最值.17．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.18．近年來(lái)，中國(guó)機(jī)器人科技水平在政策支持、技術(shù)創(chuàng)新及市場(chǎng)需求的多重驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)了顯著提升，尤其在工業(yè)機(jī)器人、服務(wù)機(jī)器人及特種機(jī)器人領(lǐng)域表現(xiàn)突出.國(guó)內(nèi)某科技公司致力于服務(wù)機(jī)器人的發(fā)展與創(chuàng)新，近期公司生產(chǎn)了甲、乙、丙三款不同的智能送餐機(jī)器人，并對(duì)這三款機(jī)器人的送餐成功率進(jìn)行了測(cè)試，獲得數(shù)據(jù)如下表：甲款機(jī)器人乙款機(jī)器人丙款機(jī)器人測(cè)試次數(shù)50100100成功次數(shù)206080假設(shè)每款機(jī)器人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲款機(jī)器人單次送餐成功的概率；(2)若讓這三款機(jī)器人分別執(zhí)行1次送餐任務(wù)，求恰好成功兩次的概率；(3)若讓這三款機(jī)器人分別執(zhí)行10次送餐任務(wù)，設(shè)成功的次數(shù)分別為，，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.19．電視臺(tái)舉行文藝比賽，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播.比賽現(xiàn)場(chǎng)有6名專家評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)外觀眾可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分.每位選手的最終得分由專家評(píng)分和觀眾評(píng)分確定.某選手參與比賽后，現(xiàn)場(chǎng)專家評(píng)分情況如表；場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀眾參與評(píng)分，將評(píng)分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖：專家ABCDEF評(píng)分9.69.59.68.99.78.8

(1)求的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率；(2)從6名專家中隨機(jī)選取3人，表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；試求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)考慮以下兩種方案來(lái)確定該選手的最終得分：方案一：用所有專家與觀眾的評(píng)分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計(jì)算專家評(píng)分的平均數(shù)和觀眾評(píng)分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分.請(qǐng)直接寫出與的大小關(guān)系.20．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意使得恒成立，試求的取值范圍：(3)當(dāng)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)時(shí)，若的面積為，試求的值.21．已知數(shù)列A：，定義：.從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、、第項(xiàng).則稱數(shù)列為的長(zhǎng)度為的子列.若A：為1，2，…的一個(gè)排列，則稱數(shù)列具有性質(zhì).(1)已知A：1，3，4，2，5，6，若數(shù)列是數(shù)列的長(zhǎng)度為4的子列，寫出的最大值和最小值；(2)已知數(shù)列A：具有性質(zhì)，且存在唯一的長(zhǎng)度為3的子列，使得，求的最小值；(3)已知數(shù)列A：具有性質(zhì)，且為偶數(shù)，求的最大值，并直接寫出當(dāng)取得最大值時(shí)數(shù)列的個(gè)數(shù).答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《北京市順義區(qū)第一中學(xué)202-2026學(xué)年高三上學(xué)期9月開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ACCBDAADBD1．A【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意有：,故選：A.2．C【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指對(duì)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案．【詳解】選項(xiàng)A，是非奇非偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的減函數(shù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，正確；選項(xiàng)D，是奇函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：C3．C【分析】由二項(xiàng)式定理得通項(xiàng)公式，令，解出，代入通項(xiàng)即可求解.【詳解】由題意有：，令，解得，所以，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.4．B【分析】根據(jù)位置優(yōu)先，先安排第一個(gè)位置，再排其他位置，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意可知：先安排第一個(gè)位置有2種排法，再排后面的3個(gè)位置有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有：種排法，故選：B.5．D【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)解析式及圖象變換的關(guān)系判斷.【詳解】對(duì)于A，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得的圖象，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的得的圖象，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍的圖象，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，D正確.故選：D6．A【分析】由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由題意有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故選：A.7．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，利用充分條件、必要條件的概念判斷兩命題間的邏輯推理關(guān)系，即可判斷.【詳解】當(dāng)且時(shí)，存在最小值，當(dāng)且時(shí)，存在最小值，故“”能推出“存在最小值”，當(dāng)且時(shí)，存在最小值為，所以“存在最小值”不能推出“”，所以“”是“存在最小值”的充分不必要條件.故選：A8．D【分析】根據(jù)給定條件，列式求出，進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系，再借助對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.【詳解】依題意，，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，解得，則，令，得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，所以.故選：D9．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，然后利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明零點(diǎn)的存在性，最后證明函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，，所以在和上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上必存在唯一的零點(diǎn)，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，則在上必存在唯一的零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，可知的所有零點(diǎn)之和為.故選：B10．D【分析】對(duì)于①，寫出此時(shí)函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性舉出反例；對(duì)于②，舉出反例；對(duì)于③，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖象得到函數(shù)的值域?yàn)?，即可求解；故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，用特殊值判斷即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，顯然，故在上不會(huì)單調(diào)遞增，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，不妨設(shè)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)函數(shù)不存在最小值，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然單調(diào)遞增，又，故存在，使得，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，即在上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，和，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，和，故此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由①知，此時(shí)方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，在上也沒(méi)有實(shí)數(shù)根，此時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，則，，，則，所以④錯(cuò)誤.故選：D11．【分析】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)椋还蚀鸢笧椋?2．【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)及前項(xiàng)和.【詳解】由，，得，解得，則等差數(shù)列的公差，所以，.故答案為：；13．，（答案不唯一）【分析】若，，可得，分，同號(hào)和異號(hào)討論即可求得答案．【詳解】解：當(dāng)，，可得，①當(dāng)，同號(hào)時(shí)，可得，②當(dāng)，異號(hào)時(shí)，.故取整數(shù)，滿足即可．故答案為:，．14．【分析】分析該分段函數(shù)在各段上的零點(diǎn)情況，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與在上有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)的圖象即得參數(shù)的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，依題意，時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)，即方程在上有一個(gè)實(shí)根，也即直線與在上有一個(gè)交點(diǎn).如圖作出函數(shù)的圖象.因在上單調(diào)遞增，由圖可知，此時(shí).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．①③④【分析】通過(guò)分析每個(gè)結(jié)論，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合特殊例子來(lái)判斷其正確性.【詳解】由題意設(shè)數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，則，對(duì)于①：令，假設(shè)是等比數(shù)列，則為常數(shù)，而與有關(guān)不為常數(shù)，故矛盾，故①正確；對(duì)于②：設(shè)，滿足題意，則，由，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：假設(shè)為等差數(shù)列，所以，即，所以，解得與矛盾，故③正確；對(duì)于④：，則，若能構(gòu)成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)整理得矛盾，故④正確；故選：①③④.16．(1)；(2)最大值，最小值.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而求出指定區(qū)間上的最值.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值.17．(1)，(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出等差數(shù)列公差、等比數(shù)列公比即可.（2）利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.【詳解】（1）在等差數(shù)列中，，解得，而，因此數(shù)列的公差，；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，又，則，解得，而，因此，，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.（2）由（1）得，所以.18．(1)(2)(3)【分析】（1）先計(jì)算甲款機(jī)器人單次送餐成功的頻率，利用頻率估計(jì)概率即可求解；（2）利用獨(dú)立事件乘法概率和互斥事件加法概率公式求解即可；（3）由，利用二項(xiàng)分布的方差公式求解，即可求解.【詳解】（1）設(shè)甲款機(jī)器人單次送餐成功的概率為，則；（2）設(shè)乙款機(jī)器人單次送餐成功的概率為，設(shè)丙款機(jī)器人單次送餐成功的概率為，所以，所以恰好成功兩次的概率為；（3）由題意有，所以，所以.19．(1)，；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為2；(3).【分析】（1）由頻率和為1可得a的值，用某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的頻率可估計(jì)概率.（2）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.（3）求出及的估計(jì)值，再借助權(quán)重分析即可判斷得解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得，某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率是．（2）的可能取值為1，2，3，6名專家評(píng)分不小于9分的有4人，，所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望．（3）依題意，專家評(píng)分的平均數(shù)，觀眾評(píng)分的平均數(shù)的估計(jì)值為，則，由于觀眾人數(shù)遠(yuǎn)多于專家，在計(jì)算時(shí)，觀眾評(píng)分（其平均值略低于專家均分）權(quán)重大，因此會(huì)比更接近于觀眾評(píng)分的均值，所以.20．(1)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間(2)(3)【分析】（1）先求導(dǎo)得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而得，即，進(jìn)而求解；（2）由題意得，即，令，即，由（1）得的單調(diào)性，即可求的最小值，進(jìn)而求解；（3）求出切線方程得出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，表示出三角的面積，求出切線與函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以的定義域?yàn)?，所以，令，所以，?dāng)，當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；（2）由題意有：對(duì)于任意使得恒成立，即，所以，令，即，由有在單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以；（3）由題意有，所以，即,又，所以，所以切線方程為：，設(shè)切線交軸于點(diǎn)，則，設(shè)切線與軸交于點(diǎn)，則，設(shè)切線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，由，則，因?yàn)?所以點(diǎn)必然在點(diǎn)的上方，又，所以,解得或（舍去），所以，所以過(guò)點(diǎn)，所以，所以.21．(1)最大值9，最小值3(2)最小值6(3)最大值,這樣的數(shù)列有個(gè).【分析】（1）定義數(shù)列的極端項(xiàng)為：中間的指不小于左右，或不大于左右的項(xiàng)，第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)都是，分析可得任意數(shù)列的子列的值不超過(guò)該數(shù)列本身的值.對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列，因此其長(zhǎng)度為的子列的值不小于.然后計(jì)算數(shù)列的值，進(jìn)一步構(gòu)造子列使其值最大和最??；（2）根據(jù)已知條件分析可得該數(shù)列只有三個(gè)極端項(xiàng)，除去兩端的極端項(xiàng)，中間只有一個(gè)極端項(xiàng)，這個(gè)極端項(xiàng)必為最大項(xiàng)6或最小項(xiàng)1，然后分別研究其最小值，最后比較得出總體的最小值；（3）分析可知對(duì)于數(shù)列,其值時(shí)必為交替數(shù)列，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式，并得出其最大值及取得最大值的條件，進(jìn)而利用排列數(shù)和乘法計(jì)數(shù)原理得出當(dāng)取得最大值時(shí)數(shù)列的個(gè)數(shù).【詳解】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得當(dāng)為單調(diào)遞增或單調(diào)遞減數(shù)列時(shí)，.定義數(shù)列的極端項(xiàng)為：中間的指不小于左右，或不大于左右的項(xiàng)，第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)都是極端項(xiàng).設(shè)數(shù)列A：中的極端項(xiàng)依次為，記，則，其任意的子列,的每個(gè)極端項(xiàng)都必然在數(shù)列A的某兩個(gè)相鄰極端項(xiàng)之間，故其子列的相鄰極端項(xiàng)的差的絕對(duì)值的和不超過(guò)數(shù)列的相鄰極端項(xiàng)的絕對(duì)值的和，即.對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列，是1，2，…的一個(gè)排列，任意相鄰兩項(xiàng)的差的絕對(duì)值都大